Übung zu Mechanik 4
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Aufgabe 31
Gegeben sei der dargestellte, gedämpfte Schwinger. Die beiden homogenen Kreisscheiben (mB, rB und mC, rC) sind fest miteinander verbunden und frei drehbar auf einer reibungsfreien Achse gelagert. Das fest um die kleine Kreisscheibe geschlungene Seil ist
ebenso wie der Stab mit der Einzelmasse mA masselos und dehnstarr. Die Federn sind in
der Ruhelage vorgespannt. Bestimmen Sie die gedämpfte Kreisfrequenz des Systems für
kleine Schwingungen! Es kann D < 1 (schwache Dämpfung) angenommen werden!
Ansicht
Schnitt A - A
Gegeben:
mA : mB : mC = 1 : 4 : 8
rB : rC
cF, d
=1:
2
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Aufgabe 32
Über eine homogene Kreisscheibe (Masse m, Radius r) ist ein dehnstarres, masseloses
Seil gewickelt, das wie skizziert an einer Feder (Federkonstante cF) befestigt ist und an
seinem freien Ende die Punktmasse m trägt. An der Punktmasse greift die periodisch wirkende Kraft F(t) = f0 cos (Ω t) an. Bestimmen Sie
a) die Amplitude der stationären Lösung!
b) die Seilkraft S(t) im stationären Zustand!
c) die Erregerfrequenz Ω* für den Resonanzfall!
Aufgabe 33
Eine homogene Walze (Masse m, Radius r) rollt auf einer festen Unterlage. An ihrer Achse
ist wie skizziert eine Feder (Federkonstante cF) befestigt, deren freies Ende periodisch
nach der Funktion u(t) = u0 sin (Ω t) bewegt wird. Mit welcher Amplitude x0 bewegt sich die
Walzenachse, und wie groß ist ihre maximale Geschwindigkeit v0?
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Aufgabe 34
Der skizzierte masselose Träger trägt eine Maschine (Masse m), die während des Anfahrens und des Betriebes eine periodisch veränderliche Kraft F(t) = F0 cos (Ω t) im Frequenzbereich zwischen 0 Hz und 7Hz auf den Träger ausübt. Bemessen Sie den Träger
als HEB-Profil (die Dämpfung kann vernachlässigt werden) unter Beachtung der zulässigen Normalspannungen! welches Profil wäre für die statische Beanspruchung ausreichend?
Gegeben:
m = 10 t
F0 = 10 kN
E
= 2,1 · 105 N/mm2
zul σ = 140 N/mm2
Aufgabe 35
Am Ende einer einseitig eingespannten, masselosen Blattfeder (Dicke h = 1 mm) befindet
sich eine Punktmasse m, auf die eine periodisch wirkende Kraft F(t) = F0 cos (Ω t) ausgeübt wird. Wie breit muß man die Feder machen, wenn die Amplitude der erzwungenen
Schwingung den Wert x0 = 1 mm haben soll?
Gegeben:
m = 0,1 kg
F0 = 0,5 N
E
= 2 · 105 N/mm2
Ω
= 100 s-1
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Aufgabe 36
Ein masseloser Mast, der wie skizziert von zwei starren Stäben abgestützt wird trägt an
seinem oberen Ende eine Punktmasse m. Der Mast wird durch Windböen zum Schwingen
angeregt.
a) Bestimmen Sie die Amplitude X0 des ungedämpften Systems im stationären Zustand
für die periodisch angreifende Erregerkraft F(t) = F0 cos (Ω t)!
b) Berechnen Sie das Verhältnis von dynamischer zu statischer Auslenkung X0/xstat für
den Fall stationärer erzwungener Schwingungen des gedämpften Systems (geschwindigkeitsproportionale Dämpfung, Dämpfungskonstante d)!
Gegeben:
m = 3 · 103 kg
EJ = 3 · 108 Nm2
F0 = 104 N
Ω
= 10 s-1
d
= 104 Ns/m
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Aufgabe 37
Das Schwingungsverhalten eines Glockenturmes soll näherungsweise mit Hilfe eines Ersatzsystems berechnet werden, bei dem der Turmschaft, der als parallelgurtiges Fachwerk
ausgebildet ist, durch einen Biegestab ersetzt ist. An seinem oberen Ende befindet sich
eine Masse m. Die Masse des Fachwerkstabes soll vernachlässigt werden.
a) Man bestimme die Eigenkreisfrequenz ω und die Schwingungsdauer T für Biegeschwingungen.
b) Wie groß ist die Amplitude der stationären erzwungenen Schwingung, wen an der
Punktmasse m die periodische Kraft F(t) = F0 cos (Ω t) angreift?
Gegeben:
m = 15 t
H
= 30 m
a
=3m
AG = 75 cm2
E
= 2,1 ⋅ 105 N/mm2
Ω = 8 s-1
F0 = 40 kN
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Aufgabe 38
Eine Maschine vom Gesamtgewicht GM steht wie skizziert auf einem Ι-Träger mit der Biegesteifigkeit EJ. Der Träger wird durch ein umlaufendes Maschinenteil vom Gewicht GT zu
Vertikalschwingungen angeregt. Berechnen Sie für das angegebene Ersatzsystem die
Eigenkreisfrequenz ω des Systems, die Erregerkraft F(t) und die Amplitude X0 im stationären Zustand der erzwungenen Schwingung!
System:
Gegeben:
GM = 25 kN
GT = 1,25 kN
EJ = 104 kNm2
Ω = 10 π s-1
r
= 20 cm
G = GM + G T
Ersatzsystem:
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Aufgabe 39
Eine Einzelmasse m befindet sich wie skizziert in der Mitte eines masselosen Trägers mit
der Biegesteifigkeit EJ. An der Masse greift die periodisch wirkende Kraft F(t) = F0 cos (Ωt)
an. Wie groß muß m werden, wenn die Durchbiegung aus der dynamischen Beanspruchung höchstens l/1000 sein darf?
Gegeben:
E
= 2 ⋅ 105 N/mm2
J
= 400 cm4
F0 = 6,4 kN
Ω
= 60 s-1
Aufgabe 40
Das skizzierte System stellt das Modell eines Kraftwagens (Masse m, Federkonstante cF,
masseloses Rad) auf welliger Fahrbahn (Amplitude u0) dar. Bestimmen Sie die auf u0 bezogenen Amplituden X0 der Fahrzeugmasse in Abhängigkeit von der Geschwindigkeit v!
Wie groß muß das Dämpfungsmaß D infolge eines parallelgeschalteten Dämpfers sein,
wenn das Verhältnis zwischen X0 und u0 nicht größer als 1,5 werden soll?
Gegeben:
ω2 =
cF
= 100 s-2
m
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Aufgabe 41
Eine Maschine mit der Gesamtmasse m steht auf einer reibungsfreien, horizontalen Unterlage. Im starren Gehäuse (Masse mA) rotiert eine Unwuchtmasse (Masse mB) mit konstanter Winkelgeschwindigkeit Ω. Die Maschine wird in horizontaler Richtung wie dargestellt
durch eine Feder mit der Federkonstanten cF gehalten.
a) Wie groß muß mA mindestens gewählt werden, damit die Maschine nicht von der Unterlage abhebt?
b) Berechnen Sie die Amplitude der sich einstellenden stationären Schwingung für das
Massenverhältnis mA : mB = 3 : 1!
Gegeben:
mB = 400 kg
r
= 40 cm
Ω = 10 s-1
cF = 90 kN/m
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Aufgabe 42
Gegeben ist das skizzierte System aus einer homogenen Kreisscheibe (Masse mA, Radius
r), einer Feder (Federkonstante cF), einem masselosen, dehnstarren Seil, das über eine
masselose und reibungsfreie Umlenkrolle geführt wird, und der Punktmasse mB. An der
Punktmasse greift eine periodische Erregerkraft F(t) = F0 cos (Ω t) an. Bestimmen Sie den
maximalen Ausschlag der Scheibenachse für reines Rollen im stationären Zustand der
Schwingung! Wie groß muß der Haftreibungskoeffizient µH sein, damit reines Rollen auftreten kann?
Gegeben:
mA : mB = 2 : 1
Ω2 =
cF
14 mB
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Aufgabe 43
Ein homogenen, starrer Stab mit der Masse m ist auf zwei gegenläufig rotierende Walzen
gelagert und durch eine Feder (Federkonstante cF) gehalten. Bestimmen Sie die Eigenkreisfrequenz ω für die Schwingbewegung des Stabes. Der Reibungskoeffizient zwischen
den Walzen und dem Stab beträgt µG.
Es soll eine kleine Schwingung vorausgesetzt werden, bei der der Schwerpunkt des Stabes sich stets zwischen den beiden Walzenachsen befindet.
Gegeben:
m, a, Ω
µG, cF
Aufgabe 44
Der skizzierte Schwinger aus einem homogenen, starren Stab (Masse m) wird durch eine
periodisch angreifende Kraft F(t) = F0 cos (Ω t) erregt. Dabei wird eine Auslenkungsamplitude ϕ0 gemessen. Ermitteln Sie die Erregerfrequenz Ω!
Gegeben:
m = 4,9 t
cF = 30 kN/m
d
= 10 kNs/m
F0 = 4 kN
ϕ0 = 3,60°
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Aufgabe 45
Eine Einzelmasse m hängt wie skizziert an zwei Schraubenfedern (Federkonstante cF) und
einem Dämpfungselement. Auf die Masse wirkt eine periodisch veränderliche Vertikalkraft
F(t) = F0 cos (Ω t). Wie groß muß die Dämpfungskonstante d gewählt werden, wenn die
Amplitude der Schwingung höchstens auf das dreifache der statischen Auslenkung der
Feder infolge der Last F0 ansteigen darf?
Gegeben:
m = 10 kg
cF = 50 N/cm
Aufgabe 46
Der skizzierte homogene, starre Träger (Masse m) ist im Punkt A drehbar gelagert. Zusätzlich sind eine Feder (Federkonstante cF) und ein Dämpfungselement (Dämpfungskonstante d) angebracht. Die periodisch angreifende Kraft F(t) = F0 cos (Ω t) bewirkt eine stationäre Schwingung des Systems. Wie groß ist die Amplitude der Schwingung am Lastangriffspunkt, und welche maximale Kraft überträgt das Dämpfungselement?
Gegeben:
m = 10 t
cF = 120 kN/m
d
= 8 kNs/m
F0 = 2 kN
Ω
= 0,8 s-1
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