Ubungen zu Fana2 WS11, 3. ¨Ubung

Übungen zu Fana2 WS11, 3. Übung
1. Ein topologischer Raum (X, T ) heißt vollständig regulär, falls er (T 2) erfüllt und
falls es zu jedem offenen O ∈ T und jedem x ∈ O eine stetige Funktion f : X →
[0, 1] gibt, sodass f (x) = 1 und f (Oc ) ⊆ {0}.
Man zeige, dass Teilräume versehen mit der Spurtopologie von vollständig regulären Räumen auch vollständig regulär sind.
Man zeige weiters, dass, falls die Abbildung ι aus dem letzten Beispiel der 2ten
Übung betarchtet als Abbildung von X auf ι(X), versehen mit der Spurtopologie
als Teilmenge von M, ein Homöomorphismus ist, der Raum X dann vollständig
regulär ist.
Schließlich zeige man, dass, wenn X vollständig regulär ist, die Abbildung ι :
X → ι(X) ein Homöomorphismus ist.
Hinweis: Zu jeder O ∈ T und x ∈ O betrachte man {m ∈ M : m( f ) > 21 } ∩ ι(X),
wenn f wie in der Definition von ’vollständig regulär’ ist. Wie liegt diese Menge,
wenn man sie mit ι(O) und ι(x) vergleicht?
Bemerkung: M bezeichnet man auch als Stone-Czech Kompaktifiziereung, wenn
X vollständig regulär ist. Sie ist bis auf homöomorphe Kopien jene Kompakte
’Obermenge’ βX von X, die X dicht enthält und sodass sich jede beschränkte
und stetige Funktion auf X stetig nach βX fortsetzen lässt.
2. Sei Ω ein kompakter T2-Raum und Φ : C(Ω) → C( ⊆ B(H)) ein isometrischer
C ∗ -Isomorphismus. Bezeichne mit A die σ-Algebra aller Borel Mengen in Ω.
Weiters sei E das eindeutige reguläre Spektralmaß für hΩ, A, Hi, sodass
Z
Φ(φ) =
φ dE, φ ∈ C(Ω) .
Man zeige: Ist ∆ ⊆ Ω offen und nicht leer, so gilt E(∆) , 0.
Hinweis: Ω is vollständig regulär!
3. Mit der Notation aus dem letzten Beispiel sei ∆ ∈ A, und
R setze G :=R E(∆)H =
ran E(∆). Sind φ1 , φ2 ∈ B(Ω, A), so zeige man, dass [ φ1 dE]|G = [ φ2 dE]|G ,
wenn φ1 (t) = φ2 (t), t ∈ ∆.
R
Zeigen Sie, dass dabei σ([ φdE]|G ) ⊆ φ(∆).
Zeigen Sie weiters, dass für offene und nichtleere ∆ und φ ∈ B(Ω, A), sodass φ|∆
stetig ist, immer
Z
φ(∆) ⊆ σ([
φdE]|G ).
R
Hinweis: Nehmen Sie an, Rdass φ(x) ∈ ρ([ φdE]|G ) für ein x ∈ ∆. Zeigen Sie,
dass dann auch φ(y) ∈ ρ([
R φdE]|G ) für alle
R y aus einer kompakten Umgebung
′
∆ von x. Wie stehen ρ([ φdE]|G ) und ρ([ φdE]|G′ ) mit G′ := E(∆′ )H in Verbindung?
4. Sei E : A →RB(H) ein Spektralmaß für hΩ, A, Hi und φ ∈ B(Ω, A). Man zeige,
dass λ ∈ σ p ( φdE) (Punktspektrum) genau dann,R wenn E({t ∈ Ω : φ(t) = λ}) ,
0. Dabei gilt ran E({t ∈ Ω : φ(t) = λ}) = ker(λI − φdE).
Zeigen Sie weiters: Ist T ∈ B(H) normal und ist E das zu TR gehörige Spektralmaß, und liegt λ ∈ σ(T ) isoliert, dann folgt φ(λ) ∈ σ p ( φdE) für jedes
beschränkte, messbare φ : C → C.
R
5. Mit der Notation aus dem vorherigen Beispiel zeigen Sie, dass φdE genau dann
kompakt ist, wenn
∀ǫ > 0 ⇒ dim ran E({t ∈ Ω : |φ(t)| ≥ ǫ}) < ∞.
Was besagt diese Äquivalenz, wenn Ω = C für einen normalen T ∈ B(H) und
wenn E das zu T gehörige Spektralmaß ist.
Zeigen Sie damit, dass (K ∗ K)1/2 kompakt ist, wenn K ein kompakter Operator
auf H ist.
6. Geben sie ein Beispiel eines selbstadjungierten und daher auch normalen T ∈
B(H) an, sodass H keine ONB bestehend aus Eigenvektoren von T hat. (Hinweis:
Multiplikationsoperator auf einem L2 (µ) für ein geeignetes µ.)
Zeigen Sie weiters, dass für jeden kompakten und normalen Operator T ∈ B(H)
es eine ONB von H bestehend aus Eigenvektoren gibt.
7. Sei H = ℓ2 (N) und T : D → ℓ2 (N) mit T ((xn )n∈N ) = (n · xn )n∈N , wobei D =
{(xn )n∈N ∈ ℓ2 (N) : (n · xn )n∈N ∈ ℓ2 (N)}. Zeigen Sie, dass T ein abgeschlossener
Operator ist, dh. dass der Graph von T als Teilmenge von H × H abgeschlossen
ist.
8. Sei A eine Banachalgebra und B ⊆ A eine kommutative Unteralgebra. Man zeige,
dass dann auch B kommutativ ist.
Weiters sei H ein Hilbertraum und A eine kommutative Unteralgebra von B(H).
w
Zeigen sie, dass der Abschluss A in B(H) bezüglich der schwachen Operatortopologie eine kommutative Banachalgebra ist.
Die schwache Operatortopologie ist die von den Funktionalen A 7→ (Ax, y) von
w
B(H) erzeugten initiale Topologie. Insbesondere ist A ∈ A genau dann, wenn es
ein Netz (Ai )i∈I gibt, sodass (Ai x, y) → (Ax, y) für alle x, y ∈ H.
w
w
Hinweis: Zeigen Sie zuerst, dass für A ∈ A, B ∈ A , gilt, dass AB = BA ∈ A !