Blatt 1 - Universität Paderborn

Universität Paderborn
Institut für Informatik
SS 2002
Übungsblatt 3
Ekkart Kindler
8. Mai 2002
Übungen zur Vorlesung Petrinetze
Aufgabe 1
(2 Punkte)
Eine deutsche Ampel durchläuft zyklisch die folgenden vier Phasen: rot, gelb-rot, grün,
gelb. Modellieren Sie eine Ampel mit diesen vier Phasen als ein S/T-System, das min-
destens die Stellen rot, gelb und grün besitzt. Wenn mind. eine Marke auf einer dieser
Stellen liegt, soll dies bedeuten, daÿ die entsprechende Lampe der Ampel leuchtet.
Ist es möglich, die vier Ampelphasen als ein S/T-System zu modellieren, das auÿer den
drei Stellen rot, gelb und grün keine weiteren Stellen besitzt?
Aufgabe 2
(2 Punkte)
Charakterisieren Sie für die beiden folgenden S/T-Systeme die Menge der jeweils erreichbaren Markierungen.
b
t1
a
t3
t4
t2
a.
t1
c
b
t3
d
t2
b.
a
c
b.w.
Aufgabe 3
(5 Punkte)
Beweisen oder widerlegen Sie die folgenden Aussagen. Dabei ist
Σ = (N, W, m0 ) eine
t, t1 , . . . , tn ∈ T beliebige Transitionen von N ,
sind m, m1 und m2 beliebige Markierungen von Σ und π : {1, . . . , n} → {1, . . . , n} ist eine
S/T-System mit Netz
N = (S, T, F ),
sind
Permutation.
t
a. Wenn
m1 −→ m2
b. Wenn
n
1
m1 −→
m2
c. Wenn
n
1
m1 + m −→
m2 + m
d. Wenn
m −→ m1
e. Wenn
n
1
m −→
m1
f. Wenn
n
1
m −→
m1
g. Wenn
n
1
m −→
m1
t ...t
und
t ...t
n
1
m1 + m −→
m2 + m.
gilt, dann gilt auch
t
m −→ m2
gilt, dann gilt
t ...t
und
n
1
m −→
m2
t ...t
und
m
t ...t
gilt, dann gilt auch
Aufgabe 4
Sei
gilt, dann gilt auch
t ...t
t
t
m1 + m −→ m2 + m.
gilt, dann gilt auch
t ...t
tπ(1) ...tπ(n)
−→
m1 = m2 .
gilt, dann gilt
m2
t ...t
n
1
m1 −→
m2 .
m1 = m2
gilt, dann gilt
m
tπ(1) ...tπ(n)
−→
m1 = m2 .
m1 .
(6 Punkte)
Σ = (N, W, m)
ein S/T-System (mit endlichem) Netz. Beweisen Sie die Äquivalenz
der folgenden drei Aussagen
a. Das S/T-System
Σ
ist unbeschränkt.
b. Das S/T-System
Σ
hat unendlich viele erreichbare Markierungen.
c. Das S/T-System Σ besitzt zwei erreichbare Markierungen m1 und m2 mit m1
und
∗
−→ m2
m1 < m 2 .
Hinweise zur Teilaufgabe c.:
Überlegen Sie sich, daÿ jede unendliche Folge von Markierungen
m 1 , m2 , m3 , . . .
eine un-
endliche monotone Teilfolge enthält. Dazu sollten Sie sich zunächst überlegen, daÿ jede
unendliche Folge von natürlichen Zahlen eine unendliche monotone Teilfolge enthält.
Vielleicht hilf Ihnen auch Königs Lemma. Es besagt, daÿ ein unendlicher Baum, für den
jeder Knoten nur endlich viele Kinder hat, einen unendlichen Pfad besitzt (Sie dürfen
dieses Lemma ohne Beweis benutzen).