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© R. Plato
Teil II Analysis 1
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.
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...
...
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...................
auf Konvergenz untersucht werden. Man berechnet
hierzu Folgendes:
c
c4
c3
c2
0:9
an D
D
c1
0:3
6n3
2n2 C n
4
2n3 C 3n
n3 .6
2= n C 1= n2
4= n3 /
n3 . 2 C 3= n2 /
!
6
2
D
3 für n ! 1:
b) Nun betrachten wir die Folge
.....................
1:5
2
an D
. 1/n n2 C 1
;
n2 C 1
n 0:
Abb. 12: Illustration zur Konvergenz einer Folge in C
Hier gilt
so gilt c D d .
d) Man spricht bei der Folge .cn /nn0 von einer Nullfolge, falls c D 0 gilt.
M
an D . 1/n
an D
n
a2n D
;
n D 1; 2; : : :
a2nC1 D
ist eine Nullfolge. Um das einzusehen, wählt man zu
" > 0 beliebig eine Zahl n" 2 N mit n" > 1=". Dann gilt
jan
0j D
1
n
1
n"
< " für n n" :
M
Satz 14.4 (Rechenregeln für konvergente Folgen). Für
zwei Folgen .cn /nn0 und .dn /nn0 komplexer Zahlen
und ˛ 2 C gelten die folgenden Implikationen (jeweils
für n ! 1):
a)
b)
c)
d)
cn ! c; dn ! d ÷ cn ˙ dn ! c ˙ d ,
cn ! c ÷ ˛cn ! ˛c ,
cn ! c; dn ! d ÷ cn dn ! cd ,
c
c
cn ! c; dn ! d; d ¤ 0 ÷ n ! .
dn
˛
d
! 0 für n ! 1;
wobei k 2 N und ˛ 2 R fest gewählt sind.
M
Definition 14.5. Eine Folge .cn /nn0 komplexer Zahlen
nennt man divergent, falls sie nicht konvergiert.
Beispiel. a) Es soll die Folge
an D
6n3
2n2 C n
2n3 C 3n
4
;
n 1;
n2 .1 C . 1/n = n2 /
n2 .1 C 1= n2 /
1 C 1= 4n2
1 C 1= 4n2
1
! 1;
1= .2n C 1/2
1 C 1= .2n C 1/2
! 1 für n ! 1:
Eine Teilfolge von .an /n0 konvergiert demnach gegen
die Zahl 1, eine andere Teilfolge gegen 1. Die Folge
.an /n0 ist also divergent.
M
14.2 Monotonie und Beschränktheit von
Folgen
Wir stellen in diesem Abschnitt eine spezielle Klasse
von konvergenten Folgen vor,
Definition 14.6. Eine Folge reeller Zahlen .an /nn0
heißt
Beispiel. Aus Beispiel 14.3 und Satz 14.4 erhält man
z. B. unmittelbar n12 ! 0 und n13 ! 0 jeweils für n !
1 und allgemeiner
nk
D . 1/n
und damit
Beispiel 14.3. Die Folge
1
n2 C . 1/n
n2 C 1
a) monoton wachsend, falls anC1 an für jedes n n0 gilt,
b) monoton fallend, falls anC1 an für jedes n n0
gilt.
Monotones Wachstum einer reellen Zahlenfolge .an /n
ist in Abbildung 13 illustriert. Dort sind die ersten 13
Folgenglieder a1 ; a2 ; : : : ; a13 über den Indizes 1; 2; : : : ;
13 abgetragen.
Beispiel. Es ist die Folge an D n .n 0/ monoton
wachsend. Die Folge an D n1 .n 1/ ist monoton fallend.
Definition 14.7. Eine Folge reeller Zahlen .an /nn0
heißt
© R. Plato
Kapitel 14 Folgen
1
0
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...
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...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
....
a2
a3
11
10
9
8
7
6
5
4
3
2
1
a a11 a12 a13
a7 a8 a9 10 a
6
a4 a5 a1
.........................
n
......
.......
...
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a11
a10
a9
a8
a7
a6
a5
a4
a3
a2
a1
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13
......................
n
1 2 3 4 5 6 7 8 9 1011
Abb. 13: Illustration zum monotonen Wachstum einer Folge
Abb. 15: Darstellung der Folge an D n für n 1.
a) nach oben beschränkt, falls es eine Zahl 2 R gibt,
für die an für alle n gilt,
Hier sind zwei – oft leicht zu überprüfende – hinreichende Kriterien für die Konvergenz von Folgen:
b) nach unten beschränkt, falls es eine Zahl 2 R
gibt, für die an für alle n gilt,
Satz 14.8. Eine Folge konvergiert, falls sie
c) beschränkt, falls sie sowohl nach oben als auch
nach unten beschränkt ist,
d) unbeschränkt, falls sie nicht beschränkt ist.
Im Fall a) heißt jede Zahl 2 R, die die angegebene Ungleichung erfüllt, obere Schranke der Folge, im Fall b)
nennt man entsprechend jede solche Zahl 2 R untere
Schranke der Folge.
Beispiel. a) Es ist die Folge an D n .n 0/ nach unten
beschränkt. So gilt z. B. an 0 für jedes n. Es ist jede
Zahl 0 eine untere Schranke dieser Folge.
Dagegen ist diese Folge nicht nach oben beschränkt,
da es zu jeder reellen Zahl 2 R eine natürliche Zahl
n 2 N mit n gibt.
Die ersten 15 Folgenglieder a1 D 1; a2 D 2; : : : ;
a15 D 15 sind in Abbildung 15 dargestellt.
1
Zum Abschluss dieses Abschnitts betrachten wir Folgen, die gegen 1 oder 1 streben.
Definition 14.9. Sei .an /nn0 eine Folge reeller Zahlen.
a) Man schreibt
an ! 1 für n ! 1 oder
....
Abb. 14: Illustration zur Beschränktheit einer Folge
oder monoton fallend und nach unten beschränkt
ist.
14.3 Konvergenz gegen 1 oder
......
2......................................................................................................................................................
....
.
monoton wachsend und nach oben beschränkt ist,
Beweis. Wird hier nicht geführt.
Beschränkheit einer reellen Zahlenfolge .an /n ist in
Abbildung 14 illustriert. Dort sind die ersten 50
Folgenglieder a1 ; a2 ; : : : ; a50 einer beschränkten Folge
über den Indizes 1; 2; : : : ; 50 abgetragen. Eine untere
Schranke 1 und eine obere Schranke 2 sind jeweils
durch eine gestrichelte Linie dargestellt.
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.. .............................................
................................................
...........................................
..........................................................................................
...........................................
..................
...
...
...
...
1............................................................................................................................................................
.
.....
n
lim an D 1;
n!1
falls zu jedem 2 R ein n1 n0 existiert, sodass an für jedes n n1 gilt. Man sagt dann, dass die Folge
.an / gegen 1 konvergiert.
b) Analog schreibt man
an ! 1 für n ! 1 oder
lim an D
n!1
1;
falls zu jedem 2 R ein n1 n0 existiert, sodass an für jedes n n1 gilt. Man sagt in diesem Fall, dass
die Folge .an / gegen 1 konvergiert.
Bemerkung. Die Bezeichnung Konvergenz in Definition 14.9 ist einerseits naheliegend. Auf der anderen Seite ist das etwas irreführend, da solche Folgen im Sinne
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Teil II Analysis 1
der Definition 14.2 auf Seite 25 divergent sind. In der
Literatur findet man alternativ z. B. die Bezeichnungen
uneigentlich konvergent gegen 1 oder divergent gegen
1.
M
Beispiel. Für jedes r 2 N gilt nr ! 1 und
jeweils für n ! 1.
15
nr !
1
Beispiel 15.3 (Geometrische Reihe). Die unendliche
P1 n
Reihe
1 < q < 1 konvergent.
nD0 q ist für Werte
Für die Partialsummen gilt nämlich
r
X
Reihen
./ 1
qn D
1
q rC1
q
!
1
1
q
für r ! 1:
nD0
15.1 Einführung
Wichtige Funktionen wie z. B. die trigonometrischen
Funktionen Sinus und Cosinus oder die Exponentialfunktionen werden hier über Reihendarstellungen eingeführt. Es werden dafür im Folgenden die notwendigen Vorbereitungen getroffen.
Definition 15.1. Eine unendliche Reihe ist von der
Form
1
X
an
Man beachte, dass Definition 15.1 nur eine Bezeichnung liefert. Dem Term (15.1) ist noch kein Zahlwert
zugeordnet.
P1
Definition 15.2. a) Eine (unendliche) Reihe
nDn0 an
heißt konvergent, falls es eine Zahl s 2 C gibt, sodass
r
X
an ! s für r ! 1:
(15.2)
nDn0
gilt. Die Summen sr für r n0 nennt man Partialsummen der Reihe. Man schreibt dann
1
X
1
X
qn D
nD0
1
1
q
für
1 < q < 1:
M
Der folgende Satz liefert ein notwendiges Kriterium für
die Konvergenz einer Reihe, das wir hier ohne Beweis
angeben.
Satz 15.4. Ist die Reihe
an ! 0 für n ! 1.
mit komplexen Zahlen an0 ; an0 C1 ; : : : .
15.2 Konvergenz von Reihen
Dabei weist man die Identität ./ leicht mit vollständiger Induktion über r nach. Es gilt also
(15.1)
nDn0
sr D
Beispiel. Für die konstante Folge an D 1 .n P
1/ gilt
1
offenbar sr D r .r 1/. Die unendliche Reihe
nD1 1
ist also divergent.
M
P1
nDn0
an konvergent, so gilt
P1
n
Beispiel. Die unendliche Reihe
nD0 . 1/ ist divern
gent, da die Folge . 1/ divergent ist und damit erst
recht nicht gegen null konvergiert.
Die Aussage von Satz 15.4 lässt sich jedoch nicht umkehren.
Beispiel
P1 15.5 (Harmonische Reihe). Die unendliche Reihe nD1 n1 ist divergent (der Nachweis hierfür entfällt);
die Summanden bilden aber offensichtlich eine Nullfolge.
M
P1
Bei einer Reihe nDn0 an mit durchweg positiven Summanden an muss die Folge der Summanden „schnell
genug“ gegen null konvergieren, damit die betrachtete
Reihe konvergiert.
an D s:
nDn0
b) Eine unendliche Reihe heißt divergent, falls sie
nicht konvergent ist.
M
Es gilt also in (15.2) sr D an0 C an0 C1 C C ar für
r D n0 ; n0 C 1; : : : . Man nennt .sr / auch die Folge der
Partialsummen
zur Folge .an /. Es konvergiert die Reihe
P1
nDn0 an per Definition genau dann, wenn die Folge
der Partialsummen .sr / konvergiert.
15.3 Rechenregeln für konvergente Reihen
In diesem Abschnitt werden ohne Beweis einige elementare Rechenregeln für konvergente Reihen vorgestellt.
Auf die grundsätzliche Eigenschaft „Konvergenz beziehungsweise Divergenz“ einer Reihe hat das Verhalten von endlich vielen, beliebig ausgewählten Summanden keinen Einfluss:
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14.2 Monotonie und Beschränktheit von Folgen