Übungsblatt 8 - Universität Tübingen

Universität Tübingen
Mathematisches Institut
Prof. Dr. Andreas Prohl
Tübingen, den 7. 11. 2009
8. Übungsblatt zur Numerischen Mathematik I
Aufgabe 27:
Zeigen Sie, dass es zu gegebenen Interpolationsdaten (xj , yj ) mit äquidistanten Knoten xj = 2πj/(n + 1),
j = 0, . . . , n genau eine trigonometrische Interpolierende (ein trigonometrisches Polynom)
tn (x) =
n
X
ck exp(ikx),
(i =
√
−1)
k=0
gibt. Zeigen Sie außerdem, dass die Koeffizienten ck durch
n
1 X
ck =
yj exp(−ijxk ),
n+1
k = 0, . . . , n,
j=0
gegeben sind.
Aufgabe 28:
Sei ω : (a, b) → R eine positive, stetige Funktion mit
Z b
ω(x)|x|k dx < ∞ für k = 0, 1, . . . .
a
(1) Zeigen Sie, dass
Z
(p, q) :=
b
ω(x)p(x)q(x)dx
a
ein Skalarprodukt auf dem Raum der Polynome (mit reellen Koeffizienten) definiert.
(2) Zeigen Sie: Ist die Gewichtsfunktion ω durch ω(x) = (x − a)α (b − x)β (α, β > −1) gegeben, so
genügen die zugehörigen orthogonalen Polynome Pk der Formel von Rodrigues
Pk (x) = Ck
1 dk
[ω(x)(x − a)k (b − x)k ],
ω(x) dxk
Ck ∈ R,
k = 0, 1, . . . .
Hinweis zu (2): Weisen Sie nach, dass das obig definierte Polynom orthogonal zu allen Polynomen
vom Grad ≤ k − 1 ist. Verwenden Sie dazu partielle Integration.
Aufgabe 29:
Die Tschebyscheff-Polynome sind auf dem Intervall [−1, 1] durch
Tk (x) = cos(k arccos(x))
für k = 0, 1, . . .
gegeben. Zeigen Sie:
(a) Die Tschebyscheff-Polynome genügen der Drei-Term-Rekursion
Tk+1 (x) = 2xTk (x) − Tk−1 (x),
T0 (x) ≡ 1, T1 (x) = x.
(b)


π
Tk (x)Tj (x)ω(x)dx = π/2


0
für k = j = 0,
für k = j 6= 0,
−1
für k 6= j,
√
wobei die Gewichtsfunktion ω : (−1, 1) → R durch ω(x) = 1/ 1 − x2 gegeben ist.
Z1
Aufgabe 30:
Gegeben sei eine Unterteilung a ≤ x0 < x1 < . . . < xn ≤ b des Intervalls [a, b].
Zeigen Sie, dass es eindeutig bestimmte Gewichte α0 , . . . , αn ∈ R gibt, so dass für alle Polynome p vom
Grad ≤ n
Zb
n
X
αj p(xj ) = p(x)dx
j=0
a
gilt.
Seien nun a = −1, b = 1 und x0 , x1 (n = 1) die Nullstellen des Legendre Polynoms p2 . Bestimmen Sie
die Gewichte α0 , α1 .
Gilt in dieser Situation obige Formel auch für Polynome 2-ten und 3-ten Grades?
Hinweis: Stellen Sie für die Koeffizienten α0 , . . . , αn ein lineares Gleichungssystem auf.
Besprechung der Aufgaben in der Übungsstunde am 14. 12. 2009.