n - Mathematik, TU Dortmund

Klausurtraining HöMa 1
Blatt 11
Wiederholung:
Wiederholungsaufgabe 1l
t−1 t−2
2
~
Sei t ∈ R, A =
und b =
.
t
t−1
t
Für welche t ∈ R ist A~x = ~b lösbar? Geben Sie ggf. die Lösung an.
Wiederholungsaufgabe 2l


−4 6 −18
Bestimmen Sie Eigenwerte und -vektoren von A =  −2 3 −12 .
0 0 −3
Themen: Reihen
Aufgaben:
Aufgabe 1l
Untersuchen Sie folgende Reihen auf Konvergenz:
∞
(i) ∑ an mit an
n =1
 n
x


 4n , n gerade
=
n


 x , n ungerade
n4
∞
(ii) ∑ (1 + (−1)n )n
n =1
Aufgabe 2l
Untersuchen Sie folgende Reihen auf Konvergenz:
∞
(i) ∑
n =1
∞
(ii) ∑
n =1
∞
(iii) ∑
n =2
1
n + ln n
1
(n + ln n)2
cos nπ
ln n
Aufgabe 3l
Untersuchen Sie folgende Reihen auf Konvergenz:
∞
(i) ∑
n =1
∞
(ii) ∑
n =1
1
(n + sin n)n
2n n n
(n!)2
Aufgabe 4l
Untersuchen Sie folgende Reihen auf Konvergenz und absolute Konvergenz:
∞
(i) ∑
n =1
∞
(ii) ∑
n =1
sin n1
n
sin n
n2
∞
(iii) Für welche reellen Zahlen x konvergiert ∑
n =1
2nx
?
4n
Berechnen Sie ggf. den Wert dieser Reihe.
Aufgabe 5l
Untersuchen Sie die folgenden Reihen auf Konvergenz und absolute Konvergenz:
∞
∞
3n + 1
n!
(i) ∑ (−1)n 2
(iv) ∑ (−1)n n
4n + 1
n
n =1
n =1
∞ (−1)n
∞
3n + 5 2n
(v) ∑ √
(ii) ∑
n
4n + 2
n =1
n4
n =1
∞
(iii) ∑
n =1
∞
(−1)n
(vi) ∑ √
3
n2 + 4n
n =1
(2n)n
(2n)!
Aufgabe 6l
∞
Bestimmen Sie ∑
4n2
n =1
1
.
+ 8n + 3
Hinweis: Man schreibe den Summanden in der Form
a
b
+
.
2n + 1
2n + 3
Aufgabe 7l
∞
Berechnen Sie ∑
n =1
n−1
.
n!
Aufgabe 8l
Untersuchen Sie, für welche z ∈ C die folgenden Reihen konvergieren bzw. absolut konvergieren:
∞
(i)
∑
1
2
+ (−1)n+1
n2
n =1
∞
(ii)
∑
n =1
n
zn ,
(−1)n−1 z n
,
n
3z + 8
∞
(iii) ∑ (−4)n z2n
n =1
∞
(iv)
∑
n =1
zn!
.
n
Aufgabe 9l
∞
(i) Für welche x ∈ R konvergiert ∑ 2−n n x ?
n =1
(ii) Sei an =
42n
. Beweisen Sie die Konvergenz von ( an ) und bestimmen Sie den Grenzwert.
n!
∞
(iii) Konvergiert
∑
n =1
(sin n + n)2
?
(cos n − n)4