Kleine Formelsammlung Mathematik

Hans-Jochen Bartsch
Kleine
Formelsammlung
Mathematik
6., neu bearbeitete Auflage
Mathematische Zeichen und Symbole (x , y ∈ R)
N, N
Z, Z
Q, Q
R, R
C, C
Menge der natürlichen Zahlen, N = {0, 1, 2, . . . }
Menge der ganzen Zahlen, Z = {. . . , −2, 1, 0, 1, 2, . . . }
Menge der rationalen Zahlen
Menge der reellen Zahlen
Menge der komplexen Zahlen
Herausnahme der Null durch ∗ , z. B. positive ganze Zahlen N∗ = {1, 2, . . . }
R>0
Rn
Rm×n
x≈y
x≪y
x≤y
def
x = y, x := y
m|n
a ≡ b mod m
(x)n
[x]
à !n
x
n
⌊x⌋, [x]
⌈x⌉
int x
frac x
(a, b), ]a, b[
[a, b]
g = lim f (x)
x→a
x → a+
a, b, x, y, . . .
a, b, x, y, . . .
o, ⃗
o
a ·b
|a| = a
ea
Menge der positiven reellen Zahlen
Menge der n-dimensionalen Vektoren, n ∈ N∗
Menge der (m × n)-Matrizen, m, n ∈ N∗
x ungefähr gleich y
x wesentlich kleiner y, analog x ≫ y (wesentlich größer)
x kleiner gleich y, analog x ≥ y (größer gleich)
x ist definitionsgemäß gleich y
m teilt n, es gibt eine ganze Zahl k mit m · k = n, m, n ∈ Z
a kongruent b modulo m, m|(a − b), a, b, m ∈ Z
steigende Faktorielle, (x)n = x(x +1)·. . . ·(x +n −1), n ∈ N∗
∗
fallende Faktorielle, [x]n = x(x − 1) · . . . · (x − n
à +!1), n ∈ N
x
[x]n
,
x über n, Binomialkoeffizient von x und n,
=
n!
n
∗
n∈N
größte ganze Zahl kleiner oder gleich x, n ≤ x < n + 1
kleinste ganze Zahl größer oder gleich x, n − 1 < x ≤ n
ganzzahliger Anteil von x, int x := sgn x · ⌊|x|⌋
gebrochener Anteil von x, frac x := x − int x
offenes Intervall von a bis b, {x | a < x < b}, a, b ∈ R
abgeschlossenes Intervall von a bis b, {x | a ≤ x ≤ b}
g ist Limes von f (x) für x gegen a
x von rechts gegen a, auch x → a + 0, analog x → a −
Zeichen für Vektoren, auch ⃗
a, ⃗
b, ⃗
x, ⃗
y, ...
Zeichen für Skalare
Nullvektor, neutrales Element der Vektoraddition
a mal b, Skalarprodukt von a und b
p
Betrag des Vektors a, |a| = a · a, auch |a| = a (Norm)
(normierter) Einheitsvektor in Richtung a vom Betrag 1,
a ̸= o
1
Logik, Arithmetik, Algebra
13
2
Lineare Algebra
46
3
Elementare und analytische Geometrie
77
4
Funktionen
121
5
Analysis
149
6
Gewöhnliche Differenzialgleichungen
201
7
Reihen, Integral-Transformationen
218
8
Statistik, Wahrscheinlichkeitsrechnung 241
9
Integraltabelle
272
S
Sachwortverzeichnis
277
Inhalt
1
...................
Mathematische Logik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.1.1 Ein- und zweistellige B OOLEsche Funktionen . . . . .
1.1.2 Rechengesetze (B OOLEsche Algebra) . . . . . . . . . . . . . . . .
Mengen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2.1 Grundlagen. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2.2 Mengenoperationen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2.3 Rechenregeln für Mengen. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2.4 Relationen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2.5 Zahlensysteme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Menge der reellen Zahlen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.3.1 Standard-Zahlenmengen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.3.2 Grundoperationen für reelle Zahlen. . . . . . . . . . . . . . . . .
1.3.3 Potenzen, Wurzeln . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.3.4 Logarithmen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.3.5 Binomischer Satz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Menge der komplexen Zahlen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.4.1 Grundlagen. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.4.2 Darstellungsformen komplexer Zahlen . . . . . . . . . . . . .
1.4.3 Grundrechenarten mit komplexen Zahlen . . . . . . . . .
1.4.4 Potenzen und Wurzeln komplexer Zahlen. . . . . . . . . .
Kombinatorik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Folgen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.6.1 Grundlagen. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.6.2 Schranken, Grenzwert und Monotonie einer
Folge . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.6.3 Arithmetische und geometrische Folgen . . . . . . . . . . .
1.6.4 Zins-, Zinseszins-, Renten- und Tilgungsrechnung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Logik, Arithmetik, Algebra
1.1
1.2
1.3
1.4
1.5
1.6
13
13
13
15
15
15
16
17
18
18
19
19
21
24
25
26
28
28
29
30
31
31
33
33
33
34
36
8
Inhalt
1.7
2
Gleichungen und Ungleichungen, Algebra . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.7.1 Grundlagen. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.7.2 Lineare Gleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.7.3 Nichtlineare Gleichungen, Polynome . . . . . . . . . . . . . . .
1.7.4 Wurzelgleichungen, transzendente Gleichungen .
1.7.5 Numerische Verfahren für Gleichungen . . . . . . . . . . . .
38
38
39
40
43
43
Lineare Algebra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
2.1
2.2
2.3
2.4
2.5
2.6
Vektoren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.1.1 Grundbegriffe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.1.2 Skalarprodukt im Rn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.1.3 Vektoren im R3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Matrizen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2.1 Grundlagen. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2.2 Matrizengesetze . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2.3 n-reihige quadratische Matrizen. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2.4 Rang, Normen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2.5 Determinanten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2.6 Eigenwerte und Eigenvektoren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Lineare Gleichungssysteme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.3.1 Bezeichnungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.3.2 Lösbarkeitsbedingungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.3.3 Lösungsverfahren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Lineare Abbildungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.4.1 Grundlagen. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.4.2 Spezielle lineare Abbildungen in der Ebene . . . . . . . .
Koordinatensysteme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.5.1 Kartesische Koordinaten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.5.2 Zylinderkoordinaten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.5.3 Kugelkoordinaten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Koordinatentransformationen. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.6.1 Koordinatentransformationen in der Ebene . . . . . . .
2.6.2 Koordinatentransformationen im Raum . . . . . . . . . . .
46
46
50
52
55
55
56
57
60
61
63
65
65
66
67
69
69
70
71
71
72
72
73
74
75
Inhalt
3
3.1
3.2
3.3
3.4
3.5
3.6
4
......
Planimetrie, ebene Trigonometrie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.1.1 Winkel. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.1.2 Teilungen, Ähnlichkeit, Kongruenz . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.1.3 Dreiecke . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.1.4 Vierecke . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.1.5 Vielecke . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.1.6 Kreis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Geometrische Körper (Stereometrie) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.2.1 Ebenflächig begrenzte Körper (Polyeder, Vielflache) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.2.2 Krummflächig begrenzte Körper . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Punkt, Gerade, Ebene . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.3.1 Punkt, Strecke. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.3.2 Gerade in der Ebene . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.3.3 Gerade im Raum. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.3.4 Mehrere Geraden. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.3.5 Ebene . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.3.6 Flächeninhalt, Volumen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Kurven 2. Ordnung (Kegelschnitte) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.4.1 Gemeinsame Charakterisierungen aller Kegelschnitte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.4.2 Kreis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.4.3 Ellipse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.4.4 Parabel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.4.5 Hyperbel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Flächen 2. Ordnung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Hauptachsentransformation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Elementare und analytische Geometrie
4.3
77
77
77
79
80
82
84
85
87
88
89
92
92
93
95
97
99
102
102
102
104
105
109
111
114
119
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121
Grundlagen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121
Grenzwerte, unbestimmte Ausdrücke . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124
4.2.1 Grenzwerte einer Funktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124
4.2.2 Unbestimmte Ausdrücke. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125
Eigenschaften reeller Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126
Funktionen
4.1
4.2
9
10
Inhalt
4.4
4.5
4.6
4.7
5
Rationale Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.4.1 Ganzrationale Funktionen (Polynome) . . . . . . . . . . . . .
4.4.2 Interpolation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.4.3 Gebrochenrationale Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Nichtrationale Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.5.1 Elementare Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.5.2 Wurzelfunktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.5.3 Exponentialfunktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.5.4 Logarithmusfunktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.5.5 Winkelfunktionen, trigonometrische Funktionen .
4.5.6 Zyklometrische Funktionen (Arkusfunktionen) . . .
4.5.7 Hyperbelfunktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.5.8 Areafunktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Ausgewählte ebene Kurven. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Kurvendiskussion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149
Differenzialrechnung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149
5.1.1 Funktionen mit einer unabhängigen Variablen. . . . 149
5.1.2 Funktionen mit mehreren unabhängigen Variablen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154
5.1.3 Extrema und Wendepunkte. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 156
5.1.4 Differenzialgeometrie ebener Kurven . . . . . . . . . . . . . . . 159
5.1.5 Differenzialgeometrie von Raumkurven und
Raumflächen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163
Integralrechnung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 167
5.2.1 Unbestimmtes und bestimmtes Integral . . . . . . . . . . . 167
5.2.2 Grundintegrale und Integrationsregeln . . . . . . . . . . . . . 170
5.2.3 Integrationstechniken . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172
5.2.4 Numerische Integration . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 175
5.2.5 Gebietsintegrale, Mehrfachintegrale . . . . . . . . . . . . . . . . 177
5.2.6 Anwendungen der Integralrechnung . . . . . . . . . . . . . . . . 180
Vektoranalysis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 187
5.3.1 Vektorwertige Funktionen, Felder . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 187
5.3.2 Gradient eines skalaren Feldes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 190
5.3.3 Divergenz eines Vektorfeldes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 190
5.3.4 L APLACE-Operator eines skalaren Feldes . . . . . . . . . . . 191
Analysis
5.1
5.2
5.3
127
127
129
130
131
131
132
132
133
134
140
141
144
146
148
Inhalt
5.3.5
5.3.6
5.3.7
5.3.8
6
192
193
196
199
. . . . . . . . 201
Grundlagen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 201
Ausgewählte Differenzialgleichungen 1. Ordnung . . . . . . . . . 203
Ausgewählte Differenzialgleichungen 2. Ordnung . . . . . . . . . 207
6.3.1 Homogene lineare Differenzialgleichung
2. Ordnung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 207
6.3.2 Inhomogene lineare Differenzialgleichung
2. Ordnung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 210
Lineare Differenzialgleichungen höherer Ordnung . . . . . . . 212
Numerische Verfahren für Differenzialgleichungen
1. Ordnung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 214
6.5.1 Polygonzugverfahren von E ULER-C AUCHY . . . . . . . . . 214
6.5.2 Verfahren 4. Ordnung von R UNGE-K UTTA . . . . . . . . . . 215
Lineare Differenzialgleichungssysteme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 216
Gewöhnliche Differenzialgleichungen
6.1
6.2
6.3
6.4
6.5
6.6
7
Rotation eines Vektorfeldes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Kurvenintegrale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Oberflächenintegrale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Integralsätze von G REEN, G AUSS und S TOKES . . . . .
11
. . . . . . . . . . . 218
Unendliche Reihen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 218
7.1.1 Zahlenreihen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 218
7.1.2 Konvergenzkriterien für Reihen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 220
7.1.3 Potenzreihen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 222
7.1.4 T AYLOR-Formel und T AYLOR-Reihen. . . . . . . . . . . . . . . . 223
7.1.5 Zusammenstellung fertig entwickelter T AYLORReihen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 225
7.1.6 F OURIER-Reihen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 228
F OURIER-Transformation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 231
L APLACE-Transformation. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 234
7.3.1 Rechenregeln der L APLACE-Transformation . . . . . . . 235
7.3.2 Lösung von gewöhnlichen linearen Differenzialgleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 237
7.3.3 Korrespondenztabelle der L APLACE-Transformation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 238
Reihen, Integral-Transformationen
7.1
7.2
7.3
12
8
Inhalt
8.2
8.3
8.4
9
. . . . . . 241
Beschreibende (deskriptive) Statistik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 241
8.1.1 Grundbegriffe, Darstellungsarten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 241
8.1.2 Lagemaße (Mittelwerte) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 243
8.1.3 Streuungsmaße . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 245
8.1.4 Korrelationsmaße . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 246
8.1.5 Regressionsrechnung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 247
8.1.6 Fehlerrechnung. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 249
Wahrscheinlichkeitsrechnung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 250
8.2.1 Grundbegriffe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 250
8.2.2 Sätze der Wahrscheinlichkeitsrechnung . . . . . . . . . . . . 252
8.2.3 Zufällige Variable . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 254
8.2.4 Diskrete zufällige Variable . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 258
8.2.5 Stetige zufällige Variable . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 260
Schließende (induktive) Statistik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 264
8.3.1 Schätzfunktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 264
8.3.2 Intervallschätzung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 265
8.3.3 Signifikanztests . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 266
Tabellen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 269
8.4.1 Verteilungsfunktion Φ(x) der Standard-Normalverteilung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 269
8.4.2 Quantile der t -Verteilung (S TUDENT-Verteilung) . 270
8.4.3 Quantile der χ2 -Verteilung. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 271
Statistik, Wahrscheinlichkeitsrechnung
8.1
Integraltabelle
...............................
272
.............................
277
Sachwortverzeichnis
1
1.1
Logik, Arithmetik,
Algebra
Mathematische Logik
Eine Aussage ist ein sprachliches Gebilde mit dem Wahrheitswert wahr
oder falsch.
Ein aussagenlogischer Ausdruck (eine Aussageform) ist eine Aussage, bestehend aus
■
B OOLEschen Variablen (Aussagenvariablen): ϕ, ψ, ϑ, ϕ1 , . . .
■
Junktoren (logischen Zeichen): ¬, ∧, ∨, ⇒, ⇔
■
technischen Zeichen
Er ist bei jeder Belegung der Variablen entweder wahr (w, 1) oder falsch
(f, 0).
Eine Wahrheitsfunktion (B OOLEsche Funktion) F ordnet jeder Belegung
der k Variablen x 1 bis x k mit 0 oder 1 einen Wahrheitswert zu.
Allquantor (Generalisator): ∀x: A(x) „Für alle x gilt A(x).“
Existenzquantor:
∃x: A(x) „Es gibt (wenigstens) ein x mit A(x).“
1.1.1
Ein- und zweistellige Boolesche Funktionen
(ϕ, ψ Aussageformen)
Negation, Komplement (nicht, NOT)
ϕ = ¬ϕ = 1 genau dann wenn ϕ = 0
häufig auch Durchstreichen des Zeichens gebräuchlich, z. B. a ̸= b für
¬(a = b)
14
1 Logik, Arithmetik, Algebra
Konjunktion (logisches Produkt, und zugleich, AND)
(ϕ ∧ ψ) = 1 genau dann wenn ϕ = 1 und zugleich ψ = 1
auch ϕψ, ϕ · ψ, ϕ&ψ
NAND (S HEFFERsche Funktion), negiertes AND: ¬(ϕ ∧ ψ)
Disjunktion (logische Summe, oder, OR)
(ϕ ∨ ψ) = 1 genau dann wenn ϕ = 1 oder ψ = 1
auch ϕ + ψ
NOR (N ICODsche Funktion), negiertes OR: ϕ∨ψ = ϕ ∨ ψ = ϕ ↓ ψ
Implikation (logische Folgerung, wenn-dann)
(ϕ ⇒ ψ) = 0 genau dann wenn ϕ = 1 und zugleich ψ = 0
Äquivalenz
(ϕ ⇔ ψ) = 1 genau dann wenn ϕ = ψ
Antivalenz (ausschließliches Entweder-Oder, exclusive-or, EXOR, XOR)
¬(ϕ ⇔ ψ) = 1 genau dann wenn ϕ ̸= ψ
Ein- und zweiwertige Wahrheitstafel
ϕ
0
0
1
1
ψ
0
1
0
1
¬ϕ
1
1
0
0
ϕ∧ψ
0
0
0
1
ϕ∨ψ
0
1
1
1
ϕ⇒ψ
1
1
0
1
ϕ⇐ψ
1
0
1
1
ϕ⇔ψ
1
0
0
1
¬(ϕ ⇔ ψ)
0
1
1
0
Notwendige und hinreichende Bedingung
Gilt für zwei Aussagen ϕ und ψ die Implikation ϕ ⇒ ψ, so heißt
ϕ hinreichende Bedingung für ψ und
ψ notwendige Bedingung für ϕ.
Im Falle ϕ ⇔ ψ heißt ϕ hinreichende und notwendige Bedingung für ψ.
1.2 Mengen
1.1.2
15
Rechengesetze (Boolesche Algebra)
kommutativ: ϕ ∧ ψ = ψ ∧ ϕ
ϕ∨ψ = ψ∨ϕ
ϕ⇔ψ=ψ⇔ϕ
assoziativ: ϕ ∧ (ψ ∧ ϑ) = (ϕ ∧ ψ) ∧ ϑ = ϕ ∧ ψ ∧ ϑ (analog mit ∨ und ⇔)
distributiv: ϕ ∧ (ψ ∨ ϑ) = (ϕ ∧ ψ) ∨ (ϕ ∧ ϑ) (bzw. ∧ und ∨ vertauschen)
D E M ORGANsche Regeln
ϕ∧ψ = ϕ∨ψ
ϕ∨ψ = ϕ∧ψ
Die Regeln können auf mehr als zwei Variable verallgemeinert werden.
Involutionsregel (doppelte Verneinung): ¬(¬ϕ) = ϕ = ϕ
Tautologie (ausgeschlossenes Drittes):
ϕ ∨ ¬ϕ = ϕ ∨ ϕ = 1
Kontradiktion (Widerspruch):
ϕ ∧ ¬ϕ = ϕ ∧ ϕ = 0
Idempotenz:
ϕ∧ϕ = ϕ
ϕ∨ϕ = ϕ
neutrale Elemente 0 und 1:
ϕ ∨ 0 = ϕ ϕ ∧ 1 = ϕ 0 = ¬1
Kontraposition:
1.2
1.2.1
(ϕ ⇒ ψ) = (¬ψ ⇒ ¬ϕ)
Mengen
Grundlagen
Eine Menge ist eine ungeordnete Sammlung von inhaltlich zusammengehörigen Objekten (Elementen).
Mengenbezeichnung: A, B, M , . . .
A = {a 1 , . . . , a n } (aufzählende Form)
Elementebezeichnung: a, b, x 1 , . . .
Zuordnung zur Menge: x ∈ M („x Element M “) bzw. x i ̸∈ M („x kein Element M “)
Mengenbildungsoperator: {x ∈ G|A(x)}
„Menge aller x Element G, für die gilt: A(x).“
©
ª
Angabe einer charakteristischen Eigenschaft: B = x|x = k 3 ∧ k ∈ N
Zweiermenge (ungeordnete Reihenfolge): {a, b}
Paar (geordnete Reihenfolge): (a, b)
Stets gilt {a, b} = {b, a}, für a ̸= b ist jedoch (a, b) ̸= (b, a).
1
16
1 Logik, Arithmetik, Algebra
Geordnetes Tripel: (x, y, z)
geordnetes n-Tupel: (x 1 , x 2 , . . . , x n )
Leere Menge: ;, {}
(enthält kein Element, auch nicht die Null)
Endliche Menge: {a 1 , a 2 , a 3 } unendliche Menge: {a 1 , a 2 , . . .}
Ist eine Menge M ⊂ R nach unten (oben) beschränkt, so hat sie mindestens
eine untere (obere) Schranke S.
Supremum: sup X , kleinste obere Schranke, obere Grenze der Menge X
Infimum: inf X , größte untere Schranke, untere Grenze der Menge X
1.2.2
Mengenoperationen
Inklusion, A ist Teilmenge (Untermenge) von B (Obermenge)
A ⊆ B ⇔ ∀x : x ∈ A ⇒ x ∈ B
echte Teilmenge: A ⊂ B
Gleichheit
A = B ⇔ ∀x : x ∈ A ⇔ x ∈ B
A = B ⇔ A ⊆ B ∧B ⊆ A
Vereinigung, Disjunktion
A ∪ B := {x|x ∈ A ∨ x ∈ B }
Durchschnitt, Konjunktion
A ∩ B := {x|x ∈ A ∧ x ∈ B }
A und B sind disjunkt (elementefremd): A ∩ B = ∅
A
B
Vereinigung A ∪ B
A
B
Durchschnitt A ∩ B
Differenz zweier Mengen
A \ B := {x|x ∈ A ∧ x ̸∈ B }
A \ B ̸= B \ A
A \B = A ∩B
A \ (B \C ) ̸= (A \ B ) \C
A
B
A \ B Differenzen B \ A
17
1.2 Mengen
Komplement einer Menge B in Bezug auf Grundmenge
G (Bild)
B
B
B := G \ B = {x ∈ G|x ̸∈ B }
Potenzmenge, Menge aller Teilmengen von A
P (A) := {X |X ⊆ A}
A, ∅ ∈ P (A)
kartesisches Produkt zweier Mengen (Menge von geordneten Paaren)
©
ª
A × B := (x, y)|x ∈ A ∧ y ∈ B
für A ̸= B gilt A × B ̸= B × A
Produktmenge, Menge aller n-Tupel (x 1 , . . . , x n ) : M 1 ×· · ·×M n
Mengenpotenz: M n := |M × M {z
× . . . × M}
n≥1
xi ∈ Mi
n
1.2.3
Rechenregeln für Mengen
(G Grundmenge)
Reflexive Beziehung:
Komplementgesetze:
Transitive Beziehung:
Teilmengenbeziehung:
Kommutativgesetze:
Assoziativgesetze:
Absorptionsgesetze:
Distributivgesetze:
A⊆A
A=A
G = ∅ ∅ = G A∩A = ∅ A∪A = G
A ⊆ B ∧B ⊆ C ⇒ A ⊆ C
A ∩ B ⊆ A ∪ B, A \ B ⊆ A, ∅ ⊆ A, A ⊆ G
A ∩B = B ∩ A
A ∪B = B ∪ A
(A ∩ B ) ∩C = A ∩ (B ∩C )
desgl. mit ∪
A ∩ (A ∪ B ) = A
A ∪ (A ∩ B ) = A
A ∩ (B ∪C ) = (A ∩ B ) ∪ (A ∩C )
A ∪ (B ∩C ) = (A ∪ B ) ∩ (A ∪C )
D E M ORGANsche Regeln: M 1 ∩ M 2 = M 1 ∪ M 2
M1 ∪ M2 = M1 ∩ M2
Produktbeziehungen
(A ∪ B ) ×C = (A ×C ) ∪ (B ×C )
(A ∩ B ) ×C = (A ×C ) ∩ (B ×C )
C × (A ∪ B ) = (C × A) ∪ (C × B )
C × (A ∩ B ) = (C × A) ∩ (C × B )
Es gilt: A × B = ∅ ⇔ A = ∅ ∨ B = ∅
A ⊆ C ∧B ⊆ D ⇒ A ×B ⊆ C ×D
1