Unendliche Reihen mit konst. Gliedern

Unendliche Reihen
Einführung:
Sei a 1 , a 2 , a3 ,... , a n ,... eine unendliche Zahlenfolge.
Die aus ihnen gebildete Summe
∞
a 1a2 a 3...a n...=∑ a n nennt man unendliche
n=1
Reihe.
Der Summenindex durchläuft die Werte von 1 bis ∞ .
A1=a1
A2 =a 1a 2
A3=a1 a 2a3
…
An =a 1a 2...a n
…
Die unendlich vielen Summen heißen Partialsummen. Die Folge dieser Summen
bezeichnet man stets mit {An } . Der (endliche oder unendliche) Grenzwert A der
Partialsumme An ist
A=lim An mit n  ∞ . Der Grenzwert wird auch Wert der Reihe genannt.
∞
A=∑ a n
n=1
⇒ Frage nach der Konvergenz der Reihe.
Im Allgemeinen konvergiert eine Reihe wenn die Folge der Partialsummen einen endlichen
Grenzwert besitzt.
Positive Reihen:
a n0 ∀ n
Satz:
Eine Reihe mit positiven Gliedern ist konvergent, wenn die Folge der
Partialsummen {An } der Reihe eine obere Schranke hat.
Beispiele:
(1) Konvergenzbeweis der geometrischen Reihe:
∞
1qq2 q 3...q n=∑ q n
n=0
1−q
]
1−q
1−q 2 
1∗[
]
=
1−q
1−q 3
]
= 1∗[
1−q
A1=1
= 1∗[
A2 =1q
A3=1qq 2
…
An =1qq2q3 ...q n
1
qn
{An }=
−
1−q 1−q
= 1∗[
1−q n 
]
1−q
für n = 1,2,3, … ,
n∈ ℤ¿ ; n≥1
Obere Schranke existiert und ist
1
1−q
q = 0,1 ⇒ 1+0,1+0,01+0,001+... =
∞
1
∑  1−q 
für q < 1
1, 1 bzw.
1
1 10
=
= =1, 
1
1−0,1 0,9 9
für q < 1
n=0
(2) Unendliche Reihe für die Zahl e
∞
1 1 1
1
1
e=1   ... ...=1∑  
1! 2! 3!
n!
n=1 n!
⇒ Zur Untersuchung der Konvergenz gibt es eine Reihe von Kriterien die eine
schnelle Entscheidung ermöglichen.
Majoranten-/ Minorantenkriterium
Vergleich einer Reihe mit einer zweiten Reihe (X), deren Konvergenz/Divergenz
bereits bekannt ist.
Majorante: Sind die einzelnen Glieder der Partialsummenfolge der Reihe kleiner als die
der Majorante, deren Konvergenz bekannt ist, so konvergiert sie.
Minorante: Sind die einzelnen Glieder der Partialsummenfolge der Reihe größer als die
der Minorante, deren Divergenz bekannt ist, so divergiert sie.
Quotientenkriterium von d`Alembert
a n1
an
für hinreichend große n die Ungleichung Dn ≥q wobei q eine konstante Zahl mit
0<q<1 ist, so konvergiert die Reihe (A);
ist für alle n > N ; D n ≥1 , so ist (A) divergent.
 Kriterium basiert auf Vergleich mit geometrischer Reihe als Majorante.
Erfüllt die Folge der aus den Gliedern der Reihe (A) gebildeten Zahlen
Dn =
Beispiel 1:
Dn =
geometrische Reihe
Beispiel 2:
∞
1
1
1
1
a∗q n1
=q für 0 < q < 1
a∗q n
1
1
∑  n! =1 2  6  24  120 ... n! =e
n=1
1
1
∗n!=
n1!
n1
1
lim  n  ∞ 
=0
 n1
⇒ Das Kriterium entscheidet über die Konvergenz, nicht über das Resultat!
Dn =
∞
Beispiel 3:
1
1
1
n=1
Dn =
1
∑  n =1 2  3  4
n
n1
lim  n  ∞ 
harmonische Reihe
n
=1
 n1
⇒ divergente Reihe
⇒ Das d´Alembert Kriterium allein entscheidet nicht über Divergenz. Zur Not
müssen andere Kriterien herangezogen werden.
Alternierende Reihen
Satz:
Wenn die Glieder einer alternierenden Reihe ihrem Betrag nach monoton
abnehmen
( a n 1 a n für n > 1,2,3...) ¹ und gegen Null streben ( lim a n=0 ) dann
konvergiert die Reihe.
(Satz von Leibniz)
Beweis:
A 2m=a1 −a 2  a3−a 4 −...−a 2m−1−a 2m 
Da aus ¹ folgt, dass jede Klammer positiv ist, wächst offenbar die Summe A2m mit
wachsendem m.
A2m Ist nach oben beschränkt. Dies erklärt sich, wenn man die Gleichung von
A2m in die Form
A2m=a1 −a 2 −a 3−...−a  2m− 2−a 2m−1 −a 2m bringt.
=> A2m  A1
Diese Partialsumme hat, nach dem Satz über monotone Zahlenfolgen einen
endlichen Grenzwert für m ∞
lim  m ∞ A2m = A
Betrachten wir nun die Partialsumme A 2m−1  mit einer ungeraden Anzahl von
Gliedern, so sehen wir, dass vermutlich A 2m−1 =A2m −a2m gilt.
Da das allg. Glied gegen Null strebt, gilt:
lim  m ∞ A2m−1= A
Demnach ist A die Summe der gegebenen Reihe.
Beispiele für alternierende Reihen
B1
∞
−1 n−1
1 1
 n−1 1
=1−  −...−1
(a) ∑ 
n
2 3
n
n=1
(b)
∞
∑
n=1
−1 n−1
1 1
1
=1−  −...−1 n−1
...
2n−1
3 5
2n−1
Aus dem bewiesenen Satz folgt die Konvergenz der Reihen.
Die absoluten Beträge der Glieder der Reihe divergieren jedoch.
Für (a) ist dies die harmonische Reihe und für (b) entwickelt sich folgende Reihe:
1 1
1
1  ...
...
3 5
2n−1
(a) und (b) sind damit erste Beispiele für nicht absolut konvergente Reihen.
B2
Nach Leibniz konvergieren die Reihen:
∞
∞
−1n
−1n −1 



 (c)
(a) ∑
(b) ∑

n
n=1
n=2 n ln n
∞
∑
n=3
−1 n−1 


n ln n n ln ln n 
0
Ersetzt man alle Glieder durch ihre absoluten Beträge so erhält man bekanntlich für
1 konvergente und für ≤1 divergente Reihen.
Daraus folgt, dass die Reihen von denen wir ausgehen für 1 absolut
konvergent und für ≤1 nicht-absolut konvergent sind.
B3
∞
Betrachtet man die Reihe
∑ −1n sin  nx 
n=1
für beliebige
x≠0 so können wir den
Satz von Leibniz zwar nicht auf die Reihe selbst doch aber auf einen gewissen
x
Rest von dieser
anwenden. Nun besitzt sin  dasselbe Vorzeichen wie x (für
n
x
hinreichend groß gewählte n) und der Betrag von sin  nimmt mit
n
wachsendem n ab.
Daraus folgt, dass die Reihe konvergiert und das nicht-absolut.
B4
Im Satz von Leibniz wird gefordert, dass die Zahlen c n monoton abnehmen.
Um dies zu beweisen betrachtet man die alternierende Reihe
1
1
1
1
1
1
−

−
...
−
...
  2−1   21   3−1   31
 n−1    n1
Das allgemeine Glied dieser Reihe strebt gegen 0.
Die Summe der ersten 2n Glieder der Reihe ist gleich und strebt mit n gegen ∞
d.h. die Reihe divergiert.
n 1
n1
k =2
k=2
2
=2H n
∑   k1−1 −   2k11 =∑   k −1
Man kann leicht nachprüfen, dass beim Übergang von dem Glied
1
die Monotonie gestört ist.
   n1−1
Dem gleichen Zweck kann auch diese divergente Reihe dienen:
zu dem Glied
−1 n−1 1
∑   n  n 
n=1

∞
−1
   n1