TC1 – Grundlagen der Theoretischen Chemie

TC1 – Grundlagen der Theoretischen Chemie
Irene Burghardt ([email protected])
Praktikumsbetreuung:
Robert Binder ([email protected])
Jan von Cosel ([email protected])
Pierre Eisenbrandt ([email protected])
Vorlesung: Di 10h-12h, Fr 9h-10h
Übungen: Fr 10h-11h / 13h-14h
Web site: http://www.theochem.uni-frankfurt.de/TC1
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Wie real ist die Wellenfunktion?
• Arbeitshypothese (Schrödinger): Die Wellenfunktion Ψ enthält voll-
ständige Information über den Zustand des quantenmechanischen
“Systems” (z.B. Teilchen im Kasten, Atom, Molekül)
• abstrakte (darstellungsfreie) Schreibweise: |Ψi ist ein “Zustandsvektor”,
der in einem komplexen Funktionenraum (Hilbertraum) definiert ist
• physikalische
Bedeutung: Ψ ist das grundlegende Objekt der
Schrödingerschen “Wellenmechanik”. Ψ beschreibt Teilchen, die auch
Wellencharakter haben (z.B. Elektronen) bzw. Wellen, die auch
Teilchencharakter haben (z.B. Licht/Photonen).
R∞
∗
• die Wellenfunktion ist normierbar,
dx
Ψ
(x)Ψ(x) = 1; die
−∞
Normierung reflektiert, dass das Teilchen sich zu jeder Zeit “irgendwo
im Raum” befindet
• das Betragsquadrat der Wellenfunktion |Ψ(x)|2 = Ψ∗(x)Ψ(x) gibt die
Aufenthaltswahrscheinlichkeit des Quantenteilchens am Ort x an.
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Operatoren
• dienen dazu, die “observablen” Eigenschaften des durch
beschriebenen Zustands “abzufragen”: Ort, Impuls, Energie, . . .
(während ψ selbst nicht “observabel” ist!)
ψ
• der Operator Ô ist eine Vorschrift (Multiplikation, Differentiation, etc.),
die “nach rechts” auf die Wellenfunktion wirkt:
– Ort: x̂ψ(x) = xψ(x)
– Impuls: p̂ψ(x) = (h̄/i)(dψ(x)/dx)
– kinetische Energie: T̂ ψ(x) = (p̂2/2m)ψ(x) = (−h̄2/2m)(d2ψ(x)/dx2)
– potentielle Energie: V̂ (x̂)ψ(x) = V (x)ψ(x)
z.B. V (x) = 1/2kx2, V (x) = q1q2/x
– Gesamtenergie: Ĥψ(x) = (T̂ + V̂ )ψ(x) (Hamilton-Operator)
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Physikalische Bedeutung von
Eigenwerten/Erwartungswerten
• Eigenwerte sind messbar: wenn z.B. Impuls oder Energie durch
eine geeignete Messapparatur gemessen werden, und das System
sich in einem Eigenzustand ψn befindet, wird der dazugehörige
Eigenwert ωn gemessen.
• Erwartungswerte machen Aussagen über statistische Resultate wiederholter Messungen.
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Erwartungswerte
wenn sich das System nicht in einem Eigenzustand befindet, können wir
nur “Erwartungswerte” = Mittelwerte bestimmen:
R
dx ψ ∗Ôψ
hÔi = R
dx ψ ∗ψ
• wenn ψ = ψn Eigenfunktion des Operators Ô mit Eigenwert ωn ist,
erhalten wir: hÔi = ωn
• wenn ψ keine Eigenfunktion des Operators Ô ist, ergibt eine Entwicklung
in Eigenfunktionen {ψn(x)}:
ψ(x) =
X
cnψn(x)
n
hÔi =
X
n
c∗ncnωn
≡
X
n
Pn ωn
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Erwartungswert & Standardabweichung
hL̂i =
X
Wn Λn ≡
n
X
|cn|2 Λn =
n
Z
=
X
c∗ncn
Z
∗
dx ψn
L̂ψn
n
∗
dx Ψ L̂Ψ
wobei
Ψ=
X
c n ψn
n
Standardabweichung:
q
∆L =
hL̂2i − hL̂i2
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Wahrscheinlichkeit eines Messergebnisses
Pn = Wahrscheinlichkeit, mit der der Eigenwert ωn gemessen wird
|ψi = c1|0i + c2|1i
P1 = c∗1 c1, P2 = c∗2 c2
• eine einzelne Messung liefert den zu |0i oder |1i gehörigen Eigenwert
• bei wiederholten Messungen werden die Eigenwerte mit den jeweiligen
Wahrscheinlichkeiten P1 vs. P2 gemessen
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Kohärente Superpositionen & Messprozess
√ |Ψcati = 1/ 2 |alivei + |deadi
• gemessen wird der Eigenzustand |alivei oder |deadi
• durch die Messung wird das System verändert: es kommt zur Projektion
auf den betreffenden Eigenzustand: “Kollaps der Wellenfunktion”,
“Reduktion der Wellenfunktion”
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Doppelspaltversuch & Messung durch Licht
http://physik.uni-graz.at/cbl/QM/contents/Projekte2004/p1/G2Doppelspalt/DSKlaWirk.html
Versucht man zu “messen”, durch welchen der beiden Spalte (1 oder 2)
das Teilchen durchtritt (Fall d), wird das das Interferenzmuster zerstört:
die Wellenfunktion “kollabiert”
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Experimenteller Nachweis quantenmechanischer
Überlagerungen (“cat states”)
• Anfang 80er Jahre: Aspect et al., Phys. Rev. Lett. 47, 460 (1981):
Auflösung des Einstein-Podolsky-Rosen-Paradoxons
• 2003: Zeilinger et al.: Quanteninterferenz mit Fullerenen (!) – de
Broglie-Wellenlänge ∼pm
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