lenfunktion Ψ(x)

Einige Prinzipien der Quantenmechanik
In der Quantenmechanik wird ein Teilchen durch eine i.A. komplexe Wellenfunktion Ψ(x) beschrieben. Ψ∗ (x)Ψ(x) ist die Wahrscheinlichkeitsdichte, das Teilchen am Ort x zu finden. Die Wellenfunktion ist normiert:
Z
∞
Ψ∗ (x)Ψ(x)dx = 1
−∞
(1)
Ausnahme: die Wellenfunktion freier Teilchen läßt sich nicht normieren,
da sie sich im gesamten Raum aufhalten können. In diesem Fall beschreibt
die Wellenfunktion einen Strom von Teilchen.
Jeder Observablen (Meßgröße) O ist ein Operator Ô zugeordnet. Wir betrachten nur Operatoren, die zu einer Observablen gehören, und die wichtigsten sind: Impulsoperator p̂ = h̄i ∂/∂x, Ortsoperator x (einfache Multiplikation), Drehimpuls um die z-Achse ˆlz = h̄i ∂/∂φ, sowie der Hamiltonoperator (s.u.). Der Erwartungswert einer Meßgröße berechnet sich aus:
hÔi =
Z
∞
Ψ∗ (x)ÔΨ(x)dx
−∞
(2)
Eine Wellenfunktion kann Eigenfunktion zu einem Operator Ô sein, dann
gilt: ÔΨ(x) = eΨ(x), wobei e eine reelle Zahl ist. Wird ein Teilchen durch
eine Eigenfunktion Ψ(x) zum Operator Ô mit dem Eigenwert e beschrieben, so liefert jede Messung den Wert e für diese Observable.
In eindimensionalen stationären Systemen erhält man die Wellenfunktion
aus der stationären Schrödingergleichung:
h̄2 d2
ĤΨ(x) = −
+ V (x) Ψ(x) = EΨ(x)
2m dx2
!
(3)
Der Hamiltonoperator Ĥ gehört zur Meßgröße Energie; der erste Term ist
die kinetische, der zweite die potentielle Energie. Diese Schrödingergleichung ist eine Eigenwertgleichung für den Hamiltonoperator. In gebundenen Systemen gibt es diskrete Werte für die Energie E.
Zu einem Eigenwert e eines Operators Ô können mehrere linear unabhängige Eigenfunktionen gehören; der Eigenwert ist dann entartet. Jede Linearkombination dieser Eigenfunktionen ist wiederum eine Eigenfunktion
zum selben Eigenwert e.
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