Effiziente Algorithmen

Fakultät für Informatik
Professur Theoretische Informatik
und Informationssicherheit
Sommersemester 2014
Prof. Dr. Hanno Lefmann
Effiziente Algorithmen
7. Aufgabe
Aufgabe 7a Zeigen Sie, dass ein Polynom p(x) vom Grad t über einem Körper durch
t+1 Paare (xi , p(xi )) eindeutig bestimmt ist, wenn alle xi paarweise verschieden sind.
Aufgabe 7b Die komplexe Zahl a · ei·ϕ ist gleich der komplexen Zahl a · cos(ϕ) +
i · a · sin(ϕ) für a, ϕ ∈ R und a ≥ 0. Die zweite Darstellung entspricht einem Vektor
des R2 , der Länge a besitzt und den Winkel ϕ mit der ersten Koordinatenachse
einschließt.
1. Zeigen Sie, dass die Addition zweier komplexer Zahlen der Addition der Vektoren entspricht.
2. Zeigen Sie, dass bei der Multiplikation zweier komplexer Zahlen ein Vektor
entsteht, dessen Länge das Produkt der Längen der beteiligten Vektoren ist,
und der mit der ersten Koordinatenachse einen Winkel einschließt, der gleich
der Summe der Winkel der beiden beteiligten Vektoren ist.
3. Zeigen Sie mit Hilfe der Aussagen aus 1. und 2., dass w = ei·2π/n primitive
n-te Einheitswurzel ist.
Aufgabe 7c Finden Sie eine primitive 8-te Einheitswurzel in Z4097 . Bestimmen Sie
das multiplikativ Inverse von 8 in Z4097 .
Aufgabe 7d
(a) Berechnen Sie für eine 4-te Einheitswurzel Ihrer Wahl in dem Körper C der
komplexen Zahlen die diskrete Fouriertransformation des Vektors a = (1, 2, 5, 3)> .
Berechnen Sie auch die inverse diskrete Fouriertransformation des Vektors
b = (1, i, −i, 1)> .
(b) Existiert eine 8-te Einheitswurzel in Z17 ? Ist Ihre Antwort JA, so verifizieren
Sie dieses, wenn Ihre Antwort NEIN ist, begründen Sie dieses.