Kombinatorik, Graphen, Matroide Klausur

Sommersemester 2011
Forschungsinstitut für Diskrete Mathematik
Prof. Dr. B. Korte
Universität Bonn
Dr. U. Brenner
Kombinatorik, Graphen, Matroide
Klausur
1. Beweisen Sie folgenden Satz: Zu gegebenen positiven ganzen Zahlen a und b gibt es eine
Zahl R0 (a, b), so dass für jede Menge N mit mindestens R0 (a, b) Elementen und jede Menge
E ⊆ {h ⊆ N | |h| = 3} mindestens eine der beiden folgenden Aussagen gilt:
• N enthält eine Teilmenge X mit |X| ≥ a, so dass {h ⊆ X | |h| = 3} ⊆ E.
• N enthält eine Teilmenge Y mit |Y | ≥ b, so dass {h ⊆ Y | |h| = 3} ∩ E = ∅.
(10 Punkte)
2. Zeigen Sie, dass der folgende Graph nicht planar ist:
1111111111111111
0000000000000000
b
00000
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0000000000000000000000000000
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11111
h
Wie viele Kanten muss man mindestens aus dem Graphen entfernen, damit der verbleibende Graph planar ist? Begründen Sie Ihre Antwort.
(4 Punkte)
3. Sei G ein einfacher planarer Graph mit 1 ≤ |E(G)| < 30. Zeigen Sie, dass G einen Knoten
mit Grad höchstens 4 hat.
(5 Punkte)
4. Sei G ein planarer Graph mit Knotenmenge V (G) = {v1 , . . . , vn }, so dass für jedes
i ∈ {1, . . . , n} gilt: |{{vi , vj } ∈ E(G) | j < i}| ≤ 4. Zeigen Sie ohne Benutzung des
Vierfarbensatzes, dass es eine zulässige Knotenfärbung von G mit höchstens 4 Farben
gibt.
(7 Punkte)
5. Sei G ein einfacher Graph mit m Kanten. Zeigen Sie, dass dann χ(G) ≤ 21 +
q
2m + 14 gilt.
(4 Punkte)
6. Betrachten Sie das folgende Problem: Zu einem gegebenen einfachen Graphen G und einer
Abbildung f : E(G) → N soll ein (bezüglich der Kantenzahl) möglichst großer kreisfreier
Teilgraph H von G gefunden werden, so dass f (e) 6= f (e0 ) für alle e, e0 ∈ E(H) mit e 6= e0
gilt. Zeigen Sie, dass es für dieses Problem einen Algorithmus mit polynomieller Laufzeit
gibt.
(7 Punkte)
7. Sei G ein zusammenhängender einfacher Graph. Sei
FG = {F ⊆ E(G) | Jede Komponente von (V (G), F ) enthält höchstens einen Kreis}.
Zeigen Sie, dass (E(G), FG ) ein Matroid ist.
(8 Punkte)
8. Für einen Graphen G mit Knotenmenge V (G) und Kantenmenge E(G) sei FG die Menge
aller stabilen Knotenmengen in G, d.h. FG := {F ⊆ V (G) | ∀v, w ∈ F : {v, w} 6∈ E(G)}.
Zeigen Sie, dass es für jedes > 0 einen Graphen G gibt, so dass der Rangquotient von
(V (G), FG ) kleiner als ist.
(5 Punkte)