¨Ubungen zur Vorlesung ” Analysis II“

Prof. Dr. H. Dinges
Blatt (8):
Übungen zur Vorlesung
”
WS 2010/11
Analysis II “
http://ismi.math.uni-frankfurt.de/dinges/teaching/
Datum: 10 .12. 2010
Abgabe: 6. 1. 2011
Aufgabe 18
Ein Punkt P̃ einer konvexen Menge K heisst ein Extremalpunkt, wenn er
nicht als konvexe Kombination von Punkten aus K \ {P̃ } dargestellt werden
kann; d. h. wenn gilt
P̃ = (1 − λ)P1 + λP2
mit P1 , P2 ∈ K, 0 < λ < 1
=⇒
P1 = P̃ = P2 .
Eine nichtleere konvexe Teilmenge S ⊂ K heisst eine Seite, wenn man keinen
ihrer Punkte als konvexe Kombination von Punkten aus K \ S darstellen
kann, d. h. wenn gilt
S ∋ P̃ = (1 − λ)P1 + λP2
mit P1 , P2 ∈ K, 0 < λ < 1
=⇒
P1 , P2 ∈ S.
Zur Sprechweise: Die Extremalpunkte sind in diesem Sinne die nulldimensionalen Seiten. K selbst kann als auch als Seite gelten. Ein kompaktes K ⊆ R3
mit nichtleerem Inneren hat ‘Ecken’, ‘Kanten’, und ‘Seitenflächen’. Wenn es
nur endlichviele Seitenflächen (oder nur endlichviele Extremalpunkte) gibt,
spricht man von einem kompakten Polyeder.
a) Zeigen Sie: Wenn S eine Seite der konvexen Menge K ist und S̃ die
affine Hülle bezeichnet, dann gilt
1. S = S̃ ∩ K,
2. K \ S
ist konvex
b) Zeigen Sie weiter:
Wenn eine konvexe Teilmenge der konvexen
Menge K die Eigenschaften 1) und 2) besitzt, dann ist sie eine Seite von K.
c) Welche der folgenden Aussagen sind wahr:
i) Ein Punkt P̃ ∈ K ist genau dann Extremalpunkt, wenn die Menge
K \ {P̃ } konvex ist,
ii) Jede Seite einer abgeschlossenen konvexen Menge ist abgeschlossen.
iii) Der Durchschnitt von Seiten ist eine Seite (wenn er nicht leer ist).
Aufgabe 19
Es sei {ai : i ∈ I} eine endliche Familie reeller Zahlen, etwa a1 ≤ a2 ≤
· · · ≤ an .
1)Beschreiben Sie die Menge aller Punkte â, in welchen die Funktion
X
x − ai k (1) (x) = n1
ihr Minimum annimmt. (Diese â heissen die Medianwerte der Familie.)
2) Es sei
l(x) =
(
+ 21 x
− 23 x
für x > 0
für x ≤ 0
Beschreiben Sie die Menge aller Punkte , inwelchen die Funktion
X
k (2) (x) = n1
l(x − ai )
ihr Minimum annimmt.
(Hinweis: Die Ableitung der konvexen Funktion ist negativ links und
positiv
rechts von diesen ‘Quantilpunkten.
Betrachten Sie auch speziell
−5, −1, 0, +4, +5 .
3)Beschreiben Sie für lθ (x) = |x| − θx die Minimalstellen der Funktion
X
lθ (x − ai ).
k (θ) (x) = n1
P
|x − ai | .
und beschreiben Sie die Funktion ϕ(θ) = sup θx − n1
Beachten Sie auch (zur Verbindung mit Punkt 2):
l(x) = |x| − 21 x.
Aufgabe 20
Eine stetige Funktion k(·) auf der reellen Achse heisst eine stückweise affine
Funktion, wenn es a1 ≤ a2 ≤ · · · ≤ an gibt, sodass die Ableitung im Intervall
(ai−1 , ai ) konstant ist. ( i = 1, . . . , n + 1 mit a0 = −∞, an+1 = ∞. )
(Wir empfehlen, die Steigungen θ0 ≤ θ1 ≤ · · · ≤ θn zu nennen, und die
Funktionswerte in den Knickpunkten k(ai ) = b1 )
Zeigen Sie: Wenn k(·) eine stückweise affine konvexe
Funktion ist, dann
ist auch die Legendre-Transformierte
ϕ(θ) = sup θx − k(x) : x ∈ R
(in ihrem Endlichkeitsbereich) stückweise affin und konvex. Beschreiben Sie
den Endlichkeitsbereich und die zu ϕ(·) gehörige Zerlegung der θ-Achse!
Machen sie ein Bild für die Funktion k (1) aus der vorigen Aufgabe (mit
den dort angegebenen ai ).