Klassen WI09abct FrSe 10 ungr MLAN2 Geometrie Serie 14

Klassen WI09abct
FrSe 10
ungr
MLAN2 Geometrie
Serie 14
Aufgabe 1
Bestimmen Sie die Menge aller Punkte z ∈ C für die gilt:
|z − 2| > |2z − 1|
Aufgabe 2
Seien a, b ∈ R.
Zerlegen Sie a2 + b2 in zwei Faktoren z1 , z2 ∈ C.
Aufgabe 3
Bestimmen Sie alle Lösungen der folgenden Gleichungen und stellen Sie diese Lösungen in der Gauss’schen
Ebene als Zeiger graphisch dar:
a) z 4 + 1 = 0
b) z 3 + 27j = 0
c) z 6 = 64
Aufgabe 4
Gegeben sind z1 = 2 + j, z2 = 3 − 2j, z3 = −3 + 5j und z4 = −8j.
Gesucht sind:
a) z2 ·z3
b) z1 ·z2 ·z4
c) z22 +z32
d) z42 −z22
1
e) Re(z1 + z4 ) f) Im(z2 ·z3 )
2
g) z2 ·z2∗
h) |z3 ·z4 |
Aufgabe 5
4 + 3j
a)
4 − 3j
56 + 33j
b)
12 + 5j
√
√
3 − 2j
√
√
c)
3 + 2j
(
d)
1−j
1+j
)12
−
1 − j 11
1 + j 11
e)
1 + bj
1 − bj
−
a−j
a+j
Aufgabe 6
Lösen Sie die folgenden quadratischen Gleichungen:
a) z 2 + 3z + 3 = 0
b) 2z 2 − 10z + 13 = 0
Aufgabe 7
Schreiben Sie die folgenden Zahlen in der trigonometrischen bzw. exponentiellen Form:
z1 = 1 + j
z2 = 2 + 3j
1
z3 = 3j − 4
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MLAN2 Geometrie
Lösungen Serie 14
Lösung 1
(x − 2)2 + y 2 > (2x − 1)2 + 4y 2
⇐⇒
x2 + y 2 < 1
d.h. z ∈ C muss im Inneren des Einheitskreises mit Mittelpunkt M (0, 0) sein.
Lösung 2
a2 + b2 = (a + jb) (a − jb)
Lösung 3
a) z1.2 = ±
√
2
2
(1 + j) und z3.4 = ±
b) z1 = 3j und z2.3 = ±
c) z1.2 = ±2, z3.4
√
2
2
(1 − j), paarweise konjugiert komplex
√
3 3
2
− 32 j
√
√
= ± (1 + j 3) und z5.6 = ± (1 − j 3), konjugiert komplex
Lösung 4
a) 1+21j
b) −8−64j
c) −11−42j
d) −69+12j
e) 2 f) 21
g) 13 h)
√
402 + 242 =
√
√
2176 = 8 34
Lösung 5
a)
1
1
(7 + 24j) b)
(837 + 116j)
25
169
c)
√
1
(1 − 2 6j) d) 1 − j
5
e)
2j · (ab + 1)
a2 + 1
Lösung 6
Die Lösungen sind je paarweise konjugiert komplex.
√
a) z1.2 = 12 (−3 ± j 3)
b) z1.2 = 12 (5 ± j)
Lösung 7
√ (
π
π
π ) √
2 cos ( ) + j sin ( ) = 2 ej 4
4
4
( )
√
√
3
z2 = 13 (cos (φ) + j sin (φ)) = 13 ejφ
φ = arctan
2
(
)
3
z3 = 5 (cos (φ) + j sin (φ)) = 5 ejφ
φ = arctan −
+π
4
z1 =
2
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