Zahlenfolgen und Reihen
Was ist eine Zahlenfolge – Bildungsgesetz
Wenn wir z. B. von der Menge N der natürlichen Zahlen sprechen, so “sehen” wir sozusagen
einen “Sack voller Zahlen”, es besteht keine Ordnung. Wir wenden uns nun dem Fall zu,
daß Zahlen in einer bestimmten Reihenfolge vorliegen, zum Beispiel
1, 3, 5, 7, . . .
eine solche Folge kann eine endliche Menge umfassen, z. B.
1, 3, 5, 7, 9, 11
aber auch unendlich viele Zahlen enthalten, also
1, 3, 5, 7, . . .
Die Punkte symbolisieren eine unendliche Fortsetzung. Allgemein können wir solche Mengen als
a1 , a2 , a3 , . . . , an , . . . , aN
beziehungsweise als
a1 , a2 , a3 , . . . , an , . . .
schreiben. Dabei wird an als das nte Glied bezeichnet.
Eine Zahlenfolgen liegt vor, wenn es möglich ist, eine Gesetzmäßigkeit für die Bildung
der Reihenfolge der Zahlen zu finden, d. h. wenn eine Vorschrift besteht, nach der jedes
Glied der Folge berechnet werden kann. Betrachten wir die obigen Zahlen. Unschwer zu
erkennen ist, daß die Formel
an = 1 + 2(n − 1)
das nte Glied der Folge beschreibt. Diese Formel heißt Bildungsgesetz der Zahlenfolge.
Das Bildungsgesetz kann auch rekursiv, d. h. eine Anleitung sein, wie die Glieder aus
den vorangehenden Gliedern entstehen. Für unser Beispiel lautet eine solche rekursive
Definition
an = an−1 + 2
a1 = 1
Um die Schreibarbeit zu reduzieren, schreiben wir für eine Folge a1 , a2 , a3 , . . . kurz {an }.
Beispiele für Zahlenfolgen
Die beiden obigen Zahlenfolgen sind Beispiele für eine arithmetische Folge. Eine solche
liegt vor, wenn ein Glied durch Addition derselben Konstanten zum vorherigen Folgenglied
entsteht, d. h. die Folge
a, a + d, a + 2d, a + 3d, . . .
1
lautet. Das Bildungsgesetz für eine arithmetische Folge hat deswegen die Form
an = a + d(n − 1) .
Betrachten wir nun eine andere Folge:
1,
1 1 1 1
, , ,
, ...
2 4 8 16
Der Quotient zweier aufeinanderfolgender Glieder, etwa
1 1
: = 2,
2 4
hat immer den gleichen konstanten Wert, hier 2 also. Eine Folge mit dieser Eigenschaft
nennen wir geometrische Folge. Das Bildungsgesetz lautet
n
1
an =
2
Allgemein gilt für geometrische Folgen
an = c · xn−1
wobei x eine beliebige reelle Zahl ist.
Grenzwerte von Folgen
Eine spezielle Folge ist die harmonische Folge
1,
1
n
:
1 1 1
, , , ...
2 3 4
Wenn wir n erhöhen, werden die Folgenglieder immer kleiner und nähern sich für n gegen
unendlich an. Dies drücken wir in folgender Form aus:
1
=0
lim
n→∞ n
Der Ausdruck links heißt Limes oder Grenzwert der Folge. Die Folge
1 2 3 4
, , , , ...
2 3 4 5
besitzt das allgemeine Glied
an = 1 −
Hier erhalten wir für den Grenzwert
1
.
n
1
lim 1 −
= 1.
n→∞
n
2
Beide Folgen besitzen genau einen endlichen Grenzwert. Sie heißen konvergent (sie
konvergieren gegen ihren Grenzwert). Allgemein gilt: Eine Folge ist konvergent, wenn sie
genau einen endlichen Grenzwert besitzt. Andernfalls ist sie divergent.
Ein Beispiel für eine divergente Folge ist die obige arithmetische Folge (Grenzwert unendlich!):
lim [a + d(n − 1)] = +∞ d > 0
n→∞
Eine weitere Folge ist
an = (−1)n .
Solche Folgen, bei denen sich von Glied zu Glied das Vorzeichen umkehrt, nennen wir
alternierende Folgen. Wie wir an dieser Folge sehen, kann es also vorkommen, daß eine
Folge zwar nicht gegen unendlich geht, jedoch mehrere sogenannte Häufungswerte hat,
hier also +1 und -1. Folgen mit mehreren Häufungswerten sind unbestimmt divergent,
während Folgen ohne Häufungswert bestimmt divergent sind.
Eine mathematisch exaktere Definiton für die Konvergenz einer Folge lautet: Eine Folge
{an } ist konvergent, wenn sich eine natürliche Zahl k finden läßt, so daß ab dem kten
Folgenglied für alle Folgenglieder die Differenz zwischen einem Folgenglied und einer reellen
Zahl A kleiner als eine Grenze wird.
|an − A| < für n ≥ k
A ist dann gleich dem oben eingeführten Grenzwert. Gibt es kein A mit dem sich obige
Gleichung erfüllen läßt, so heißt die Folge divergent. Dies wollen wir auf unsere vorherige
Beispielfolge an = 1 − n1 anwenden. Mit der Wahl = 0, 01 und A = 1 (der Wert den wir
oben für den Grenzwert erhalten haben) gilt:
1 − 1 − 1 < 0, 01
k
1
1
<
k
100
k = 101 ,
d. h. die Gleichung ist für alle an mit n > 100 erfüllt, die Folge ist konvergent.
Was ist eine Reihe – Folgen von Partialsummen
Eine wichtige Eigenschaft von Zahlenfolgen sind die Summen ihrer ersten n Glieder. Sie
heißen Partialsummen und erhalten das Symbol Sn . Nehmen wir wieder 1, 3, 5, 7, . . .,
so addieren wir die ersten 1, 2 oder 3 Glieder usw. Wir erhalten S1 = 1, S2 = 4, S3 = 9
usw. Ist die allgemeine Folge a1 , a2 , a3 , . . . gegeben, so gilt:
S1 = a1
S2 = a1 + a2
3
S3 = a1 + a2 + a3
..
.
Sn = a1 + a2 + . . . + an =
n
X
ak
k=1
Diese Summen bilden wiederum eine Folge S1 , S2 , S3 , . . ., eine solche Folge heißt Reihe.
Der Begriff Reihe wird allerdings auch für die Summe der Terme selber benutzt, d. h. die
Summe
n
X
Sn =
ak = a1 + a2 + a3 + . . . + an
k=1
wird als endliche Reihe bezeichnet. Entsprechend heißt
∞
X
ak = a1 + a2 + a3 + . . . .
k=1
unendliche Reihe.
Wenn die Folge der Partialsummen {Sn } konvergiert, so ist die Reihe konvergent, sonst
divergent. Haben wir eine konvergente Reihe, so können wir den Grenzwert bilden,
!
n
X
S = lim Sn = lim
ak
n→∞
n→∞
k=1
Diesen Grenzwert S bezeichnen wir als Summe der Reihe und wir schreiben:
S=
∞
X
ak
oder S = a1 + a2 + a3 + . . .
k=1
Aus der arithmetischen Folge an = a + d(n − 1) entsteht demgemäß die arithmetische
Reihe mit den einzelnen Folgengliedern:
Sn =
n
X
a + d(k − 1) = a + [a + d] + [a + 2d] + [a + 3d] + . . . + [a + (n − 1)d]
k=1
Die Summation führen wir mit einem vom Schulknaben Gauß gefundenen Trick durch. Für
n gerade addieren wir das erste zum nten Glied, das zweite zum (n − 1)ten und so weiter,
und erhalten dadurch n/2 identische Terme [2a + (n − 1)d]. Für Sn gilt also:
Sn =
n
[2a + (n − 1)d]
2
Für die geometrische Reihe, die wir entsprechend aus der geometrischen Folge erhalten,
gilt
n−1
X
Sn =
axk = a + ax + ax2 + ax3 + . . . + axn−1
k=0
4
Zur Durchführung der Summation multiplizieren wir Sn mit x
xSn = ax + ax2 + ax3 + . . . + axn
und ziehen beide Reihen voneinander ab:
Sn − xSn = a − axn = a(1 − xn ).
Durch einfache Umformung entsteht daraus
Sn = a
1 − xn
,
1−x
(x 6= 1)
Für a = 1 ergibt sich die Gleichung
2
3
n−1
1 +x+x +x +...+x
1 − xn
=
,
1−x
wir können also einerseits die geometrische Reihe durch den Bruch (1 − xn )/(1 − x) berechnen, andererseits läßt sich der Bruch durch eine Potenzreihe ausdrücken.
Etwas ähnliches wollen wir mit dem Term (1 + x)n probieren. Für die Partialsummen gilt:
S0
S1
S2
S3
..
.
=
=
=
=
(1 + x)0
(1 + x)1
(1 + x)2
(1 + x)3
=1
=1+x
= 1 + 2x + x2
= 1 + 3x + x2 + x3
Sn = (1 + x)n = 1 + nx +
n(n − 1) 2 n(n − 1)(n − 2)
x +
+ . . . + xn
2!
3!
Diese Reihe haben wir bereits im Kapitel 1 kennengelernt, sie heißt Binomialreihe. Der
Faktor vor xk
n(n − 1)(n − 2) . . . (n − k + 1) k
x
k!
ist der Binomialkoeffizient und wird
n
k
=
n(n − 1)(n − 2) . . . (n − k + 1) k
n!
x =
k!
k!(n − k)!
5
geschrieben. Der Binomialkoeffizient hat eine wichtige Rolle in der Kombinatorik (Kapitel
8).
In einer allgemeineren Form lautet die Binomialreihe
n X
n
n
xk y n−k .
(x + y) =
k
k=0
Dies ist der sogenannte Binomische Satz, der für alle reellen Zahlen x, y und alle natürlichen Zahlen n gilt. Die Werte der Binomialkoeffizienten bilden dabei jeweils eine Zeile im
Pascalschen Dreieck.
n=0
1
2
3
4
5
1
1
1
1
2
1
1
1
3
1
3
4
6
5
10
1
4
1
10
5
1
Differenzenmethode
Die Summation läßt sich mitunter durch einen weiteren Trick vereinfachen. Dies verdeutlicht das folgende Beispiel:
Sn =
n
X
k=1
1
1
1
1
=
+
+...+
.
k(k + 1)
1·2 2·3
n(n + 1)
Den allgemeinen Term der Summe können wir, wenn wir ihn uns etwas näher anschauen,
in eine Differenz von zwei Termen umformen
1
1
1
= −
.
k(k + 1)
k k+1
Sn ist also gleich einer Differenz von zwei Teilsummen
n
X
k=1
X1 X 1
1
=
−
.
k(k + 1) k=1 k k=1 k + 1
n
n
Weiter ist erkennbar, daß nur der erste Term der ersten Summe und der letzte Term der
zweiten Summe übrigbleiben, alle anderen heben sich gegenseitig weg. Daher gilt
n
X
k=1
1
1
n
=1−
=
.
k(k + 1)
n+1
n+1
6
Auf diesem Weg ist es oft möglich, die Summe einer Reihe zu berechnen. Voraussetzung
ist, daß der allgemeine Term ak sich als Differenz zweier Terme zu um eins verschiedenen
Indizes schreiben läßt:
ak = bk − bk−1 .
Dann gilt
n
X
ak =
k=1
n
X
bk −
k=1
n
X
bk−1
k=1
= (b1 + b2 + . . . + bn−1 + bn ) − (b0 + b1 + . . . + bn−1 )
= bn − b0
Unendliche Reihen – Konvergenzkriterien
Betrachten wir zunächst die harmonische Reihe
S =1+
1 1 1
+ + +...
2 3 4
Auf den ersten Blick mag es so scheinen, als ob die Reihe konvergiert, da die Reihenglieder
ja immer kleiner werden. Um die Frage nach der Konvergenz beantworten zu können,
zerlegen wir die Reihe in eine Summe von Partialsummen
1
1 1
1 1 1 1
1
1
S = 1+ +
+
+
+ + +
+
+...+
+...
2
3 4
5 6 7 8
9
16
1
= 1 + + s1 + s2 + s3 + . . .
2
Jede Partialsumme sn enthält 2n Terme, die alle grösser oder gleich 1/2n+1 sind. Daraus
folgt, daß für jede Partialsumme
sn ≥ 2n ·
1
2n+1
=
1
2
gilt. Damit ist die Summe der Partialsummen
S ≥1+
1 1 1 1
+ + + +...
2 2 2 2
also die Reihe divergent.
Wie können wir allgemein feststellen, ob die Folge der Partialsummen konvergiert, eine
Reihe also einen Grenzwert für n gegen unendlich besitzt?
Eine notwendige Bedingung für die Konvergenz einer Reihe
7
∞
X
ak = a1 + a2 + . . .
r=1
ist, daß die Folge {ak } der Reihenglieder gegen 0 konvergiert:
ai → 0 für r → ∞
Ist diese Bedingung erfüllt, so müssen wir im nächsten Schritt die Konvergenz der Reihe
durch Anwendung eines von mehreren Tests prüfen, da nicht alle Reihen, für die obige
Bedingung gilt, unbedingt konvergent sind (siehe harmonische Reihe). Erfüllt eine Reihe die
Kriterien eines dieser Tests, so ist dies eine hinreichende Bedingung für ihre Konvergenz.
Test durch Vergleich (Majoranten und Minorantenkriterium)
Zur harmonischen Reihe können wir eine zweite Reihen schreiben, deren Terme jeweils
kleiner gleich den Termen der harmonischen Reihe sind:
1 +
1
2
+
1 +
1
2
+
1 +
1
2
+
1
3
+
1
4
+
1
4
+
1
4
+
| {z
}
↓
1
2
1
5
+
1
8
+
↓
1
6
+
1
8
+
↓
|
1
7
+
1
8
+
1
8
1
8
↓
+
+
1
16
+ ...
↓
+ ...
+
1
2
+ ...
↓
{z
1
2
+
}
1
9
Da die untere Reihe divergiert, muß auch die harmonische Reihe divergieren.
Allgemein konstruieren wir uns zur betrachteten Reihe A = a1 + a2 + a3 + . . . eine zweite
Reihe B = b1 + b2 + b3 + . . . so, daß für alle i gilt: ai ≤ bi . B ist dann eine Majorante zu A.
Konvergiert die Reihe B so gilt, daß auch die Reihe A konvergiert. Andersherum können
wir B auch so konstruieren, das für alle i gilt: ai ≥ bi . B ist dann eine Minorante zu A.
Divergiert die Reihe B so muß auch A divergieren.
Quotientenkriterium von D’Alembert:
P
Eine Reihe ∞
k=1 ak
konvergiert, wenn
an+1 < 1.
lim
n→∞ an 8
Sie divergiert, wenn
an+1 > 1.
lim
n→∞ an Wurzelkriterium von Cauchy:
Eine Reihe
P∞
k=1 ak
konvergiert, wenn
lim
p
n
|an| < 1.
n→∞
Sie divergiert, wenn
lim
p
n
n→∞
Auf die harmonische Reihe
P∞
1
k=1 k
|an| > 1.
angewandt ergibt das Quotientenkriterium:
n
=1
n→∞ n + 1
lim
Das Wurzelkriterium liefert ebenfalls 1:
r
lim
n
n→∞
1
1
= lim √
=1
n
n→∞
n
n
Beide Konvergenzkriterien sind nicht erfüllt, d. h. wir müssen die Konvergenzeigenschaften
auf eine andere Weise bestimmen (zum Beispiel durch die Vergleichsmethode, siehe oben).
Betrachten wir noch eine weitere Reihe
∞
X
1
1
1
1
= 1 + + + +... .
k!
1! 2! 3!
k=0
Zunächst ermitteln wir den Grenzwert der Folge der Reihenglieder:
1
=0
n→∞ n!
lim
Die Reihe erfüllt also die notwendige Bedingung für Konvergenz. Im zweiten Schritt wenden
wir das Quotientenkriterium an (enthalten die Reihenglieder Fakultäten, ist dies meist
ratsam):
n!
1
lim
= lim
=0<1
n→∞ (n + 1)!
n→∞ 1 + n
P
1
Die Reihe ∞
k=1 k! ist somit konvergent. Ihre Summe
ist gleich der Zahl e = 2, 71828 . . . , .
9
Die sogenannte Leibnitz-Reihe
∞
X
1
(−1)k−1
k
k=1
ist die alternierende harmonische Reihe. Zur Beurteilung der Konvergenz können wir das
Leibnitz-Kriterium für alternierende
Reihen anwenden: Hinreichend für die Konvergenz
P
k−1
(−1)
ak mit ak > 0 ist
einer alternierenden Reihe ∞
k=1
lim ak = 0 und ak ≥ ak+1
k→∞
für alle k.
Für unser Beispiel gilt
1
1
1
= 0 und ak = ≥
= ak+1
n→∞ n
k
k+1
lim
Daher ist die alternierende harmonische Reihe konvergent.
Regeln für das Rechnen mit Reihen
Es stellt sich mitunter die Frage, wie sich das Konvergenzverhalten einer Reihe ändert,
wenn wir die Reihe manipulieren. Multiplizieren wir z. B. alle Glieder einer Reihe mit
einem Faktor c so ändert sich das Konvergenzverhalten der Reihe nicht, und es gilt nach
den Rechenregeln für Summen:
∞
X
c · ak = c
k=1
∞
X
ak = c · S.
k=1
Haben wir zwei konvergente
Reihen,Pso können wir sie gliedweise subtrahieren oder addieP
ren. Ist also S = ∞
u
und
T = ∞
k=1 k
k=1 vk , so erhalten wir
∞
X
uk ±
k=1
∞
X
∞
X
vk =
(uk ± vk ) = S ± T
k=1
k=1
Für eine weitere Regel müssen wir zunächst den
der absoluten Konvergenz
PBegriff
∞
kennen lernen. Absolut konvergent
ist eine Reihe k=1 ak , wenn die aus den Beträgen der
P∞
GliederP
gebildete Reihe k=1 |ak | konvergent ist. Ist dagegen die Reihe selbst konvergent,
jedoch ∞
k=1 |ak | divergent, so heißt die Reihe bedingt konvergent.
Haben wir zwei absolut konvergente Reihen, so können wir sie wie zwei Polynome miteinander multiplizieren und wir erhalten wieder eine konvergente Reihe. Sind
S=
∞
X
uk
und T =
k=1
∞
X
k=1
10
vk
absolut konvergent, so gilt:
W =
∞
X
wk = S T
i=k
mit
wk = uk v1 + uk v2 + uk v3 + . . . .
Ausserdem gilt für absolut konvergente Reihen, daß sich die Summe der Reihe bei beliebigen Vertauschungen der Reihenfolge der Glieder nicht ändert. Dagegen kann die Summe
einer bedingt konvergenten Reihe durch geeignete Umstellung der Summenglieder jeden
beliebigen Wert annehmen (Riemannscher Unordnungssatz).
german,epsfig
Zufallsfolgen
Wir betrachten nun den Fall von Zahlenfolgen, die im strengen Sinn der Definition eigentlich keine Zahlenfolgen sind. Dafür zunächst ein Beispiel. Wir werfen einen Würfel N-mal
und schreiben die N Augenzahlen als Zahlenfolge“:
”
rn = 2, 5, 6, 1, 3, 4, . . . , 3
|
{z
}
N −W erte
Da beim Würfeln die Augenzahl nicht vorhersagbar ist, also zufällig einen der Werte 1,. . . ,6
annimmt, bezeichnen wir rn als Zufallsfolge. Also folgt: •rn+1 ist nicht aus rk mit k ≤ n
ableitbar! Anders ausgedrückt: Für die Zahlenfolge rn existiert kein Bildungsgesetz. Folglich ist rn im streng mathematischen Sinne keine Zahlenfolge. Dennoch ist es üblich, solche Folgen zufälliger Zahlen als Zufallsfolgen zu bezeichnen. Dies ist erlaubt, wenn wir
den eingangs erwähnten Begriff Bildungsgesetz“durch Bildungsprozeß“ersetzen. Bei der
”
”
arithmetischen Folge lautet das Bildungsgesetz
an = an−1 + d
der entsprechende Bildungsprozeß ist die Aktion Nimm an−1 und addiere d um an zu
”
erhalten.“. In diesem Sinne ist dann auch rn eine Zahlenfolge, denn es existiert der Bildungsprozeß Notiere die Augenzahl des n-ten Wurfes des Würfels und setze sie gleich rn“.
”
Allgemein sagen wir: Ein Zufallsprozeß ergibt eine Zufallsfolge. Der Würfel ist ein spezielles Beispiel für reguläre Polyeder, d.h. Körper, die durch kongruente reguläre Vielecke
begrenzt sind und kongruente reguläre Ecken besitzen. Der Zufallsprozeß mit z.B. einem
Dodekaeder liefert also eine Zufallsfolge der Zahlen 1, 2, . . . , 11, 12.
Eigenschaften von Zufallsfolgen
• Mittelwert
Schätzwert: µN
N
1 X
=
aN
N n+1
11
1
(N1 · 1 + N2 · 2 + . . . + N6 · 6)
N

6
 Häufigkeit
X
Nk
Augenzahl k
=
·k =

N
k=1
hk (N) := NNk
=
⇒
µN =
6
X
hk (N)k
k=1
Es gilt
6
X
hk (N) = 1 =
k=1
N
N
da
X
Nk = N
k
Für die Mittelwerte der ersten 3, 4, 5 Würfe ergibt sich:
1
13
(2 + 5 + 6) =
= 4, 3
3
3
1
14
=
(13 + 1) =
= 3, 5
4
4
1
17
=
(14 + 3) =
= 3, 4
5
5
..
.
µ3 =
µ4
µ5
Für N → ∞ erhalten wir
µ := lim µN
N →∞
6
X
pk · k
k=1
Dabei steht pk für die Wahrscheinlichekit der Augenzahl k und ist wie folgt definiert:
pk = lim hk (N)
N →∞
Für einen idealen Würfel gilt, daß alle Seiten gleichwahrscheinlich sind, pk für alle
Augenzahlen also gleich groß ist!
pk =
1
1
⇒µ =
(1 + . . . + 6)
6
6
21
=
= 3, 5
6
• Verteilung Tragen wir die Werte von pk über k auf, zum Beispiel als Strichdiagramm, so erhalten wir daraus ein sogenanntes Histogramm.
12
An der Form des Histogramms erkennen wir, daß im Falle des idealen Würfels eine
sogenannte Gleichverteilung vorliegt, also alle Augenzahlen gleichhäufig auftreten.
Verwenden wir einen gezinkten Würfel, bei dem zum Beispiel der Schwerpunkt nahe
der 6 liegt und daher die 1 öfter auftritt als die anderen Zahlen, so entsteht:

p1 = 14
 X
1
p2 = p3 = p4 = p5 = 6
pk = 1

1
p6 = 12
Tragen wir wieder die Wahrscheinlichkeit auf, so ergibt sich das folgende Histogramm:
Anwendung von Zufallsfolgen
Zufallsfolgen finden heute vielfältige Anwendungen, zum Beispiel bei Rechnungen zur Simulation natürlicher Prozesse. Ein einfaches Beispiel ist die Ermittlung der Zahl π. Dafür
verwenden wir einen Zufallsprozeß, der eine Folge gleich verteilter reeller Zufallszahlen
rn ∈ [0, 1] erzeugt. Aus 2Nrn -Werten konstruieren wir x,y-Koordinaten gemäß
xm = r2m−1
ym = r2m
m = 1, 2, . . . , N
und zeichnen die N-Wertepaare (xm , ym ) als Punkte m in einem x,y-Koordinatensystem:
13
Dann zeichnen wir mit einem Zirkel den Viertelkreis in das Begrenzungsquadrat mit den
Ecken (0,0), (0,1) und (1,1) ein. Die Zahl der Punkte Nv im Viertelkreis ist proportional
2
der Fläche πr4 = π4 (da r = 1), also Nv = α( π4 ), entsprechend gilt für die Gesamtzahl der
Punkte N = α · 1 · 1 = α. Also folgt NNv = π4 oder π = 4 · ( NNv ). Für N = 10.000 erhält man
so den Näherungswert 3,1356. Die Genauigkeit der Methode ist proportional √1N . Diese
π-Bestimmung ist eines von vielen Beispielen einer Verfahrensweise, die als Monte-CarloMethode bezeichnet wird.
Autokorrelation einer Zufallsfolge
Die beschriebene π-Bestimmung funktioniert nur dann korrekt, wenn eine echte Zufallsfolge
{rn } vorliegt. Dies ist bei einer gegebenen Zahlenfolge {xn } nicht ohne weiters erkennbar.
Hier hilft die sogenannte Autokorrelation der Folge {xn }, n = 1, 2, . . . , N, die definiert ist
durch:
N0
1 X
ρm := 0
xn · xn + m m = 0, 1, 2, . . . , M
N n=1
Damit alle ρm -Werte gleiche Mittelungsgenauigkeitenbesitzen, muß N’=N-M gewählt werden. Hohe Genauigkeit bedingt M N, d.h. ρm kann nur für kleine Werte der maximalen
Verschiebungszahl M bestimmt werden. Die Autokorrelation einer Zufallsfolge wird wie
folgt berechnet:
• 1. Schritt: Mittelwert abziehen
xn = 2, 5, 6, 1, 3, 4 N = 6
bn = xn − 3, 5
3 3 5 5 1 1
{bn } = {− , , , − , − , }
2 2 2 2 2 2
Die Wahrscheinlichkeiten pk bleiben gleich für k − 3, 5. Für den idealen Würfel sieht
das Histogramm nach dem ersten Schritt so aus:
14
• 2. Schritt: Produkte mitteln
1
(b1 b1 + b2 b2 + . . .) =
4
1
=
(b1 b2 + b2 b3 + . . .) =
4
1
=
(b1 b3 + b2 b4 + . . .) =
4
ρ0 =
ρ1
ρ3
11
68
17
(9 + 9 + 25 + 25) =
=
44
16
4
11
14
(−9 + 15 − 25 + 5) = −
44
16
40
11
(−15 − 15 − 5 − 5) = −
44
16
Für N 0 → ∞ besitzt die Autokorrelation einer echten Zufallsfolge folgende Werte:
>0 m=0
ρm =
0 m 6= 0
Das Beispiel zeigt, daß wesentlich mehr als vier Mitteilungen erforderlich sind, um diese
Werte für den Würfel zu erhalten.
15
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Zahlenfolgen und Reihen