Ubungen zur Analysis 1, SoSe 2017 Blatt 5

BERGISCHE UNIVERSITÄT
WUPPERTAL
Fakultät 4 - Mathematik
und Naturwissenschaften
Apl. Prof. Dr. G. Herbort
Christian Budde
19.05.17
Übungen zur Analysis 1, SoSe 2017
Blatt 5
Aufgabe 1 (5+5+3+2 Punkte) (a) Wir betrachten die Folge (an )n∈N definiert durch
an :=
n+2
2n + 1
Beweisen Sie mithilfe der Definition, dass (an )n∈N eine Cauchyfolge ist.
√
ab, b1 :=
(b) Seien a, b > 0 fest. Betrachten Sie die rekursiv
definierten
Folgen
a
:=
1
√
1
Sind an und bn schon gefunden, so sei an+1 := an bn und bn+1 := 2 (an + bn ).
a+b
2 .
Zeigen Sie, dass
an ≤ an+1 ,
bn+1 ≤ bn
und dass (an )n und (bn )n konvergieren und denselben Grenzwert haben.
(c) Sei (xn )n∈N eine Cauchyfolge mit der Eigenschaft, dass xn ∈ Z für alle n ∈ N. Zeigen Sie,
dass ein N ∈ N und eine Konstante C existieren, sodass xn = C für alle n ≥ N .
(d) Beweisen Sie mithilfe der Definition: wenn (bn )n∈N dann ist die Folge (bn − bn+1 )n∈N eine
Nullfolge.
Aufgabe 2 (5+5 Punkte) In dieser Aufgabe geht es um die Eigenschaften des Supremums:
(a) Seien A und B zwei nicht leere beschränkte Mengen in R. Beweisen Sie, dass
sup {a + b : a ∈ A, b ∈ B} = sup(A) + sup(B)
(b) Sei X eine nicht leere nach oben beschränkte Menge in R. Zeigen Sie:
sup(X) = − inf {−x : x ∈ X}
Aufgabe 3 (5+5+5) Überprüfen Sie, ob die folgenden Mengen reeller Zahlen nach oben oder nach
unten beschränkt sind, bestimmen Sie gegebenenfalls die Suprema und Infima und überprüfen
Sie, ob die Suprema bzw. Infima Maxima bzw. Minima sind:
(a) A1 := x ∈ R : x2 − 3x − 4 < 0
x−y
: x > 0, y > 0
(b) A2 :=
x+y
1
n
(c) A3 := n((−1) − 1) − : n ∈ N
n
Aufgabe 4 (5+2+3 Punkte)
(a) Bestimmen Sie den Grenzwert der Folge (an )n∈N mit
an :=
n4 − 2 n3 (3 − n2 )
+
n2 + 4
n3 + 1
(b) Beweisen Sie, dass die Folge (bn )n∈N definiert durch bn := 2n (n ∈ N) keine Häufungswerte
besitzt.
(c) Zeigen Sie: es gibt eine Folge (xn )n∈N mit überabzählbar vielen Häufunsgwerten.
Abgabe bitte bis 26.5.17 bis 10 Uhr in das Postfach Ihres Übungsleiters auf D13
unter Angabe Ihrer Namen (Abgabe in Gruppen von ≤ 3 Mitgliedern) und des Names Ihres
Ü-Leiters Webseite: www2.math.uni-wuppertal.de/∼herbort