Aufgabenblatt 3

Algebraische Geometrie
Sommer 17
Fachbereich Mathematik
Jun.Prof. Johannes Rau
Dipl. math. Lukas Braun
Aufgabenblatt 3
Aufgabe 1.
In dieser Aufgabe behandeln wir Isomorphismen des anen Raums K n .
(a) Zeigen Sie, dass jeder Isomorphismus ϕ : K 1 → K 1 an-linear ist, also von der
Form x 7→ ax + b für geeignete a, b ∈ K .
(b) Konstruieren Sie einen Isomorphismus K 2 → K 2 , der nicht an-linear (also von
der Form x 7→ Ax + b für A ∈ Mat(2 × 2, K), b ∈ K 2 ) ist.
(c) Zeigen Sie, dass für jeden Isomorphismus ϕ = (f1 , . . . , fn ) : K n → K n die Determinante der Jacobi Matrix
 ∂f1
∂x1
...
∂f1 
∂xn
∂fn
∂x1
...
∂fn
∂xn

det  ...
.. 
.  ∈ K[x1 , . . . , xn ]
eine Konstante ungleich 0 in K ist. Die Umkehrung dieser Behauptung ist ein
oenes Problem berühmt unter dem Namen Jacobische Vermutung.
Sei C = V (f ) ⊂ C2 eine irreduzible Konik (also f ∈ C[x, y] irreduzibel
vom Grad 2). Zeigen Sie, dass C entweder zu C1 oder zu V (xy − 1) = C1 \ {0} isomorph
ist. (Zeigen Sie dabei auch, dass C1 und V (xy − 1) nicht zueinander isomorph sind.)
Aufgabe 2.
Zeigen Sie für einen Morphismus von Nullstellenmengen ϕ : X → Y und
zugehörigem Homomorphismus von K -Algebren ϕ∗ : K[Y ] → K[X]:
Aufgabe 3.
(a) ϕ ist stetig bezüglich der Zariski-Toplogie,
(b) ϕ(X) = V (Ker ϕ∗ ),
(c) ϕ∗ injektiv ⇐⇒ ϕ(X) = Y , d.h. ϕ(X) liegt dicht in B (bezüglich der ZariskiTopologie).
Aufgabe 4.
Es sei X die Menge aller 2 × 3-Matrizen von Rang ≤ 1.
(a) Zeigen Sie, dass X eine algebraische Nullstellenmenge in Mat(2×3, K) ∼
= K 6 bildet.
(b) Berechnen Sie die Dimension von X .
(c) Zeigen Sie, dass X irreduzibel ist. (Tipp: Sie könnten einen Morphismus K n → X
mit dichtem Bild konstruieren.)