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Fachrichtung Mathematik
Institut für Analysis
Prof. Dr. J. Voigt
Analysis 3
13. Übungen vom 22.01. bis 26.01.1998
1. Sei G ⊆ Rn oen, f : G → Rn stetig, mit lokaler Lipschitz-Bedingung. Sei F : G → R
stetig, F eine Entropie von y 0 = f (y). Sei y ∗ ∈ G, F (y ∗ ) > F (y) für alle y ∈ G \ {y ∗ }.
Es existiere λ < F (y ∗ ), so daÿ {y ∈ G; F (y) ≥ λ} kompakt ist. Zeigen Sie:
a) f (y ∗ ) = 0.
b) ϕ̃ : [0, ∞) → G, ϕ̃(t) = y ∗ ist stabile Lösung von y 0 = f (y).
2. Die Bewegung eines physikalischen Pendels mit Reibung wird beschrieben durch die
Dierentialgleichung
ϕ̈ + β ϕ̇ + ω 2 sin ϕ = 0 (∗),
wobei ϕ die als Winkel gemessene Auslenkung aus der Ruhelage ist und β ≥ 0, ω 2 > 0
sind.
a) Wandeln Sie (∗) durch y1 := ϕ, y2 := ϕ̇ in ein Dierentialgleichungssystem um
und zeigen Sie, daÿ durch
1
F (y1 , y2 ) := − y22 + ω 2 cos y1
2
eine Entropie bzw. - im Falle β = 0 - eine Energie des Systems gegeben ist.
b) Betrachten Sie das Dierentialgleichungssystem auf G := {(y1 , y2 ) ∈ R2 ; −π <
y1 < π} und beweisen Sie mit Hilfe von Aufgabe 1, daÿ ϕ̃ : [0, ∞) → G,
ϕ̃(t) = 00 eine stabile Lösung ist. Zeigen Sie im Falle β > 0 mit Hilfe von Satz
12.3, daÿ diese Lösung asymptotisch stabil ist.
3. Sei A ∈ Rn×n und ϕ̃ die Nullösung des Systems y 0 = Ay . Beweisen Sie:
a) sup {ketA k; t ≥ 0} < ∞ =⇒ ϕ̃ ist stabile Lösung von y 0 = Ay .
b) ketA k → 0 (t → ∞) =⇒ ϕ̃ ist asymptotisch stabile Lösung von y 0 = Ay .
4.
a) Für welche Werte von α ∈ R ist die Nullösung des Dierentialgleichungssystems
ẋ = −3x + αy,
ẏ = 2x + y
stabil bzw. asymptotisch stabil?
b) Untersuchen Sie das Stabilitätsverhalten der Nullösung der Dierentialgleichung
y (4) + 7y 000 + 17y 00 + 17y 0 + 6y = 0
durch Umwandeln in ein Dierentialgleichungssystem 1. Ordnung.
Abgabe bis spätestens Mittwoch, 21.01.1998, 13.00 Uhr.