¨Ubungsaufgaben zur Vorlesung Lineare Algebra II

Übungsaufgaben zur Vorlesung Lineare Algebra II
Serie 2
Sommersemester 2017, Prof. Dr. B. Fritzsche
- Abgabe am 19.04.2017 vor der Vorlesung
2-1. Seien p, q ∈ N und A ∈ Cp×q . Zeigen Sie die Gültigkeit folgender Aussagen:
(A+ )+ = A, (A∗ )+ = (A+ )∗ , (AA∗ )+ = (A+ )∗ A+ , (A∗ A)+ = A+ (A+ )∗ , A+ = A∗ (AA∗ )+ ,
A+ = (A∗ A)+ A∗ , rankC (A+ ) = rankC (A), R(A+ ) = R(A∗ ), N (A+ ) = N (A∗ ).
2-2. Seien p, q und r positive ganze Zahlen.
(a) Seien A ∈ Cp×q und B ∈ Cp×r . Zeigen Sie die Äquivalenz folgender Aussagen:
(i) R(A) ⊆ R(B).
(ii) Es gibt ein X ∈ Cr×q mit A = BX.
(iii) BB + A = A.
(b) Seien A ∈ Cp×q und C ∈ Cr×q . Weisen Sie die Äquivalenz folgender Aussagen nach:
(i) R(A∗ ) ⊆ R(C ∗ ).
(ii) Es gibt ein Y ∈ Cp×r mit A = Y C.
(iii) AC + C = A.
2-3. Überprüfen Sie, ob es jeweils eine K-lineare Abbildung Φ : V → W mit den angegebenen K-Vektorräumen
V und W und den angegebenen Eigenschaften gibt. Geben Sie im Falle der Existenz eine solche K-lineare
Abbildung Φ an und untersuchen Sie, ob dann diese K-lineare Abbildung eindeutig bestimmt ist.
1
2
4
−1
10
2
2
(a) K = R, V = W = R ; Φ
=
, Φ
=
, Φ
=
.
1
1
−1
3
0
6
1
2
4
−1
10
2
(b) K = R, V = W = R2 ; Φ
=
, Φ
=
, Φ
=
.
1
1
−1
3
0
8
1
2
4
−1
(c) K = R, V = W = R2 ; Φ
=
, Φ
=
.
1
1
−1
3
1
2
2
=
.
(d) K = R, V = W = R ; Φ
1
1


z z1 + 2z3
1
z −z
z2
(e) K = C, V = C3 , W = C4 ; Φ
=  z22 + z23  für alle z1 , z2 , z3 aus C mit
z3
−z1 + 3z3
|z1 |2 + |z2 |2 + |z3 |2 = 1.
x 
α
1
(f) K beliebiger Körper, q ∈ N, V = W = K q , α1 , α2 , . . . , αq ∈ K;
x2 
Φ  .. 
.
xq
=

1 x1
α2 x2 
 .. 
.
αq xq
für alle
x1 , x2 , . . . , xq ∈ K .
2-4. Seien V und W Vektorräume über dem Körper K sowie Φ : V → W eine lineare Abbildung.
(a) Weisen Sie nach, dass im Fall der Injektivität von Φ die wie folgt definierte Abbildung Ψ : Im Φ → V
eine lineare Abbildung ist:
Für jedes w ∈ ImΦ sei Ψ(w) := v, wobei v der eindeutig bestimmte Vektor aus V mit Φ(v) = w ist.
(Man nennt Ψ die Umkehrabbildung von Φ und schreibt Φ−1 für Ψ.)
(b) Zeigen Sie, dass im Fall, dass Φ ein Isomorphismus ist, auch die Umkehrabbildung Ψ von Φ ein
Isomorphismus ist.
(c) Weisen Sie nach, dass im Fall dimK V = dimK W < ∞ folgende Aussagen äquivalent sind:
(i) Φ ist injektiv.
(ii) Φ ist surjektiv.
(iii) Φ ist bijektiv.
Zeigen Sie, dass (im Spezialfall W = V ) die Menge aller injektiven linearen Abbildungen Φ : V → V
bezüglich der Hintereinanderausführung von Abbildungen eine Gruppe bildet. In welchen Fällen ist
diese Gruppe abelsch?
2-Z. Seien p, q ∈ N sowie K ∈ {R, C} und A ∈ Cp×q . Beweisen Sie folgende Aussagen:
(a) rankA = rank(A∗ A) = rank(AA∗ ).
(b) N (A) = N (A∗ A) und N (A) = R(Iq − A+ A) sowie R(A) = R(AA∗ ).
(c) Sei b ∈ Kp . Dann ist das lineare Gleichungssystem Ax = b genau dann lösbar, wenn AA+ b = b erfüllt
ist. In diesem Fall ist L(A, b) := A+ b + R(Iq − A+ A) die Menge aller Lösungen von Ax = b.