14.2 Monotonie und Beschränktheit von Folgen
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26 © R. Plato Teil II Analysis 1 .... ......... .... ........... ..... ........ ... .. .... . .. ... ... .... ................... auf Konvergenz untersucht werden. Man berechnet hierzu Folgendes: c c4 c3 c2 0:9 an D D c1 0:3 6n3 2n2 C n 4 2n3 C 3n n3 .6 2= n C 1= n2 4= n3 / n3 . 2 C 3= n2 / ! 6 2 D 3 für n ! 1: b) Nun betrachten wir die Folge ..................... 1:5 2 an D . 1/n n2 C 1 ; n2 C 1 n 0: Abb. 12: Illustration zur Konvergenz einer Folge in C Hier gilt so gilt c D d . d) Man spricht bei der Folge .cn /nn0 von einer Nullfolge, falls c D 0 gilt. M an D . 1/n an D n a2n D ; n D 1; 2; : : : a2nC1 D ist eine Nullfolge. Um das einzusehen, wählt man zu " > 0 beliebig eine Zahl n" 2 N mit n" > 1=". Dann gilt jan 0j D 1 n 1 n" < " für n n" : M Satz 14.4 (Rechenregeln für konvergente Folgen). Für zwei Folgen .cn /nn0 und .dn /nn0 komplexer Zahlen und ˛ 2 C gelten die folgenden Implikationen (jeweils für n ! 1): a) b) c) d) cn ! c; dn ! d ÷ cn ˙ dn ! c ˙ d , cn ! c ÷ ˛cn ! ˛c , cn ! c; dn ! d ÷ cn dn ! cd , c c cn ! c; dn ! d; d ¤ 0 ÷ n ! . dn ˛ d ! 0 für n ! 1; wobei k 2 N und ˛ 2 R fest gewählt sind. M Definition 14.5. Eine Folge .cn /nn0 komplexer Zahlen nennt man divergent, falls sie nicht konvergiert. Beispiel. a) Es soll die Folge an D 6n3 2n2 C n 2n3 C 3n 4 ; n 1; n2 .1 C . 1/n = n2 / n2 .1 C 1= n2 / 1 C 1= 4n2 1 C 1= 4n2 1 ! 1; 1= .2n C 1/2 1 C 1= .2n C 1/2 ! 1 für n ! 1: Eine Teilfolge von .an /n0 konvergiert demnach gegen die Zahl 1, eine andere Teilfolge gegen 1. Die Folge .an /n0 ist also divergent. M 14.2 Monotonie und Beschränktheit von Folgen Wir stellen in diesem Abschnitt eine spezielle Klasse von konvergenten Folgen vor, Definition 14.6. Eine Folge reeller Zahlen .an /nn0 heißt Beispiel. Aus Beispiel 14.3 und Satz 14.4 erhält man z. B. unmittelbar n12 ! 0 und n13 ! 0 jeweils für n ! 1 und allgemeiner nk D . 1/n und damit Beispiel 14.3. Die Folge 1 n2 C . 1/n n2 C 1 a) monoton wachsend, falls anC1 an für jedes n n0 gilt, b) monoton fallend, falls anC1 an für jedes n n0 gilt. Monotones Wachstum einer reellen Zahlenfolge .an /n ist in Abbildung 13 illustriert. Dort sind die ersten 13 Folgenglieder a1 ; a2 ; : : : ; a13 über den Indizes 1; 2; : : : ; 13 abgetragen. Beispiel. Es ist die Folge an D n .n 0/ monoton wachsend. Die Folge an D n1 .n 1/ ist monoton fallend. Definition 14.7. Eine Folge reeller Zahlen .an /nn0 heißt © R. Plato Kapitel 14 Folgen 1 0 .... ......... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... .... a2 a3 11 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 a a11 a12 a13 a7 a8 a9 10 a 6 a4 a5 a1 ......................... n ...... ....... ... 27 a11 a10 a9 a8 a7 a6 a5 a4 a3 a2 a1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 ...................... n 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1011 Abb. 13: Illustration zum monotonen Wachstum einer Folge Abb. 15: Darstellung der Folge an D n für n 1. a) nach oben beschränkt, falls es eine Zahl 2 R gibt, für die an für alle n gilt, Hier sind zwei – oft leicht zu überprüfende – hinreichende Kriterien für die Konvergenz von Folgen: b) nach unten beschränkt, falls es eine Zahl 2 R gibt, für die an für alle n gilt, Satz 14.8. Eine Folge konvergiert, falls sie c) beschränkt, falls sie sowohl nach oben als auch nach unten beschränkt ist, d) unbeschränkt, falls sie nicht beschränkt ist. Im Fall a) heißt jede Zahl 2 R, die die angegebene Ungleichung erfüllt, obere Schranke der Folge, im Fall b) nennt man entsprechend jede solche Zahl 2 R untere Schranke der Folge. Beispiel. a) Es ist die Folge an D n .n 0/ nach unten beschränkt. So gilt z. B. an 0 für jedes n. Es ist jede Zahl 0 eine untere Schranke dieser Folge. Dagegen ist diese Folge nicht nach oben beschränkt, da es zu jeder reellen Zahl 2 R eine natürliche Zahl n 2 N mit n gibt. Die ersten 15 Folgenglieder a1 D 1; a2 D 2; : : : ; a15 D 15 sind in Abbildung 15 dargestellt. 1 Zum Abschluss dieses Abschnitts betrachten wir Folgen, die gegen 1 oder 1 streben. Definition 14.9. Sei .an /nn0 eine Folge reeller Zahlen. a) Man schreibt an ! 1 für n ! 1 oder .... Abb. 14: Illustration zur Beschränktheit einer Folge oder monoton fallend und nach unten beschränkt ist. 14.3 Konvergenz gegen 1 oder ...... 2...................................................................................................................................................... .... . monoton wachsend und nach oben beschränkt ist, Beweis. Wird hier nicht geführt. Beschränkheit einer reellen Zahlenfolge .an /n ist in Abbildung 14 illustriert. Dort sind die ersten 50 Folgenglieder a1 ; a2 ; : : : ; a50 einer beschränkten Folge über den Indizes 1; 2; : : : ; 50 abgetragen. Eine untere Schranke 1 und eine obere Schranke 2 sind jeweils durch eine gestrichelte Linie dargestellt. .. ... .. ............................................. ................................................ ........................................... .......................................................................................... ........................................... .................. ... ... ... ... 1............................................................................................................................................................ . ..... n lim an D 1; n!1 falls zu jedem 2 R ein n1 n0 existiert, sodass an für jedes n n1 gilt. Man sagt dann, dass die Folge .an / gegen 1 konvergiert. b) Analog schreibt man an ! 1 für n ! 1 oder lim an D n!1 1; falls zu jedem 2 R ein n1 n0 existiert, sodass an für jedes n n1 gilt. Man sagt in diesem Fall, dass die Folge .an / gegen 1 konvergiert. Bemerkung. Die Bezeichnung Konvergenz in Definition 14.9 ist einerseits naheliegend. Auf der anderen Seite ist das etwas irreführend, da solche Folgen im Sinne 28 © R. Plato Teil II Analysis 1 der Definition 14.2 auf Seite 25 divergent sind. In der Literatur findet man alternativ z. B. die Bezeichnungen uneigentlich konvergent gegen 1 oder divergent gegen 1. M Beispiel. Für jedes r 2 N gilt nr ! 1 und jeweils für n ! 1. 15 nr ! 1 Beispiel 15.3 (Geometrische Reihe). Die unendliche P1 n Reihe 1 < q < 1 konvergent. nD0 q ist für Werte Für die Partialsummen gilt nämlich r X Reihen ./ 1 qn D 1 q rC1 q ! 1 1 q für r ! 1: nD0 15.1 Einführung Wichtige Funktionen wie z. B. die trigonometrischen Funktionen Sinus und Cosinus oder die Exponentialfunktionen werden hier über Reihendarstellungen eingeführt. Es werden dafür im Folgenden die notwendigen Vorbereitungen getroffen. Definition 15.1. Eine unendliche Reihe ist von der Form 1 X an Man beachte, dass Definition 15.1 nur eine Bezeichnung liefert. Dem Term (15.1) ist noch kein Zahlwert zugeordnet. P1 Definition 15.2. a) Eine (unendliche) Reihe nDn0 an heißt konvergent, falls es eine Zahl s 2 C gibt, sodass r X an ! s für r ! 1: (15.2) nDn0 gilt. Die Summen sr für r n0 nennt man Partialsummen der Reihe. Man schreibt dann 1 X 1 X qn D nD0 1 1 q für 1 < q < 1: M Der folgende Satz liefert ein notwendiges Kriterium für die Konvergenz einer Reihe, das wir hier ohne Beweis angeben. Satz 15.4. Ist die Reihe an ! 0 für n ! 1. mit komplexen Zahlen an0 ; an0 C1 ; : : : . 15.2 Konvergenz von Reihen Dabei weist man die Identität ./ leicht mit vollständiger Induktion über r nach. Es gilt also (15.1) nDn0 sr D Beispiel. Für die konstante Folge an D 1 .n P 1/ gilt 1 offenbar sr D r .r 1/. Die unendliche Reihe nD1 1 ist also divergent. M P1 nDn0 an konvergent, so gilt P1 n Beispiel. Die unendliche Reihe nD0 . 1/ ist divern gent, da die Folge . 1/ divergent ist und damit erst recht nicht gegen null konvergiert. Die Aussage von Satz 15.4 lässt sich jedoch nicht umkehren. Beispiel P1 15.5 (Harmonische Reihe). Die unendliche Reihe nD1 n1 ist divergent (der Nachweis hierfür entfällt); die Summanden bilden aber offensichtlich eine Nullfolge. M P1 Bei einer Reihe nDn0 an mit durchweg positiven Summanden an muss die Folge der Summanden „schnell genug“ gegen null konvergieren, damit die betrachtete Reihe konvergiert. an D s: nDn0 b) Eine unendliche Reihe heißt divergent, falls sie nicht konvergent ist. M Es gilt also in (15.2) sr D an0 C an0 C1 C C ar für r D n0 ; n0 C 1; : : : . Man nennt .sr / auch die Folge der Partialsummen zur Folge .an /. Es konvergiert die Reihe P1 nDn0 an per Definition genau dann, wenn die Folge der Partialsummen .sr / konvergiert. 15.3 Rechenregeln für konvergente Reihen In diesem Abschnitt werden ohne Beweis einige elementare Rechenregeln für konvergente Reihen vorgestellt. Auf die grundsätzliche Eigenschaft „Konvergenz beziehungsweise Divergenz“ einer Reihe hat das Verhalten von endlich vielen, beliebig ausgewählten Summanden keinen Einfluss:
