technische universität münchen - Mathematische Physik

TECHNISCHE UNIVERSITÄT MÜNCHEN
Zentrum Mathematik
Prof. Dr. M. Keyl
M. Kech
Mathematik für Physiker 2
(Analysis 1) MA9202
Wintersem. 2015/16
Blatt 6
(19.11.2015)
http://www-m5.ma.tum.de/Allgemeines/MA9202 2015W
Zentralübung
Z6.1. p-adische Brüche
Sei p ∈ N, p ≥ 2. Zur Folge (di )i∈{−N,−N +1,... } mit di ∈ {0, 1, . . . , p − 1} heißt
∞
X
di
(d−N · · · d−1 d0 .d1 d2 · · · )p :=
=c∈R
pi
i=−N
die p-adische Form von c. Periodizität hinter dem “Dezimalpunkt” wird durch einen
Überstrich angezeigt, d.h,
(d−N · · · d0 .d1 · · · dk dk+1 · · · dn )p = (d−N · · · d0 .d1 · · · dk dk+1 · · · dn dk+1 · · · dn · · · )p ,
Periode Null muss nicht notiert werden, (d−N · · · d0 .d1 · · · dk )p := (d−N · · · d0 .d1 · · · dk 0)p .
Zeigen Sie, dass (0.d1 · · · dk )p eine rationale Zahl ist.
Z6.2. Konvergenzkriterien
Diskutieren Sie (absolute) Konvergenz der folgenden Reihen
(a)
∞
P
(b)
n=0
∞
P
n=1
1
n! ,
(c)
∞
P
n!
nn ,
(d)
n=1
∞
P
2
(1 − n1 )n ,
(e)
∞
P
n=0
n−5
.
n2 +20n+10
(1 − n1 )n−1 ,
n=1
Z6.3. Konvergenz der Riemannschen Zeta-Funktion
Man zeige: Die Riemannsche Zeta-Funktion
∞
X
1
ζ(s) :=
ns
n=1
ist für s ∈ R, s > 1, absolut konvergent.
Hinweis: Man spalte die Summe jeweils vor n = 2, 4, 8, 16, . . . auf.
Z6.4. Umordnung der alternierenden harmonischen Reihe
∞
P
(−1)n+1
Zeigen Sie: es gibt eine Umordnung der Reihe
, die gegen 42 konvergiert.
n
n=1
Tutoraufgaben
T6.1. Wurzelkriterium
(a) lim sup
n→∞
∞
p
P
n
|an | < 1 =⇒
an konvergiert absolut.
n=0
∞
p
P
(b) lim sup n |an | > 1 =⇒
an ist divergent.
n→∞
n=0
(c) Man gebe je ein Beispiel für eine absolut konvergente, eine konvergente, aber nicht
∞
p
P
absolut konvergente und eine divergente Reihe
an an mit lim sup n |an | = 1.
n→∞
n=0
T6.2. Konvergenz
Untersuchen Sie die folgenden Reihen auf (absolute) Konvergenz.
∞
X
(−1)n
(a)
n=0
(b)
2n−1
∞
X
2 + (−1)n
2n−1
n=1
∞
X
(c)
1
(2n − 1)(2n + 1)
n=1
T6.3. Schwarzsche Ungleichung
(a) Seien {ak , bk | k = 1, ..., n} komplexe Zahlen. Zeigen Sie, dass
n
X
|ak bk | ≤
k=1
n
X
!1/2
|ak |2
k=1
n
X
!1/2
|bk |2
.
k=1
(b) Seien (an ) und (bn ) absolut quadratsummierbare, komplexwertige Folgen. Zeigen Sie,
dass dann die Produktfolge (an bn ) absolut summierbar ist und dass die Schwarzsche
Ungleichung gilt,
∞
X
|an bn | ≤
n=1
∞
X
!1/2
|an |2
n=1
∞
X
!1/2
|bn |2
.
n=1
Hinweis:
Eine komplexe Folge (an ) heißt absolut quadratsummierbar, wenn die Reihe
P∞
2 konvergiert.
|a
|
n=1 n
Hausaufgaben
H6.1. Konvergenz von Reihen
Untersuchen Sie die folgenden Reihen auf (absolute) Konvergenz.
(a)
∞
X
n=2
1
3n−1
(b)
∞
X
n=1
n
4n2 − 3
(c)
∞
X
(−1)n−1 2n
n=2
n2
(d
∞
X
n=1
H6.2. p-adische Brüche
Man schreibe
(a)
1 1
9 , 11
als Dezimalbruch,
(b) 0.0625, 0.13, 0.19 als gekürzte Brüche,
(c)
1
7
2
n4 e−n
im Dual-, Ternär-, Septal-, Oktal- und Dezimalsystem (p = 2, 3, 7, 8, 10).
H6.3. Minkowski Ungleichung
(a) Seien {ak , bk | k = 1, ..., n} komplexe Zahlen. Zeigen Sie, dass
n
X
!1/2
|ak + bk |2
≤
k=1
n
X
!1/2
|ak |2
+
k=1
n
X
!1/2
|bk |2
.
k=1
Hinweis: Benutzen Sie die Schwarzsche Ungleichung aus Aufgabe T6.3.
(b) Seien (an ) und (bn ) absolut quadratsummierbare, komplexwertige Folgen. Zeigen Sie,
dass dann auch die Folge (an + bn ) absolut quadratsummierbar ist und dass die Minkowskische Ungleichung gilt,
∞
X
n=1
!1/2
|an + bn |2
≤
∞
X
n=1
!1/2
|an |2
+
∞
X
!1/2
|bn |2
n=1
Hausaufgabenabgabe: Mittwoch, 02.12.2015, zu Beginn der Vorlesung
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