Musikalischer Intro
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1 SÜDWESTRUNDFUNK SWR2 Wissen - Manuskriptdienst Ein Blick in die Unendlichkeit Autor: Uwe Springfeld Redaktion: Detlef Clas Regie: Günter Maurer Sendung: Montag, 14. September 2009, 8.30 Uhr, SWR 2 _________________________________________________________________ Bitte beachten Sie: Das Manuskript ist ausschließlich zum persönlichen, privaten Gebrauch bestimmt. Jede weitere Vervielfältigung und Verbreitung bedarf der ausdrücklichen Genehmigung des Urhebers bzw. des SWR. Mitschnitte auf CD von allen Sendungen der Redaktion SWR2 Wissen/Aula (Montag bis Sonntag 8.30 bis 9.00 Uhr) sind beim SWR Mitschnittdienst in Baden-Baden für 12,50 € erhältlich. Bestellmöglichkeiten: 07221/929-6030 _________________________________________________________________ SWR 2 Wissen können Sie ab sofort auch als Live-Stream hören im SWR 2 Webradio unter www.swr2.de Besetzung: Sprecher Sprecherin Erzähler Dieses Manuskript enthält Textpassagen in [Klammern], die aus Zeitgründen in der ausgestrahlten Sendung gekürzt wurden. Musikalischer Intro Sprecher: Eines ist sicher. Der Unendlichkeit kann man sich nicht annähern. Wie sollte man auch? Von was sollte es unendlich viel geben? Unendlich viele Meter? Unendlich viele Lichtjahre oder astronomische Einheiten? Oder unendlich viele Fische im Meer, Regentropfen im Wolkenbruch, Staubkörner in der Wüste? Selbst wenn man jedes einzelne Atom im Universum zählen würde, bekäme man nur eine sehr, sehr große Zahl heraus. Diese nahezu unendlich große Zahl wäre mit Sicherheit immer noch unendlich viel kleiner als die Unendlichkeit selbst. 2 Ansage: Ein Blick in die Unendlichkeit. Eine Sendung von Uwe Springfeld. Sprecherin: Kann man die Unendlichkeit nur erahnen? Bleibt sie unzählbar und unbegrenzt? Muss sie unermesslich bleiben und kann man sich ihr nur durch Poesie nähern, wie es beispielsweise Anfang des 19. Jahrhunderts der italienische Dichter Giacomo Leopardi mit seinen „die Unendlichkeit“ übertitelten Versen versuchte? Erzähler: Lieb war mir immer dieser stille Hügel // Und diese Hecke, die dem Blick verbirgt // den Zirkel des fernen Horizonts. // Doch wenn ich sitz' und schaue, male ich mir aus // Ungeheure Räume jenseits von allem, // Orte so übermenschlichen Schweigens // Und so furchtbarer Stille, // dass mir das Herz gefriert. // Und wenn den Wind // Ich durch die Blätter rauschen höre, // Vergleich' ich seine Stimme jenem unendlichen Schweigen: // Vor mir steht die Ewigkeit, // Alle Zeiten, vergangen und tot, // gegen den Lärm der Lebenden. // Im Unendlichen versinkt mein Geist: // Und Untergang ist süß auf diesem Meere. Musikalischer Trenner Sprecherin: Kann man die Unendlichkeit tatsächlich nur erahnen? Entzieht sie sich jeder Naturwissenschaft? Muss jeder Versuch, sich der Unendlichkeit zu nähern, deshalb schon im Ansatz stecken bleiben? Selbst wenn sie von solchen Genies stammen wie Leonardo da Vinci? Kann man die Unendlichkeit sichtbar machen, wie er es wollte? Kann man eine Unendlichkeitsmaschine konstruieren? Sprecher: Leonardo Da Vinci wusste: Wenn ein sehr kleines Zahnrad ein sehr großes antreibt, muss es sich nahezu unendlich oft drehen, bis sich das große auch nur rührt. Aus diesem Wissen konstruierte er ein Getriebe. Die Unendlichkeitsmaschine. Kleine und große Zahnräder griffen derart ineinander, indem die einzelnen Räder von vorn nach hinten langsamer und langsamer laufen. Während vorn das kleine Zahnrad auf Teufel komm raus rotiert, rührt sich das letzte einfach nicht. Fast nicht. Die hektischen, endlichen Bewegungen scheinen irgendwo im Räderwerk stecken zubleiben, im Nichts zu verschwinden, sich zu unendlichem Stillstand zu verwandeln. Natürlich verschwindet die Bewegung nicht vollständig. Auch wenn die technischen Daten von da Vincis Unendlichkeitsmaschine beeindruckend sind. Bei manchen Konstruktionen muss das erste Rad einige Jahrmillionen rotieren, bis sich das letzte auch nur einmal um die eigene Achse gedreht hat. Aber das letzte Rad dreht sich, wenn auch nur sehr wenig. Sprecherin: Unendlichkeit. Sie erscheint unerreichbar. Auch wenn man die Unendlichkeitsmaschine perfektioniert, auch wenn das erste Rad für Jahrmilliarden rotieren muss, bis sich das letzte Rad rührt, erzeugt die Maschine keinen unendlichen Stillstand. Es braucht nur 2 sehr, sehr viel Jahre, bis die Bewegung sichtbar wird. Die Unendlichkeitsmaschine selbst ist eine Täuschung. Müssen Forscher vor der wirklichen Unendlichkeit kapitulieren? Weil sie sich allen wissenschaftlichen Methoden entzieht? Wie zum Beispiel denen des belgische Astronomen und Priesters Georges Lemaître? Sprecher: Was irgendwo hingeht, muss von irgendwo herkommen, könnte sich Georges Lemaître mit Blick auf das expandierende Universum gesagt haben und rechnete die Expansionsbewegung einfach zurück zu ihrem Ursprung, dem Big Bang, wie der damalige Kritiker dieser Theorie, Sir Fred Hoyle, polemisch spottete. Denn Hoyle hatte ein starkes Argument gegen die Idee vom Urknall auf seiner Seite. Sollte die Theorie von der Entstehung des Universums aus dem Nichts richtig sein, hätte alle Materie des Universums einmal in einem unendlich kleinen Punkt versammelt sein müssen. Ihre Dichte wäre darin nicht nur überaus groß, sondern im wahrsten Sinne des Wortes unendlich groß. Mit der ganz direkten Folge, dass in diesem Ur-Universum alle Naturgesetze zusammengebrochen wären und ihre Gültigkeit verloren hätten. Sprecherin: Die Unendlichkeit mag alle Naturgesetze bezwingen. Trotzdem kann man sie nutzen. Wissenschaftlich. Mathematisch. Die Unendlichkeit der Zahlen. Für Verschlüsselungstechniken, wie sie die drei Mathematiker Ronald Rivest, Adi Shamir und Leonard Adleman 1977 am Massachusetts Institute of Technology entwickelten. Das nach ihren Nachnamen benannte RSA-System, das oft im Internet eingesetzt wurde. Bei dieser Technik spielen Primzahlen eine wichtige Rolle. Also Zahlen, die sich wie eins, zwei, drei, fünf, sieben und elf nur durch eins und sich selbst teilen lassen. Da es unendlich viele Zahlen gibt mit unendlich vielen Primzahlen darin, sagten sich die drei ganz richtig, kann man aus ihnen unendlich komplizierte Verschlüsselungssysteme konstruieren. Sprecher: Die Unendlichkeit. Wird die Welt unbeschreibbar, sobald die Unendlichkeit irgendwo auftritt? Weil die Naturgesetze ihren Sinn verlieren? Weil die physikalische Welt nicht mehr kalkulierbar ist? Ist andererseits die Unendlichkeit nur von Bedeutung, weil man sie selbst nicht erreichen kann? Und wenn man sich noch so sehr bemüht? Weil man durch Zählen lediglich zu großen Zahlen kommt, aber nicht über große Zahlen hinaus, wie es beispielsweise Ringelnatz in seinem Maiengruß gerne ausgedrückt hätte? Erzähler: Weil Berlin voraus in Sicht ist, // Und die Sonne mich bestrahlt. // Und je länger ein Gedicht ist, // Desto besser wird's bezahlt. Darum: Hundertzweiundneunzig // Tausend und fünfhundertzwei // Oder noch mehr Leute freun sich. // Denn der Winter ist vorbei. Elf Millionen zweimal hundert // Tausend siebenhundertzehn // Menschen sind etwas verwundert, // Weil kein Maikäfer zu sehn. Vier Trillionen neun Billionen // Zirka siebenhundertelf // Milliarden fünf Millionen Achtzehntausend hundertzwölf – – Und ich könnte das erweitern // Bis in die Unendlichkeit, // Doch ein Dichter tritt den heitern // Frühlingszarten Mai nicht breit. 3 Musikalischer Trenner Sprecherin: Unendlichkeit. Ein Blick ins Wörterbuch macht die Sprachlosigkeit deutlich. Ewigkeit steht dort als bedeutungsgleich verzeichnet. Grenzenlosigkeit. Unbegrenztheit. Als ob es eine Grenze in Raum und Zeit gebe, hinter der die Unendlichkeit lauern würde. Solch eine Grenze gibt es aber nicht. Sprecher: Raum und Zeit. Darin versuchten griechische Philosophen der Antike die Unendlichkeit zu fangen. Zum Beispiel Anaxiamander, sechstes Jahrhundert vor Christus. Er nahm an, alles Endliche gehe aus einem auf ewige Zeiten bestehenden und auf immer teilbaren Urstoff hervor, den er das Grenzenlose, das Unbestimmbare nannte. Apeiron, der Ursprung aller Dinge. Zum Beispiel Paramenides, fünftes Jahrhundert vor Christus. Er fragte wie manches Kind heute: Was liegt hinter dem Universum? Antwort: Das Universum grenzt an nichts an. Deshalb muss es selbst unendlich groß sein. Zum Beispiel Anaxagoras. Viertes Jahrhundert vor Christus. Ihm war als erstem aufgefallen, dass das Unendliche nicht unendlich groß sein muss. Es kann auch unendlich klein sein, denn man kann das Endliche permanent verkleinern. Daraus formulierte sein Meisterschüler Zenon von Elea das berühmte Paradoxon vom Wettlauf zwischen Achill und der Schildkröte. Erzähler: Einst wurde Achill, der schnellste Läufer des griechischen Heeres, von einer Schildkröte zum Wettlauf herausgefordert. In seiner Großmut gab Achill dem Tier zwölf Attische Fuß Vorsprung. Natürlich lief der Held viel schneller als die Schildkröte. Als er nach zwölf Attischen Fuß an die Stelle kam, wo sein Gegner gestartet war, war die Schildkröte erst vier Fuß weiter gekrochen. Und als Achill diese vier Fuß zurückgelegt hatte, war das Tier erst einen Fuß weitergekommen. Doch dann bemerkte der Held von Troja etwas Eigenartiges. Immer, wenn er an die Stelle kam, wo die Schildkröte gerade noch gewesen war, war das Tier schon ein Stückchen weiter gekrochen. Achill konnte die Schildkröte gar nicht überholen! Sprecherin: Schließlich betrat der Großmeister der griechischen Philosophie die Bühne der Geschichte. Der Mathematikhistoriker Walter Purkert von der Universität Bonn. Cut 1. (Purkert-9; 0:20) Die Analyse des Unendlichkeitsbegriffs stammt bereits von Aristoteles im 4. Jahrhundert vor Christus – einmal als potentielles Unendlich, zum Beispiel die Zahlenreihe – Man kann immer weiter und weiter zählen. Oder, wenn ich eine Strecke habe, ich kann sie immer weiter und weiter teilen aber nie komme ich zu einem Ende, also zu einem Punkt. Sprecher: Man kann sich das Unendliche durchaus vorstellen, argumentierte Aristoteles. Die Gedanken sind frei. Daraus folgt aber nicht, dass es das Unendliche tatsächlich gibt. 4 Also unterschied der große Analytiker der griechischen Philosophie in zwei Fälle. Den einen nannte er das potentielle Unendliche. Also das Unendliche in der menschlichen Vorstellung, das man durch Überschreiten aller Grenzen aus dem Endlichen heraus erreichen will, aber nicht kann. Im Unendlichen wird man nie ankommen. Weder zum unendlich Kleinen hin, indem man die Rennstrecke von Achill und der Schildkröte unendlich oft teilt. Noch zum unendlich Großen hin, indem man alle Staubkörner in der Wüste, alle Regentropfen eines Wolkenbruchs oder alle Atome des Universums „eins, zwei, drei“ zählt. Diese Unendlichkeit besteht nur als Idee, als Vorstellung und als Möglichkeit. Als Potential. Aber nicht in der Wirklichkeit. Deshalb sollte es laut Aristoteles eine wirkliche Unendlichkeit, ein tatsächlich Endloses, ein reales Infinitum oder in seinen Worten, ein aktual Unendliches, nicht geben. [Cut 2. (Purkert-10; 0:20) Das aktuale Unendliche, das wäre eine wirkliche, unendliche Gesamtheit, etwa ein unendlicher Körper, ein unendlicher Raum. Und Aristoteles war der Meinung, dieses, das aktual Unendliche, das kann es nicht geben. Sogar das Universum ist ihm eine große, unendliche Kugel. Infinito actu non datur. Ein aktuales Unendlich gibt es nicht. Musikalischer Trenner Sprecherin: Unendlichkeit. Solch ein Geist fehlte. Der sich hinsetzt und sie anschaut. Wie Dante im 33. Gesang der Göttlichen Komödie. Erzähler: O überreiche Gnad’! Ich dürft’ es wagen, // Fest zu durchschau’n des ew’gen Lichtes Schein // Und ins Unendliche den Blick zu tragen. // Er drang bis zu den tiefsten Tiefen ein; // Die Dinge, die im Weltall sich entfalten, // Sah ich durch Lieb’ im innigsten Verein. Sprecherin: Das Problem: Denkt man über sie nach wie über eine sehr große Zahl, ist man schon hereingefallen. Die Unendlichkeit ist keine sehr große Zahl. Sie ist etwas vollkommen anderes. Man ist auch hereingefallen, wenn man sich das Unendliche wie eine große, schwarze Kugel vorstellt, in deren Vakuum Galaxien und Sterne kreisen, die man Universum nennt und in deren Mitte irgendwo ein kleiner blauer Planet schwebt mit einer Spezies darauf, den Homo Sapiens, die versuchen, diese große, schwarze Kugel gedanklich zu erfassen. Und man ist hereingefallen, wenn man sich die Unendlichkeit als immer winziger werdendes, kleines Stück einer Rennbahn vorstellt, auf der ein Held der griechischen Antike sich vergeblich bemüht, eine Schildkröte zu überholen. Aus der Endlichkeit des menschlichen Lebens und der Welt heraus kann man sich der Unendlichkeit nicht annähern. Als Potential, als Möglichkeit bliebt sie unerreichbar. Darin hatte Aristoteles recht. Gleichzeitig irrte Aristoteles auch. Sehr sogar. Denn es gibt die Unendlichkeit auch als eigenständiges Objekt der Wirklichkeit. Die Unendlichkeit ist eine Tatsache. Dass es sie gibt, ist Realität. [Sprecher: Die Realität ist voller Dinge und Sachverhalte. Um sie zu beschreiben, gebraucht man Worte. Manche Worte wirken wir Etiketten für ganz konkrete Dinge. Für Sachen, die 5 man anfassen kann. Stühle zum Beispiel, und Tische. Daneben gibt es Begriffe für Abstrakteres. Zeit und Arbeit beispielsweise. Solche Dinge kann man nicht mehr anfassen, sie sind aber zu beobachten und zu verrichten. Und dann gibt es derartig abstrakte Begriffe, dass man sich unter ihnen kaum noch etwas vorstellen kann. Kreditmarkt, Versorgungslücke und Konjunkturpaket zum Beispiel. Diese Begriffe beschreiben Tatsachen, weil aus ihnen bestimmte Sachverhalte und soziale Verhaltensweisen folgen. Dass nämlich eine Gruppe von Menschen, die man „Parlament“ nennt, beschließen kann, etwas ebenso Abstraktes, nämlich Geld, an unfassbare Organisationen zu geben, an Banken, damit etwas wieder funktioniert, das niemand verstehen kann und das Kreditmarkt heißt. Die Welt steckt voll von solchen Abstraktionen. Sie regeln und steuern das Zusammenleben der modernen Welt. Diese Abstraktionen akzeptiert man klaglos als real. Man schreibt ihnen zu, objektive Sachverhalte der Realität zu beschreiben. Weshalb hat man es dann so schwer, mathematischen Begriffen wie Zahl, Menge, Funktion und Unendlichkeit dasselbe Maß an Wirklichkeit, die gleiche Realität zuzugestehen? Dabei gehen nicht wenige Mathematiker davon aus, dass sie ihre Wissenschaft nicht mit rein gedanklichen Gebilden, sondern mit ganz realen Objekten betreiben. Oliver Deiser ist Mathematiker an der freien Universität Berlin. Cut 3. (Deiser-26: 0:18) Es kommt in der Mathematik immer darauf an, sich so lange mit den Objekten zu beschäftigen, dass man die Eigenschaften irgendwie überblickt und irgendwie ein Gefühl für diese Eigenschaften von diesen Objekten hat, dass man plötzlich neue Zusammenhänge erkennen kann zu anderen Dingen, die man kennt. So ist der Fortschritt in der Mathematik – aus meiner Sicht läuft das ganz wesentlich so ab. Sprecherin: In den einschlägigen Büchern zeigt man Kindern Bilder mit drei Wolken, aus denen jeweils drei Tropfen auf drei Männer und drei Frauen mit je einem Regenschirm fallen. Man hofft, dass die Kinder anschließend über die Drei genau so reden wie über ein Objekt, das von allen Regentropfen und Wolken losgelöst ist. Schaffen die Kinder diesen Schritt, kann man ihnen eine Art zu rechnen beibringen, dass elementare Beziehungen zwischen Zahlen einschließt. Die Zahl Drei ist ein reales Objekt, wenn auch ein abstraktes. Wie Wolken und Regentropfen im Kinderbuch Objekte sind, wenn auch konkrete. Ebenso die Unendlichkeit. Sie ist auch ein reales Objekt. Genau so wie ein Regentropfen und die Zahl drei. Nur dass die Zahl drei und die Unendlichkeit abstrakte Objekte der Mathematik sind. Vielleicht ist die Unendlichkeit das mathematisch abstrakteste Objekt von allen. Eines voller Überraschungen, wenn man erst einmal darüber nachdenkt. ] Sprecher: Durch die Jahrhunderte gab es immer wieder große Denker, die es genau wissen wollten mit der Realität der Unendlichkeit. Aus der Theologie beispielsweise Anselm von Canterbury und Thomas von Aquin. Die einzige reale Unendlichkeit ist Gott, denn Gott ist unendlich. In der Philosophie Baruch de Spinoza, der Anaxiamanders Idee einer unendlichen Ursubstanz wieder aufnahm. In der Naturwissenschaft und der Mathematik Isaac Newton und Gottfried Leibnitz, die aus der Idee der unendlichen Teilbarkeit einer Rennstrecke die Infinitesimalrechnung entwickelten. Schließlich und endlich derjenige, der das Liliput der Endlichkeit hinter sich ließ, die Unendlichkeit ausmaß und sie von der 6 zweiten und dritten Unendlichkeit unterschied. Die Rede ist von Georg Cantor, der seinen Mathematikerkollegen eines der politischen Gedichte von Ferdinand Freiligrath hätte zurufen mögen. Erzähler: Meide Liliput fortan, // Sei des Elements Geselle! // Eintagsunruh, Eintagsstreit, // Woll' auf meinen Grund sie tauchen! // Odem der Unendlichkeit // Lass mich in die Brust dir hauchen! Musikalischer Trenner Sprecherin: Geboren am Montag, dem 3. März 1845 in Petersburg. Sternzeichen Fische. Vater Georg Woldemar: erfolgreicher Kaufmann und Börsenmakler. Seine Mutter Marie kam aus einer Musikerfamilie. Studium der Mathematik in Zürich, Göttingen und Berlin. Dort 1868 Promotion. 1872 Habilitation in Halle. Später Arbeiten zur Mengenlehre und darüber zur Struktur der Unendlichkeit. Am Sonntag, den 9. August 1874 Heirat mit Vally Guttmann. Sechs Kinder. 1913 Emeritierung. Gestorben im Alter von 72 Jahren am Sonntag, den 6. Januar 1918. Cut 4. (Deiser-22-kurz; 0:27) Das ist ne spannende Frage, ob verschiedene historische Pfade denkbar wären – Ich mach jetzt mal ne gewagte These – … – Cantor hat ja auch ganz starke philosophische und religiöse Positionen vertreten und daher habe ich durchaus den Eindruck, dass die moderne Mathematik geprägt worden ist von der Person Cantor und dem Charakter Cantor. Sprecherin: Georg Cantor interessierte nicht allein Mathematik. Nicht nur das Partikulare, das Einzelne. Er suchte etwas Übergeordnetes, etwas Universales, die Vereinheitlichung zwischen den Wissenschaften. Mathematik war ihm dabei Mittel zum Zweck; die Erkenntnis umfassenderer Zusammenhänge eine Hoffnung. Neben seinen Aufsätzen zur Mathematik veröffentlichte Cantor Arbeiten zur Literaturwissenschaft, zur Philosophie und zum großen Antagonisten der Naturwissenschaft, zur Theologie. Dabei stieß er auf ein interessantes Problem, das Kirchenvater Augustinus im 12. Buch seines Werkes über den Gottesstaat formulierte. Erzähler: Man macht geltend, dass Gottes Wissen das Unendliche nicht umfassen könne. Damit kommt man unabweislich zur Behauptung, dass Gott nicht alle Zahlen weiß. Denn die sind unbegrenzt, kein Zweifel. Jede Zahl lässt sich nicht nur verdoppeln, sondern auch mit sich selbst multiplizieren. So ist es im Wesen und in der Wissenschaft der Zahlen begründet. Und dabei ist jede Zahl etwas durchaus Eigenes für sich, so dass keine der anderen gleich sein kann. Kennt sonach Gott die Zahlen wegen ihrer Unbegrenztheit nicht alle? Von Sinnen wäre, wer das sagte. Weg mit dem Zweifel, als wäre ihm nicht jegliche Zahl bekannt. Ihm, von dessen Erkenntnis der Psalmist singt, dass ihrer „keine Zahl ist“. Die Unendlichkeit der Zahl ist also, obwohl die unendlichen Zahlen keine Zahl haben, ihm nicht unerfassbar. 7 [Cut 5. (Purkert-17; 0:22) Zum Beispiel hatte der heilige Augustinus die Frage aufgeworfen, die Frage aufgeworfen, kann Gott alle Zahlen kennen. Mit Zahlen meinte er dann alle natürlichen Zahlen. Und er beantwortet sie so: Ja – denn Gott als die Höchste Unendlichkeit überblickt alles niedrigere Unendliche. Modern gesagt, auch die Menge aller natürlichen Zahlen als aktual unendliche Entität.] Sprecherin: Ist jede Unendlichkeit genau so groß wie jede andere? Oder kann eine Unendlichkeit, sagen wir „Gott“, größer als eine zweite Unendlichkeit sein, sagen wir „die Zahlen“? Kann sich die eine Unendlichkeit überhaupt von einer anderen unterscheiden? Und wenn ja, wie? Kann man verschiedene Unendlichkeiten sozusagen direkt miteinander vergleichen? Kann man sie ausmessen? Wie groß ist die Unendlichkeit? Musikalischer Trenner Sprecherin: Über das Handwerkszeug, diese Fragen zu beantworten, stolperte Cantor mehr durch Zufall als dass er es sich durch wissenschaftliche Forschung entwickelt hätte. Er betrachtete beispielsweise die Zahlen nicht nach Regeln. Ob sie also, eins zwei drei, größer werden oder, zwei vier sechs, zum Beispiel gerade sind. In Gedanken nahm er alle Zahlen auf einmal und steckte sie alle zusammen in einen gedanklichen Sack. Den schnürte er oben zu und überlegte, was er sich da eingefangen hatte. Antwort: eine spezielle Unendlichkeit. Nämlich die Unendlichkeit der natürlichen Zahlen. Cantor formalisierte seine Gedanken durch. Er schrieb ihn in mathematisch kryptischen Zeichen auf und heraus kam eine Mathematik, mit der man vor wenigen Jahrzehnten noch Grundschüler quälte. [Die Mengenlehre, sagt Oliver Deiser. [Cut 6. (Deiser-2; 0:19) Das gibt die berühmte Umschreibung von Cantor, dass eine Menge eine Zusammenfassung von bestimmten, wohlunterschiedenen Objekten unserer Anschauung oder unseres Denkens zu einem Ganzen darstellt. Wann immer wir Objekte betrachten und zu einem Ganzen zusammenfassen, mit dem wir dann weiter operieren wollen, dann spricht man von Mengen. Sprecher: Es gibt keine exakte mathematische Definition, was eine Menge ist. Im Prinzip gilt: alles, was man mit einem Begriff belegen kann, bildet auch eine Menge. Die Menge aller Wolken am Himmel beispielsweise. Oder die Menge aller Regentropfen eines kräftigen Sommerregens. Die Menge aller Regenschirme und die Menge aller Menschen, die diese Regenschirme tragen. Auf genau die gleiche Weise bilden alle Zahlen eine Menge. Die natürlichen Zahlen, eins, zwei, drei und so weiter. Die Bruchzahlen, ein zehntel, drei hundertstel, 37 tausendstel. Und Zahlen wie Pi und Wurzel zwei. Das sind solche Kommazahlen, die unendlich lang sind und vollkommen unregelmäßig. Die Menge der verschiedenen Zahlen unterscheidet sich in einem Punkt von den Mengen der Regentropfen und Regenschirme. Es gibt nur endlich viele Regenschirme, endlich viele Regentropfen und endlich viele Menschen. Aber von jeder einzelnen 8 Zahlenart gibt es unendlich viele. Die verschiedenen Mengen der unterschiedlichen Zahlen sind alle unendlich groß.] Sprecherin: Was weiß man über die Unendlichkeit? Was kann man mit Sicherheit sagen? Dass das Zählen nie aufhört? Dass die Menge unendlich groß ist? Dass man sie deshalb nicht erfassen kann? Oder gibt es noch etwas mehr. Etwas, das so simpel, so einleuchtend klar ist, dass man es einfach nicht sieht? Kann man die Unendlichkeit doch erfassen? Sprecher: Das Bilderbuch, mit dem Kinder zählen lernen, gibt einen Hinweis. Drei Männer, drei Frauen und genau so viele Regenschirme. Wie stellt man fest, dass es genau so viele Regenschirme sind? Indem man durchzählt? Eins zwei drei? Das klappt nur bei Bildern und bei sehr kleinen Zahlen. Bei einer Gruppe realer Menschen, die alle durcheinander laufen, gibt es Schwierigkeiten. Da ist es einfacher, jeden zu bitten, kurz einen Regenschirm in die Hand zu nehmen. Bleibt jemand ohne Schirm, sind mehr Menschen da. Bleiben jedoch Schirme liegen, sind es weniger Menschen. Cantors Idee war, dieses Verfahren auf die unendlichen Mengen der verschiedenen Zahlen anzuwenden. Jedem einzelnen Element einer ersten Menge ordnete er genau ein Element einer zweiten Menge zu. Wie die Regenschirme zu den Menschen. Oder, um ein anderes Beispiel zu nennen, wie sich Frauen und Männer in einer Tanzschule zu Tanzpaaren ordnen. Überhaupt lässt sich am Beispiel einer Tanzschule mit unendlich vielen Schülern und Schülerinnen die verrückte Welt des Unendlichen gut darstellen. In der Welt des Unendlichen gelten Regeln, die jedem gesunden Menschenverstand widersprechen. Also. Musikalischer Trenner Erzähler: Es war einmal eine Tanzschule, da hatten sich unendlich viele Männer und unendlich viele Frauen angemeldet. Sie bildeten unendlich viele Paare, niemand musste sitzen bleiben. Als zur nächsten Stunde jeder zweite Mann fehlte, fand noch immer jede Frau ihren Tanzpartner. Die erste Frau tanzt mit dem Mann Nummer zwei, die zweite mit dem Mann Nummer vier, die dritte mit Mann Nummer sechs und so weiter. Bei unendlich vielen Männern und unendlich vielen Frauen blieb auch jetzt niemand sitzen. Selbst als zur dritten Stunde wiederum nur die Hälfte der Männer kam und die andere Hälfte im Lokal nebenan verschwand, gab es keine Probleme. Die erste Frau tanzte mit Mann Nummer vier, die zweite Frau mit Mann Nummer acht und die Dritte mit Mann Nummer zwölf. Dank der Unendlichkeit fand jede Frau einen Partner und noch immer drehten sich unendlich viele Paare im Kreis. Eines Abends nahmen die Männer ihre Partnerinnen am Arm und betraten auf einen Drink wohlgeordnet paarweise ausgerechnet das Lokal, in dem schon die unendlich vielen Drückeberger saßen. Kaum hatten die unendlich vielen Paare das Lokal betreten, kam es auch schon zum Streit zwischen den Männern. Die Tänzer ließen ihre Partnerinnen stehen und packten die Drückeberger am Kragen, dass dem armen Wirt Angst und bange wurde. Da kam ihm eine Idee. „Jeder Mann lädt eine Dame auf ein Gläschen Sekt an den Tisch.“ rief er. Obwohl niemand in der Zwischenzeit hinausgegangen oder hereingekommen war, löste sich das Durcheinander auf wundersame Weise auf. Nachdem sich alle Tanzpaare gesetzt 9 hatten, standen immer noch Frauen herum, sich von den Drückebergern einladen zu lassen. Es waren eben unendlich viele Frauen und Männer beisammen. Sprecherin: Das ist das Sonderbare an der Unendlichkeit. Nimmt man aus einer unendlich großen Menge jedes zweite Element heraus und formt daraus eine zweite Menge, dann ist diese zweite Menge wieder unendlich groß. Aber die erste Menge ist dadurch, dass man jedes zweite Element herausgenommen hat, nicht kleiner geworden. Sie ist unendlich groß geblieben. Fügt man anschließend die Elemente beider unendlich großer Mengen wieder zusammen, ist die vereinigte Menge nicht angewachsen. Sie bleibt, was sie war: unendlich groß. Mathematiker haben daraus eine Definition der Unendlichkeit hergeleitet, sagt Oliver Deiser. [Cut 7. Definition Unendlichkeit (Deiser-10; 0:22) Wenn sie definieren wollen, wann ist eine Menge unendlich, da gibt’s verschiedene Möglichkeiten – eine sehr bekannte Definition, eine ästhetisch sehr ansprechende ist von Dedekind – Die Dedekind-Definition von Unendlichkeit heißt: Eine Menge A ist genau dann unendlich, wenn es eine Teilmenge B von A gibt, so dass sich die Elemente von B eineindeutig auf A abbilden lassen.] Sprecherin: Man kann vom Unendlichen beliebig viele Teilstücke entfernen, ohne dass sich etwas verkleinert. Und man kann genau so gut beliebig viele Teilstücke zufügen, ohne dass sich etwas vergrößert. Muss deshalb eine Unendlichkeit immer genau so groß sein wie die andere? Oder gibt es Größenunterschiede zwischen zwei unendlich großen Mengen? Kann das eine Unendlich größer sein als das andere? Diese Frage klärt die Geschichte vom unendlich genauen Handwerker mit den unendlich vielen Brillen. Erzähler: Es war einmal ein Handwerker, der nach einer Schlägerei in einem Lokal einen Tisch reparieren wollte. Als er am Tischbein Maß nahm, sah er, dass das Tischbein eine raue Seite hatte. Es ließ sich nicht exakt vermessen. Der Handwerker konnte die Länge nur Plus Minus zwei Millimeter schätzen. Da der Tisch mit drei ungleichen Beinen wackeln würde, und der Handwerker äußerst akkurat war, setzte er sich seine Brille auf. Nun erschien ihm ein Millimeter so groß wie ein Zentimeter und der Handwerker konnte die Länge des Tischbeins auf ein paar Zehntel Millimeter genau schätzen. Jetzt tauschte der Handwerker seine Brille gegen eine zweite. Nun maß er auf wenige Hundertstel Millimeter. Bald auf tausendstel und hunderttausendstel Millimeter. Und bald hatte er das Tischbein so genau vermessen, dass es keinen Zahlennamen mehr für die Ungenauigkeit dabei gab. Trotzdem: dieser kleine Fehler, diese winzige Ungenauigkeit, diese unmerkliche Spannbreite blieb. Die gemessenen Längen wiesen lediglich immer mehr Stellen nach dem Komma auf. Kein Wunder, sagte sich der Handwerker. Auch wenn auf meinem Maßband zwei Punkte noch so dicht beieinander liegen, sind zwischen ihnen immer wieder unendlich viele weitere Punkte. Cut 8. (Deiser-15; 0:25) Ich erzähle ihnen, dass es Größenunterschiede im Unendlichen gibt. Da müssen sie wieder nach der Definition fragen, letztendlich, um das verstehen zu können, wenn man 10 sich nicht in die Haare geraten will. Also wir haben vorher definiert, wann ist ne Menge unendlich, und jetzt zeigt sich aber, dass es innerhalb diesem Bereich der unendlichen Mengen Strukturunterschiede gibt. Eine bestimmte Menge kann in einem präzisen Sinne mehr Elemente enthalten als eine andere Menge. Sprecherin: Kommazahlen. Ganz spezielle Kommazahlen. Solche, die Mathematiker reell nennen. Nämlich solche, die auch unendlich viele Stellen hinterm Komma haben können, in denen es keinerlei Regelmäßigkeiten gibt. Das, was der Handwerker ausmaß. 79,999125 und irgendwie unregelmäßig weiter bis in alle Ewigkeit.[Oder die Kreiszahl Pi. 3,141592 und so weiter. Oder die Wurzel aus zwei. 1,414213. Oder die weniger bekannte eulersche Zahl e. 2,718281 und so weiter.] Wenn man zwischen solchen Kommazahlen und den natürlichen Zahlen Pärchen bildet wie in der Tanzschule, bleiben von den unendlichen Kommazahlen immer Mauerblümchen-Elemente sitzen, während sich die natürlichen Zahlen mit ihren Partnern schon längst auf der Tanzfläche drehen. Weil die Menge der unendlich langen unregelmäßigen Kommazahlen solche Mauerblümchen-Elemente enthält, gibt es mehr von diesen reellen Zahlen als von den natürliche Zahlen eins zwei drei und so weiter. Cut 9. (Deiser-16; 0:27) Die fundamentale Erkenntnis ist die: es gibt mehr reelle Zahlen als natürliche Zahlen in dem Sinne, dass sie die reellen Zahlen nicht durchzählen können mit Hilfe der natürlichen Zahlen. Und die nächste Frage ist: Ja wie viele natürliche Zahlen gibt’s denn? … und da fragt man sich: Ist die richtig oder falsch – Und da kam eben raus, im 20. Jahrhundert, dass die Kontinuumshypothese innerhalb der Basisaxiomatik weder beweisbar noch widerlegbar ist. Erzähler: [Ab diesem Moment wird es richtig mathematisch. Also wirklich schwierig mathematisch. Denn es gibt eine Methode, eine Reihe größerer und größerer Unendlichkeiten zu konstruieren.] Deshalb ist es nicht falsch zu sagen: Unendlich, unendlicher, noch unendlicher. Am unendlichsten? Dass man diese anwachsenden Unendlichkeiten je nach Mächtigkeit durchnummerieren kann, sei nur am Rande erwähnt. Weil die Zahlen, die man dabei verwendet, alle auf ein Jenseits der Endlichkeit verweisen, auf die andere Seite von Basta, Schluss und Finito, nennt man sie transfinite Zahlen. Doch auf diesem Wege zur unendlichen Unendlichkeit passiert etwas Eigenartiges. Während die Unendlichkeit selbst über alle mathematischen Maße hinaus wächst, erodiert gleichzeitig die mathematische Logik. Stück für Stück bricht sie zusammen, sagt Walter Purkert, bis sie nur noch Kleinholz ist. Musikalischer Trenner Sprecherin: Eines ist sicher. Der Unendlichkeit kann man sich nicht annähern. Wie sollte man auch? Von was sollte es unendlich viel geben? Unendlich viele Meter? Unendlich viele Lichtjahre oder astronomische Einheiten? Oder unendlich viele Fische im Meer, Regentropfen im Wolkenbruch, Staubkörner in der Wüste? Selbst wenn man jedes einzelne Atom im Universum zählen würde, bekäme man nur eine sehr, sehr große 11 Zahl heraus. Diese nahezu unendlich große Zahl ist immer noch unendlich viel kleiner als die Unendlichkeit selbst. Und doch gab es einmal einen Augenblick im Universum, der von der Unendlichkeit beherrscht wurde. Diesen Moment nennt man Urknall. Zu seiner Zeit waren alle Atome des Universums und deren Bestandteile unendlich dicht auf in einem unendlich kleinen Punkt zusammengedrückt. Diese Unendlichkeit erforschen heute Physiker und Mathematiker. Noch meinen einige, mit ihrer Wissenschaft an ihr scheitern zu müssen. Manch andere Physiker durchmessen die Unendlichkeit mit kühnen, mathematischen Schritten. Sie kalkulieren das Grenzenlose vor dem Anfang, ermessen die Ewigkeit von Raum und Zeit. Sie schauen die Unendlichkeit. ***** 12
