Fachbereich Mathematik

Universität Hamburg
Fachbereich Mathematik
Arbeitsbereich Stochastik
Prof. Dr. Daduna
Proseminararbeit
„Konvexe Ordnungen“
Textgrundlage:
A. Müller und D. Stoyan (2002).
„Comparision methods for stochastik models and risks“
John Wiley & Sons Inc., New York.
Seite 15 - 23
Nils Echterling
Physik Diplom
1. Fachsemester
Wolfshagen 7
20535 Hamburg
Tel.: +49-(0)40 48 40 63 48
1
Inhaltsverzeichnis
1
Einleitung
2
Einführung in konvexe Mengen und Funktionen
3
Definition der konvexen Ordnungen
4
Sätze über konvexe Ordnungen
5
Die integrierte Überlebensfunktion
6
Sätze über konvexe Ordnungen mit Hilfe der integrierten Überlebensfunktion
Literaturverzeichnis
2
1
Einleitung
Konvexe Ordnungen
Im Gegensatz zu der stochastischen Standardordnung, der Hazard Rate Ordnung und
der Likelihood Ordnung, liefern konvexe Ordnungen auch Aussagen über die Varianz
zweier Verteilungen. Aus der Tatsache, dass eine Zufallsvariable konvex kleiner als
eine andere ist, folgt, wie wir später sehen werden, sofort, dass die eine eine kleinere
Varianz besitzt.
Da konvexe Ordnungen auf konvexen Funktionen basieren, gehe ich zunächst kurz
auf konvexe Mengen und Funktionen ein. Anschliessend werden die konvexen
Ordnungsrelationen definiert und einige Sätze beweisen. Im weiteren Verlauf wende
ich mich der „integrierten Überlebensfunktion“ zu und beweise einige mit ihr
zusammenhängende Sätze. Dabei wird klar, dass sich nicht nur konvexe Ordnungen,
sondern auch die stochastische Standardordnung mit Hilfe von integrierten
Überlebensfunktionen charakterisieren lässt.
Im folgenden wirds stets unterstellt, dass die Erwartungswerte der behandelten
Zufallsvariablen endlich sind.
3
2
Einleitung in konvexe Mengen und Funktionen
Konvexe Ordnungen basieren auf konvexen Funktionen. Daher ist eine kurze
Einführung nötig.
Das „Teubner-Taschenbuch der Mathematik“ Teil 1 schreibt über konvexe
Funktionen auf seite 276:
„Konvexität stellt die einfachste Form der Nichtlinearität dar.“
Definition: Konvexe Menge:
Eine Menge M eines linearen Raumes heisst genau dann konvex, wenn gilt:
x, y  M    0,1 :  x  1    y  M
Bemerkung:
Anschaulich bedeutet dies, dass zwei Punkte der konvexen Menge M sich stets so
mit einer Geraden verbinden lassen, dass diese Verbindungsgerade ebenfalls komplett
in M liegt.
Definition: Konvexe Funktionen:
Eine Funktion f : M  heisst genau dann konvex, wenn die Menge M konvex ist
und zudem gilt:
x, y  M ,    0,1 : f  x  1   y    f  x   1   f  y 
Bemerkung:
Für lineare Funktionen gilt diese Ungleichung mit Gleichheit.
Bemerkung:
Anschaulich bedeutet die Konvexität einer Funktion, dass ihre Sekante für alle Punkte
stets oberhalb ihres Graphen liegt.
Definition:
Eine Funktion f : M 
heisst genau dann konkav, wenn  f konvex ist.
Einige Eigenschaften von konvexen Funktionen (ohne Beweis):
Sei J ein offenes Intervall, dan gelten für f : J  folgende Aussagen:
i)
Ist f konvex, dann ist f auf J stetig.
ii)
Ist f konvex, dann existiert in jedem Punkt x  J die rechtsseitige
Ableitung f   x  und die linksseitige Ableitung f   x  .
iii)
iv)
x  J : f   x   f   x 
Existiert die erste Ableitung f  auf J , dann gilt:
f ist konvex auf J  f  ist monoton steigend auf J .
Existiert die zweite Ableitung f  auf J , dann gilt:
f   x   0  f ist konvex auf J
4
3
Definition der konvexen Ordnungen
Definition 1.5.1.
Seien X , Y Zufallsvariablen mit endlichen Erwartungswerten.
i)
ii)
iii)
X cx Y : Ef  X   Ef Y  für alle konvexen Funktionen f , so dass die
Erwartungswerte existieren. Man sagt: X kleiner als Y gemäss der
konvexen Ordnung.
X icx Y : Ef  X   Ef Y  für alle monoton steigenden, konvexen
Funktionen f , so dass die Erwartungswerte existieren. Man sagt:
X kleiner als Y gemäss der steigenden konvexen Ordnung.
X icv Y : Ef  X   Ef Y  für alle monoton steigenden, konkaven
Funktionen f , so dass die Erwartungswerte existieren. Man sagt:
X kleiner als Y gemäss der steigenden konkaven Ordnung.
Folgerung:
X icx Y  Y icv  X
Somit ist es ausreichend sämtliche folgende Sätze für die steigend konvexe Ordnung
zu formulieren. Die entsprechenden Sätze für die steigend konkave Ordnung folgen
direkt.
Bemerkung:
In Satz 1.2.8. hatten wir eine Charakterisierung der stochastischen Standardordnung
kennengelernt. Es gilt:
X st Y  Ef  x   Ef Y  für alle monoton steigenden Funktionen f , so dass die
Erwartungswerte existieren.
Vorausgesetzt die Ableitung von f existiert, hat man mit der Definition der
konvexen Ordnung eine ganz ähnliche Bedingung. Hier wird lediglich die steigende
Monotonie nicht für f , sondern für f  verlangt.
Folgerung:
Wenn die Erwartungswerte existieren, folgt aus der oben erwähnten
Charakterisierung, dass die stochastische Standardordnung die steigend konvexe
Ordnung impliziert.
Denn aus Ef  X   Ef Y  für alle monoton steigenden Funktionen f , folgt
insbesondere Ef  X   Ef Y  für alle konvexen und monotonen steigenden
Funktionen f .
Somit gilt: X st Y  X icx Y
5
4
Sätze über konvexe Ordnungen
Satz 1.5.3.
Es besteht ein direkter Zusammenhang zwischen der konvexen Ordnung und der
steigenden konvexen Ordnung. Es sind äquivalent:
i)
X cx Y
ii)
X icx Y und EX  EY
Beweis:
i)  ii)
Da X cx Y  Ef  X   Ef Y  für alle konvexen Funktionen f , gilt dies
insbesondere für die steigend konvexen Funktionen f . Somit folgt: X icx Y .
Aus X cx Y folgt insbesondere: Ef  X   Ef Y  für f  x   x und f  x    x .
Somit gilt: EX  EY und zudem  EX   EY und damit: EX  EY .
ii)  i)
Die Rückrichtung ist etwas komplizierter.
Sei f eine beliebige konvexe Funktion und insbesondere nicht notwendig monoton
steigend. Des weiteren gebe es ein   , so dass Bedingung 1.5.1. gilt:
(1.5.1.) g : x
f  x    x ist monoton steigend.
Der Fall, dass ein solches  nicht existiert, wird später auf den Fall, dass es existiert
zurückgeführt.
Da g nach Annahme monoton steigend ist, gilt somit: Eg  X   Eg Y  .
Dass g auch konvex ist, folgt aus der Tatsache, dass es aus der Summe zweier
konvexer Funktionen zusammengesetzt ist.
Es gilt für den Fall, dass Bedingung 1.5.1. erfüllt ist, also:
Ef  X   E  X   Ef Y   E  Y 
EW linear
 Ef  X    E  X   Ef Y    E Y 
EX=EY
 Ef  X   Ef Y 
Def.
 X cx Y
6
Für den Fall, dass kein   existiert, so dass Bedungung 1.5.1. erfüllt ist,
konstruiere die Funktionenfolge:

für x  n
 f  x
fn  x   

 f  n   f   n  x  n  sonst
Dabei ist f  die rechtsseitige Ableitung von f . Diese existiert, da f nach
Voraussetzung konvex ist.
Die Funktionenfolge f n konvergiert mit steigendem n punktweise gegen f , wie
man leicht sieht, wenn man sich eine beliebige Stelle x festhält und dann n erhöht,
bis n kleiner x ist.
Jedes Glied dieser Funktionenfolge erfüllt Bedingung 1.5.1., denn für    f   n 
folgt:

für x  n
 fn  x    x
gn : x 

 f n  n   f   n  x  n    x sonst
also
 f  x   f   n  x
für x  n

 n
gn : x 
 f n  n   f   n  x  n   f   n  x sonst
und

 f  x   f   n  x für x  n
gn : x  n
sonst

 f n  n   f   n  n
In allen Fällen in denen kein  existiert mit dem Bedingung 1.5.1. erfüllt ist, ist
f   n  für ausreichend grosses n negativ. Sollte die Steigung von f n  x  für x   n
negativ sein, dann hat sie dort eine grössere Steigung als f   n  x , weil f n konvex
ist. Damit ist f n  x   f   n  x für x   n monoton steigend.
Damit ist g n konvex und monoton steigend für beliebiges n .
Da f n gegen f konvergiert, und f n Bedingung 1.5.1. erfüllt, gilt: Ef  X   Ef Y 
auch für die f , die Bedingung 1.5.1. nicht erfüllen mit Hilfe des Satzes über die
monotone Konvergenz.
Also gilt Ef  X   Ef Y  für alle konvexen Funktionen f und somit: X cx Y .
7
Folgerung 1.5.4.
n
n
a) Aus X cx Y folgt EX n  EY n und E  X  EX   E Y  EY  für
n  2, 4, 6... .
b) Wenn X und Y nicht-negative Zufallsvariablen sind, dann gilt:
EX n  EY n für alle n .
Beweis:
a) f : x
x n ist für n  2, 4, 6... eine konvexe Funktion. Somit gilt:
EX n  EY n per Definition.
n
f : x  x  a  ist für n  2, 4, 6... und a  EX  EY ebenfalls eine konvexe
Funktion. Also gilt auch hier:
n
n
E  X  EX   E Y  EY 
b) Für nicht-negative Zufallsvariablen X , Y ist f : x
x n für alle n
konvexe Funktion. Somit gilt dann auch EX n  EY n für alle n .
eine
Satz 1.5.5.
a) Sei X cx Y und Z stochastisch unabhängig von X und Y . Dann gilt:
X  Z cx Y  Z .
b) Sei X icx Y und Z stochastisch unabhängig von X und Y . Dann gilt:
X  Z icx Y  Z .
Beweis:
a) Sei f eine beliebige konvexe Funktion. Seien g  z  : Ef  X  z  und
h  z  : Ef Y  z  Funktionen in z .
f  x  z  ist eine
Aus der Voraussetzung, dass f konvex ist, folgt: f : x
Funktion in x und konvex für alle z  .
Aus X cx Y folgt dann g  z   h  z  für alle z  . Also gilt:
Ef  X  Z   Eg  Z   Eh  Z   Ef Y  Z  .
b) Durch Voraussetzen einer monoton steigenden konvexen Funktion f lässt
sich der Beweis von a) auf b) übertragen.
8
5
Die integrierte Überlebensfunktion
Definition:
Im weiteren Verlauf wird eine besondere Klasse von Funktionen von Bedeutung sein.
Die Funktionen der Form t  x  :  x  t  : max x  t ,0 bezeichnet man als wedge
functions. Sie sind eine Teilmenge aller konvexen Funktionen.
Bemerkung:
Die wedge functions sind monoton steigend und konvex.
Definition:
Die Funktion  X  t  : Et  X   E  X  t  , t  nennt man die integrierte
Überlebensfunktion. Diese Funktion ist von essentieller Bedeutung im weiteren
Verlauf des Proseminars und darüber hinaus. Die integrierte Überlebensfunktion ist
auch unter dem Namen stop-loss transform bekannt. Mehr dazu in der Textgrundlage
auf Seiten 278ff.
Der folgende Satz zeigt, dass es genügt die Definition der steigenden konvexen
Ordnung auf die Teilmenge der wedge functions anzuwenden, um zu überprüfen, ob
zwei Verteilungen zueinander in einer steigenden konvexen Ordnung stehen.
Satz 1.5.7.
Es sind gleichbedeutend:
X icx Y
i)
ii)
Et  X   Et Y  für alle t  .
Beweis:
Die Hinrichtung ist trivial, denn aus der Definition der steigenden konvexen Ordnung
folgt ja gerade, dass Ef  X   Ef Y  für alle steigenden, konvexen Funktionen gilt.
Die Rückrichtung kann man durch eine Fallunterscheidung zeigen.
Sei f eine beliebige monoton steigende konvexe Funktion.
Erste Fall ist: lim f  t   0 und wird hier nicht bewiesen.
t 
Der zweite Fall ist lim f  t     . Dieser Fall kann auf den ersten zurückgeführt
t 
werden, indem man die Funktion f   betrachtet.
Der dritte Fall schliesslich ist lim f  t    . In diesem Fall erfüllt
t 
f n  x   max  f  x  , n die Annahme vom zweiten Fall und konvergiert monoton
gegen f . Der Rest folgt aus dem Satz über die monotone Konvergenz.
9
6
Sätze über konvexe Ordnungen mit Hilfe der integrierten
Überlebensfunktion.
Satz:

Es ist:  X  t   Et  X   E  X  t    FX  z  dz
t
Beispiel:
Die steigend konvexe Ordnung ist nicht abgeschlossen bezüglich der schwachen
Konvergenz.
1
Sei P  X n  1 : 1 für alle n und P Yn  n  : 1  P Yn  0  : .
n
X n und Yn konvergieren nach Verteilung. X und Y seien verteilt gemäss der
jeweiligen Grenzwerte.
Dann gilt: P  X  1  P Y  0  1.
Zudem lässt sich zeigen: X n icx Yn :
Es gelten für beliebiges konvexes f :
f 1  f 1  P X 1   f  x   P X x  Ef  X 
x
und auch:
1
1
 1   Konvexität von f
 1
f 1  f   n  1    0 

f  0  1    f  n    f  y   PY  y  Ef Y 
n
 n 
 n
y
n
Aus f 1  f 1 folgt also insbesondere Ef  X   Ef Y  und somit X n cx Yn und
auch X n icx Yn für alle n .
X icx Y ist jedoch falsch! Es ist, im Gegenteil, X icx Y .
Die genauere Untersuchung dieses Beispiels lässt vermuten, dass der Grund für die
Nicht-Abgeschlossenheit der steigend konvexen Ordnung bezüglich der schwachen
Konvergenz in der Tatsache liegt, dass Yn zwar nach Verteilung gegen Y konvergiert,
aber die Erwartungswerte EYn gegen 1 und nicht gegen EY  0 konvergieren.
Es lässt sich unter einer weiteren Einschränkung also ein Satz über die
Abgeschlossenheit der steigend konvexen Ordnung bezüglich der schwachen
Konvergenz angeben.
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Satz 1.5.9.
Seien X n und Yn Folgen von Zufallsvariablen mit X n icx Yn für alle n . Gelte
zudem E  X n   EX  und E Yn   EY .
Dann folgt aus X n  X und Yn  Y : X icx Y .
Satz 1.5.10.
a) Sei X eine reelle Zufallsvariable mit endlichem Erwartungswert und  X die
zugehörige integrierte Überlebensfunktion. Dann gelten:
i)
ii)
 X ist fallend und konvex.
lim  X  t   0 und lim  X  t   t   EX .
t 
t 
b) Zu jeder beliebigen Funktion  , die die obigen Bedingungen i) und ii) erfüllt, gibt
es eine Zufallsvariable X , so dass  die integrierte Überlebensfunktion von X ist.
Die Verteilungsfunktion von X ist gegeben durch FX  t   1     t  . Dabei ist   die
rechtsseitige Ableitung von  .
Beweis:
 X  t   E  X  t  ist offensichtlich monoton fallend. Da F  x  monoton fallend ist,

ist  X  t    FX  x  dx konvex. Damit ist i) gezeigt.
t
Es gelten:
lim  X  t   lim E  max  X  t ,0   0 und
t 
t 
lim  X  t   t   lim E  max  X  t ,0  t   lim E  max  X , t  EX
t 
t 
t 
Damit ist a) gezeigt.
Da  konvex ist, existiert die rechtsseitige Ableitung, welche zudem rechtsseitig
stetig und monoton steigend ist. Aus lim  X  t   0 folgt unmittelbar lim    t   0 .
t 
t 
Da der Grenzwert lim  X  t   t  existiert und endlich ist, muss lim    t   1 sein.
t 
t 
Also ist 1    eine Verteilungsfunktion und  die zugehörige integrierte
Überlebensfunktion. Damit ist b) gezeigt.
11
Satz 1.5.13.
Seien X und Y beliebige relle Zufallsvariablen.
a) X st Y ist gleichbedeutend mit t  Y  t    X  t  ist monoton fallend.
b) X icx Y ist gleichbedeutend mit  X  t    Y  t  für alle t  .
c) X cx Y ist gleichbedeutend mit  X  t    Y  t  für alle t  , wenn zudem
gilt: lim  Y  t    X  t    0 .
t 
Beweis:
a) Es ist: X st Y  FY  x   FX  x   FY  x   FX  x   0  FX  x   FY  x   0
und zudem gilt:



t
t
t
t

 Y  t    X  t    FY  x  dx   FX  x  dx    FY  x   FX  x   dx    FX  x   FY  x   dx
Da der Integrand FX  x   FY  x  kleiner als 0 ist, ist  Y  t    X  t  monoton
fallend. Genauso die Rückrichtung.
b) Dies ist genau die Aussage von Satz 1.5.7. und wird hier nur der
Vollständigkeit halber nochmal angeführt.
c) Unter zu Hilfenahme von Satz 1.5.3. bleibt zu zeigen:
lim  Y  t    X  t    0  EX  EY
t 
Dies ist einfach zu zeigen mit Hilfe von Satz 1.5.10.a)ii)
0  lim  Y  t    X  t    lim  Y  t   t   lim  X  t   t   EY  EX  EX  EY
t 
t 
t 
Genauso die Rückrichtung.
12
Satz 1.5.14.
Seien X und Y Zufallsvariablen mit X icx Y . Dann gibt es eine Zufallsvariable Z
mit X  st Z cx Y .
Beweis:
Sei  Z  t  : max  X  t  , EY  t . Im ersten Schritt wird mit Hilfe von Satz 1.5.10.a)
gezeigt, dass dies eine integrierte Überlebensfunktion ist.
i)
Da  Z das Maximum einer konvexen und einer linearen Funktion ist, ist
 Z ebenfalls konvex.
Zudem ist es monoton fallend und es gilt: lim  Z  t   0 , weil
t 
lim  X  t   0 aus Satz 1.5.10.a)ii) folgt und lim  EY  t    ist.
t 
Somit bleibt zu zeigen: lim  Z  t   t   EZ .
t 
t 
lim  Z  t   t 
t 
1.5.10.a)ii)

ii)
Def. von  Z




lim max  X  t  , EY  t  t  lim max  X  t   t , EY 
t 
max lim  X  t   t , lim  Y  t   t
t 
t 

t 
 lim  Y  t   t   EZ
1.5.13.b)
t 
Also folgt: EY  EZ .
Somit ist  Z nach Satz 1.5.10.a) eine integrierte Überlebensfunktion von
der Zufallsvariablen Z .
Im zweiten Schritt wird die erste Ungleichung gezeigt.
Es gilt:
 Z t    X t 
Def. von  Z

max  X  t  , EY  t    X  t 
Def. von  X

   EY   E  X  t 
  EY  E  max  X , t 
 EY   X  t   t 


Def. von max

 t 


 EY  t    t  
X
Def. von max



 EY  max E  X  t  , 0  t 

Somit ist t
iii)
 Z  t    X  t  monoton fallend und Satz 1.5.13.a) impliziert
X  st Z .
Im dritten Schritt wird schliesslich die zweite Ungleichung gezeigt.
Wir wissen nach dem Beweis von 1.5.13.c), dass
EY  EZ  lim  Y  t    X  t    0 .
t 
Daher bleibt nach Satz 1.5.13.c) zu zeigen:  Z  t    Y  t  .
Jensen
Es gilt: EY  t   EY  t    EY  Et   E Y  t    Y  t 
Wegen X icx Y nach Voraussetzung und Satz 1.5.13.b) folgt damit:
 Z  t   max  X  t  , EY  t   Y  t  .
13

Literaturverzeichnis
A. Müller und D. Stoyan (2002). Comparision methods for stochastik models and
risks. John Wiley & Sons Inc. New York.
K. Behnen und G. Neuhaus (2003). Grundkurs Stochastik. PD-Verlag, Heidenau.
W. Hackbusch, H. R. Schwarz, E. Zeidler (1996). Teubner – Tachenbuch der
Mathematik Teil 1 B.G. Teubner Stuttgard Leibzig.
14