Aufgaben Klasse 11, 18. Blatt

Aufgaben Klasse 11, 18. Blatt
Aufgabe 18.1
Finde die allgemeine Lösung folgender diophantischer Gleichung:
5x + 8y + 3z = 1
Aufgabe 18.2
Finde eine spezielle Lösung folgender diophantischer Gleichung:
225x + 157y = 71
Aufgabe 18.3
Wir streichen die erste Stelle der Zahl 71996 und addieren sie zu dem verbleibenden Rest. Das
machen wir solange, bis eine 10-stellige Zahl übrigbleibt. Beweise, daß in dieser Zahl wenigstens
eine Ziffer mehrfach auftritt.
Aufgabe 18.4 (Die schwerste IMO-Aufgabe 1986)
In den Eckpunkten eines regulären 5-Ecks steht je eine ganze Zahl. Die Summe aller 5 Zahlen sei
positiv. Falls in einem Eckpunkt eine negative Zahl steht (diese Zahl sei y), wird sie gemeinsam
mit den beiden Zahlen in den Nachbareckpunkten (das seien x und z) ausgetauscht nach der
Regel: (x, y, z) −
→ (x + y, −y, z + y). Beweise, daß es möglich ist, nach endlich vielen solchen
Operationen alle negativen Zahlen zu beseitigen.
Hinweis: Diese Aufgabe läßt sich mit einer Lyapunovfunktion lösen. Eine mögliche solche
Funktion ist (die Zahlen in den Eckpunkten seien x1 , ..., x5 )
F (x1 , ..., x5 ) = (x1 − x3 )2 + (x2 − x4 )2 + (x3 − x5 )2 + (x4 − x1 )2 + (x5 − x2 )2
Dieser Hinweis fehlte bei der IMO natürlich.
Dr. Holger Stephan
e-mail: [email protected]
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