Numerische Mathematik I - Institut für Mathematik

Institut für Mathematik
Prof. Dr. Christian Kanzow
Dipl.-Math. Christian Teichert
WS 2007/08
Übungen zur Veranstaltung
Numerische Mathematik I
Blatt 13
Aufgabe 49: (Alternative Herleitung von Quadraturformeln)
Sei durch a ≤ x0 < x1 < . . . < xn ≤ b eine beliebige Unterteilung des Intervalls [a, b]
gegeben. Zeigen Sie, dass es dann eindeutig bestimmte Zahlen γ0 , γ1 , . . . , γn gibt mit
der Eigenschaft
Z b
n
X
γi p(xi ) =
p(x)dx
a
i=0
für alle Polynome p vom Höchstgrad n.
Bemerkung: Fordert man die Exaktheit einer Quadraturformel für alle Polynome
vom Höchstgrad n, so ergibt sich hieraus eine eindeutig bestimmte Formel, die
im Falle einer äquidistanten Unterteilung von [a, b] allerdings mit der bekannten
Newton–Cotes–Formel übereinstimmt (denn die n-te Newton–Cotes–Formel ist bekanntlich exakt für alle Polynome vom Höchstgrad n) und somit nicht wirklich etwas
Neues liefert.
Aufgabe 50: (Implementation des adaptiven Simpson–Verfahrens)
Implementieren Sie das adaptive Simpson–Verfahren zur numerischen Approximation eines bestimmten Integrals
Z b
I(f ) :=
f (x)dx
a
für eine gegebene Funktion f : [a, b] → R. Wenden Sie dieses Programm insbesondere
auf die Funktion f : [0, 1] → R mit
1
, falls x ≥ 0.1,
x
f (x) :=
1
, falls x < 0.1
0.1
an und benutzen Sie hierbei die Fehlertoleranz ε = 10−4 . Vergleichen Sie den von
Ihnen gefundenen Näherungswert mit dem exakten Wert für I(f ). Geben Sie außerdem die Verteilung der Stützstellen xi und die Längen hi der Teilintervalle [xi , xi+1 ]
aus.
Aufgabe 51: (Quadratische Splines)
Gegeben seien eine Zerlegung
∆ = a = x 0 < x 1 < . . . < xn = b
des Intervalls [a, b] ⊆ R sowie Stützwerte f0 , f1 , . . . , fn ∈ R.
(a) Zeigen Sie, dass es für jede Zahl f00 ∈ R genau einen interpolierenden quadratischen Spline s ∈ S∆,2 gibt, so dass die zusätzliche Bedingung s0 (x0 ) = f00
erfüllt ist.
(b) Gesucht sei nun der interpolierende quadratische Spline s ∈ S∆,2 mit periodischen Randbedingungen s0 (x0 ) = s0 (xn ). Treffen Sie Aussagen über die
Existenz und Eindeutigkeit von s.
Aufgabe 52: (B–Splines)
Betrachten Sie das Intervall [a, b] = [0, b] mit der äquidistanten Zerlegung
∆ = 0 = x0 < x1 < . . . < xn+1 = b
und den Knoten xk := kh (h := b/(n + 1)), k = 0, 1, . . . , n + 1.
(a) Sei p ein beliebiges Polynom vom Grad n ≥ 1. Zeigen Sie, dass durch
qr (x) :=
r
X
k
(−1)
k=0
r
k
p(x − xk ),
x ∈ R,
für jedes r = 1, . . . , n ein Polynom vom Grad n−r gegeben ist sowie qn+1 (x) ≡
0 gilt.
(b) Zeigen Sie, dass die durch
sn (x) :=
n+1
X
k=0
k
(−1)
n+1
k
(x − xk )n+ ,
x ∈ R,
definierte Funktion sn für jedes n ≥ 1 zu S∆,n gehört und außerhalb des
Intervalls (0, xn+1 ) identisch verschwindet, also sn (x) = 0 für alle x 6∈ (0, xn+1 )
gilt.
Viel Erfolg und schöne Semesterferien!