Lineare Algebra II

Lineare Algebra II
Klausurvorbereitung
Aufgabe 1
Sei R ein Ring und S ⊆ R ein Unterring. Konstruieren Sie einen Isomorphismus von
∼
S-Algebren: R ⊗S S[X] −→ R[X]
Zusatz
Ist f ∈ S[X], dann gilt S[X]/(f ) ⊗S R ∼
= R[X]/(f ) und insbesondere folgt: C ⊗R C ∼
=
C×C
Aufgabe 2
∼
Konstruieren Sie einen Isomorphismus von Z-Algebren: Q ⊗Z Q −→ Q
Aufgabe 3
Bestimmen Sie die Primfaktorzerlegung von 3X 4 −3X 2 −6 in den Ringen Z[X], Q[X], R[X], C[X]
Aufgabe 4
Welche der folgenden Polynome sind im angegebenen Polynomring irreduzibel?
(i) X 3 + X 2 + 1 ∈ Z[X] oder in Q[X]
(ii) X 4 + X 3 + X 2 + X + 1 ∈ F2 [X]
(iii) X 4 + 1 ∈ Z[X]
(iv) 4X 2 + 4X + 1 ∈ Z[X]
Aufgabe 5
Sei f ∈ Z[X] normiert ohne Nullstelle und deg(f ) ∈ {2, 3}. Zeigen Sie, dass f ∈ Z[X]
irreduzibel ist.
Zusatz
Finde ein Beispiel, dass man auf „Normiertheit“ nicht verzichten kann.
Aufgabe 6
Bestimmen Sie die Minimalpolynome folgender Elemente über Q:
√
(i) ζ3 = 21 (i 3 − 1)
√
(ii) 12 ( 2 + 1)

−2 1 −2

(iii) 
 1
2
0
1


1

2
c Daniel Heiß
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Aufgabe 7
Zeigen Sie, dass E :=
a + bζ3 a, b ∈ Z ⊆ C ein Unterring ist. (Fakt: Der Ring ist
sogar euklidisch!)
Aufgabe 8
∼
Konstruieren Sie einen Isomorphismus von Z-Algebren: Z[X]/(f ) −→ E für f ∈ Z[X]
normiert geeignet.
Aufgabe 9
Zeigen Sie, dass für x ∈ E gilt:
x ∈ E ∗ ⇐⇒ N (x) = 1, wobei N : E −→ N die
Einschränkung der Norm für komplexe Zahlen ist.
Aufgabe 10
Sind die Elemente 1 + ζ3 bzw. ζ3 − 2 in E irreduzibel?
Zusatz
Bestimmen Sie E/(1 + ζ3 ) bzw. E/(ζ3 − 2)
Aufgabe 11
Bestimmen Sie d in den folgenden Fällen und stellen Sie d auch als Linearkombination
der Idealerzeuger dar:
(i) (d) = (11760) + (8932) in Z
(ii) (d) = (X 3 − 2X 2 − X + 2) + (X 3 − 4X 2 + 3X) in Q[X]
Aufgabe 12
Zeigen Sie: Es gibt unendlich viele irreduzible Polynome in F2 [X].
Aufgabe 13
Sei A eine endliche abelsche Gruppe. Zeigen Sie A ⊗Z Q ∼
= {0}
Aufgabe 14
Sei G eine Gruppe mit n := |G| < ∞ und es gebe ein g ∈ G mit hgi = G. Konstruieren
∼
Sie einen Gruppenisomorphismus Z/nZ −→ G
Aufgabe 15
Sei R ein Ring und N (R) ⊆ R das Nilradikal von R. Zeigen Sie:
a ∈ R ist genau dann
eine Einheit, wenn [a] ∈ R/N (R) eine Einheit ist.
c Daniel Heiß
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Aufgabe 16
Sei I ⊆ R ein endlich erzeugtes Ideal mit I · I = I. Zeigen Sie, dass I ein Hauptideal ist.
Aufgabe 17
Wie viele Ringhomomorphismen R −→ S gibt es für den Fall
(i) R = Z/5Z,
S=Q
(ii) R = Z[X],
S = F4
(iii) R, S ∈ {Z/6Z, Z/18Z}
Aufgabe 18
Bestimmen Sie explizit die Menge
X :=
x ∈ Z x ≡ 2 (15), x ≡ 3 (8), x ≡ 4 (7) .
Aufgabe 19
Sei f : K −→ S 6= {0} ein Ringhomomorphismus und K ein Körper. Zeigen Sie, dass f
injektiv ist.
Aufgabe 20
Sei R := Q[X]/(X 3 − 2X 2 + X − 2) und a := [X 2 − 1], b := [2X + 1] ∈ R. Berechnen Sie
a · b in R und finden Sie zwei nicht-triviale Nullteiler in R.
c Daniel Heiß
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