¨Ubungsaufgaben Axiomatische Geometrie SS 2009

Übungsaufgaben Axiomatische Geometrie
SS 2009 - 4. Serie
4.1 Beweisen Sie, dass in einer Hilbert-Ebene der Kongruenzsatz (SSWg ) gilt:
Haben zwei Dreiecke zwei paarweise kongruente Seiten und sind die Winkel,
die der größeren Seite gegenüber liegen, ebenfalls einander kongruent, dann
sind die Dreiecke kongruent.
Gilt der Satz auch, wenn die beiden Seiten des Dreiecks zueinander kongruent,
also beide Dreiecke gleichschenklig sind?
4.2 Sei ε eine Hilbert-Ebene und ϕ : ε −→ ε eine Bewegung von ε mit mindestens
2 verschiedenen Fixpunkten A, B ∈ ε, die nicht die Identität ist. Beweisen Sie:
a) Sämtliche Punkte der Geraden g = g(A, B) sind Fixpunkte von ϕ.
b) ϕ ist eine Spiegelung an der Geraden g = g(A, B).
4.3 Gegeben sind in einer euklidischen Ebene eine Strecke
AB, ein Winkel α und eine weitere Strecke d. Unter
welchen Bedingungen existiert ein Dreieck 4(ABC), so
dass ](ACB) = α und AC + BC = d?
Konstruieren Sie 4(ABC), falls dieses existiert.
4.4 In der euklidischen Ebene sei ein Kreissektor ∠(ABC)
gegeben. Konstruieren Sie zu ∠(ABC) einen einbeschriebenen Kreis.
4.5 In der euklidischen Ebene sei ein Winkel mit dem
Scheitel O und ein Punkt P innerhalb des Winkels gegeben. Von P aus fällen wir das Lot auf die
beiden Schenkel des Winkels. Seien A und B die
Lotfußpunkte. Dann fällen wir von O und P jeweils das Lot auf die Gerade g(AB) und erhalten
die Fußpunkte C und D. Beweisen Sie: AC ∼
= BD.
(Abgabe am 07.05.2009)