Lineare Algebra

Lineare Algebra
Jung Kyu Canci
Mit der Hilfe von:
Stefano Iula, Olivia Ebneter, Katharina Laubscher, Viviane Wehrle
Herbstsemester 2015
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Inhaltsverzeichnis
1 Einführung in die Lineare
1.1 Elementare Logik . . . .
1.1.1 Aussagen . . . .
1.1.2 Verknüpfung von
Algebra
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Aussagen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3
5
5
5
5
4
INHALTSVERZEICHNIS
Kapitel 1
Einführung in die Lineare Algebra
1.1
1.1.1
Elementare Logik
Aussagen
In der Mathematik und in der Logik ist eine Aussage ein sprachliches Gebilde, das
entweder wahr oder falsch ist. Auch wenn wir nicht wissen, welches von beiden gilt,
muss erkennbar sein, dass eine und nur eine der beiden Möglichkeiten zutreffen kann.
Beispiel 1.1. Dies sind Aussagen:
• “Ein Hund ist ein Tier.” (Wahr)
• “2 plus 2 ist gleich 3.” (Falsch) Man schreibt auch 2 + 2 = 3.
• “Jedes Vielfache von 4 ist eine gerade Zahl.” (Wahr)
Dies sind keine Aussagen:
• “2+2.” Es fehlt etwas.
• “α ist grösser als 5.” Man weiss nicht, was α ist; es muss zuerst α definiert werden.
Vorsicht: Es gibt einige Sätze, bei denen kein Mensch bestimmen kann, ob sie gelten
oder nicht. Aber man erkennt, dass sie entweder falsch oder wahr sind.
Beispiel 1.2. “Jede gerade Zahl grösser als 3 ist die Summe zweier Primzahlen.” Dies
ist eine Aussage, von der kein/e Mathematiker/in weiss, ob sie wahr oder falsch ist.
1.1.2
Verknüpfung von Aussagen
Man kann neue Aussagen bilden, indem zwei oder mehr Aussagen verknüpft werden.
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KAPITEL 1. EINFÜHRUNG IN DIE LINEARE ALGEBRA
• Disjunktion. Seien p und q zwei Aussagen. Die Aussage p ∨ q ist wahr, wenn
entweder p oder q oder beide Aussagen p und q wahr sind. Die Wahrheitstabelle
von p ∨ q ist folgende, wobei m wahr und 7 falsch bedeutet.
p
m
m
7
7
q
m
7
m
7
p∨q
m
m
m
7
(1.1)
Z.B. zeigt die erste Reihe, dass p ∨ q wahr ist, wenn p und q beide wahr sind. Die
zweite Reihe zeigt, dass p ∨ q wahr ist, wenn p falsch und q wahr ist.
Wenn man in der Mathematik die Aussage “p oder q sind wahr” sagt, können auch
beide wahr sein.
Beispiel 1.3. Sei p die Aussage p: “6 ist eine Primzahl” und sei q die Aussage q:
“7 ist eine Primzahl”. p ∨ q ist die Aussage p ∨ q: “Entweder 6 ist eine Primzahl
oder 7 ist eine Primzahl oder beides sind Primzahlen”. Obwohl p falsch ist, ist p ∨ q
wahr, weil q wahr ist.
• Konjunktion. Seien p und q zwei Aussagen. Die Aussage p ∧ q ist nur dann wahr,
wenn beide Aussagen wahr sind. Die Wahrheitstabelle von p ∧ q ist folgende:
p
m
m
7
7
q
m
7
m
7
p∧q
m
7
7
7
(1.2)
Wenn mindestens eine der Aussagen p und q falsch ist, ist p ∧ q falsch.
Beispiel 1.4. Seien a, b, c die folgenden Aussagen:
a: 42 = 16;
b: sin π = 1;
c: cos π = −1;
Es gilt: a ∧ b ist falsch, a ∧ c ist wahr, b ∧ c ist falsch.
• Implikation. Seien p und q zwei Aussagen. Die Aussage p ⇒ q ist wahr, wenn die
Aussage q logisch aus der Aussage p folgt. Um genau zu sein, betrachten wir die
Wahrheitstabelle von p ⇒ q:
1.1. ELEMENTARE LOGIK
7
p
m
m
7
7
q
m
7
m
7
p⇒q
m
7
m
m
Die Implikation p ⇒ q ist genau dann falsch, wenn p wahr und q falsch ist. In allen
anderen Fällen ist p ⇒ q wahr. Man sagt, dass p ⇒ q genau dann stimmt, wenn p
wahr und q falsch nicht möglich ist.
Beispiel 1.5. Seien a, b, und c die folgenden Aussagen:
a: Es regnet.
b: Es gibt Wolken.
c: Ich bin glücklich.
a ⇒ b stimmt, weil es nicht möglich ist, dass es regnet und es keine Wolken gibt.
Wir nehmen an, dass ich den Regen nicht mag. Also ist a ⇒ c falsch. Denn wenn
a wahr ist, ist c falsch.
• Äquivalenz. Seien p und q zwei Aussagen. Die Aussage p ⇔ q ist die Zusammenfassung von (p ⇒ q) ∧ (q ⇒ p). Die Wahrheitstabelle ist folgende:
p
m
m
7
7
q
m
7
m
7
p⇔q
m
7
7
m
Daher sind zwei Aussagen p und q genau dann äquivalent, wenn die Wahrheitswerte
von p und q gleich sind.
Beispiel 1.6. Seien a, b, und c die folgenden Aussagen:
a: Ich habe eine 4 in der Prüfung von Lineare Algebra bekommen.
b: Ich habe die Prüfung in Lineare Algebra bestanden.
c: Ich habe eine Note grösser oder gleich 4 in der Prüfung von Lineare Algebra
bekommen.
a ⇒ b stimmt. Aber a ⇔ b stimmt nicht, weil b nicht a impliziert. b ⇔ c stimmt.
• Negation. Sei p eine Aussage. Die Aussage ¬p ist immer dann wahr, wenn die
Aussage p falsch ist, und immer dann falsch, wenn die Aussage p wahr ist. Die
Wahrheitstabelle ist folgende:
p ¬p
m 7
(1.3)
7 m
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KAPITEL 1. EINFÜHRUNG IN DIE LINEARE ALGEBRA
Beispiel 1.7. Sei p die folgende Aussage:
p: “Ich habe Lust, die Aufgaben in Lineare Algebra zu lösen.”.
Also ist ¬p: “Ich habe keine Lust, die Aufgaben in Lineare Algebra zu lösen.”.
Vorsicht! ¬p ist nicht äquivalent zu “Ich hasse es, die Aufgaben in Lineare Algebra
zu lösen.”.
Einige Eigenschaften der Verknüpfungen von Aussagen
Seien a, b, c feste Aussagen, aber beliebig gewählt.
• Kommutativgesetz. Die Aussagen
i) “a ∨ b ist äquivalent zu b ∨ a”
ii) “a ∧ b ist äquivalent zu b ∧ a”
gelten.
Beweis: Trivial oder betrachte die Tabellen (1.1) und (1.2) zuerst mit a = p und
b = q und dann mit a = q und b = p.
• Assoziativgesetz. Die Aussagen
i) “a ∨ (b ∨ c) ist äquivalent zu (a ∨ b) ∨ c”
ii) “a ∧ (b ∧ c) ist äquivalent zu (a ∧ b) ∧ c”
gelten. Z.B. wird durch die Klammer in a∨(b∨c) angezeigt, dass zuerst die Aussage
b∨c betrachtet werden soll und dann die Disjunktion der Aussage a mit der Aussage
b ∨ c; analog mit den anderen Aussagen (a ∨ b) ∨ c, a ∧ (b ∧ c) und (a ∧ b) ∧ c.
Beweis von i). Durch die folgende Wahrheitstabelle:
a
m
m
7
7
m
m
7
7
b
m
7
m
7
m
7
m
7
c
m
m
m
m
7
7
7
7
b∨ c
m
m
m
m
m
7
m
7
a∨(b∨ c)
m
m
m
m
m
m
m
7
a∨ b
m
m
m
7
m
m
m
7
(a∨ b)∨ c
m
m
m
m
m
m
m
7
Alternativer Beweis: Die Aussage a ∨ (b ∨ c) ist genau dann wahr, wenn mindestens
eine der Aussagen a und b ∨ c gilt. Ferner ist die Aussage b ∨ c wahr genau dann,
wenn mindestens eine der Aussagen b und c gilt. Daher ist die Aussage a ∨ (b ∨ c)
wahr genau dann, wenn mindestens eine der Aussagen a, b oder c gilt. Analog für
(a ∨ b) ∨ c.
Beweis von ii). Siehe Aufgabe ??.
1.1. ELEMENTARE LOGIK
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• Distributivgesetz. Die Aussagen
i) “a ∨ (b ∧ c) ist äquivalent zu (a ∨ b) ∧ (a ∨ c)”
ii) “a ∧ (b ∨ c) ist äquivalent zu (a ∧ b) ∨ (a ∧ c)”
gelten.
Beweis von i). Durch die folgende Wahrheitstabelle:
a
m
m
7
7
m
m
7
7
b
m
7
m
7
m
7
m
7
c
m
m
m
m
7
7
7
7
b∧ c
m
7
m
7
7
7
7
7
a∨(b∧ c)
m
m
m
7
m
m
7
7
a∨ b
m
m
m
7
m
m
m
7
a∨ c
m
m
m
m
m
m
7
7
(a∨ b)∧(a∨ c)
m
m
m
7
m
m
7
7