TECHNISCHE UNIVERSITÄT MÜNCHEN Ferienkurs Analysis 1

TECHNISCHE UNIVERSITÄT MÜNCHEN
Ferienkurs Analysis 1
WS 08/09
3. Übungsblatt
Elisabeth Brunner
Hannah Jörg
Themen:
• Konvergenzkriterien für Reihen
• Umordnung von Reihen, Cauchyprodukt
Partialsummen:PSei (an )n∈N eine Folge reeller oder komplexer Zahlen.
Die Summe Sn =
n
k=1 ak
(n beliebige natürliche Zahl) heiÿt n−te Partialsumme zur Folge (an ).
unendliche Reihe: Unter der zur Folge
P (an )n∈N gehörigen Reihe versteht man die Folge der
Partialsummen (Sn )n∈N . Bezeichnung: ∞
k=1 ak .
Konvergenzbegri bei Reihen:Die Reihe
tialsummen (Sn )n∈N konvergiert.
P∞
k=1 ak
Absolute
P Konvergenz von Reihen: Die Reihe
Reihe
∞
k=1 |ak |
heiÿt konvergent, falls die Folge der Par-
P∞
konvergiert.
k=1 ak
heiÿt absolut konvergent, falls die
Cauchy'sches Konvergenzkriterium
für Reihen: Die Reihe
P
∀ > 0 ∃N = N () ∈ N : |
n
k=m ak |
P∞
k=1 ak
konvergiert ⇔
< ∀n ≥ m ≥ N
Leibnitz-Kriterium für alternierende Reihen: Die Reihe
ak eine monoton fallende Nullfolge nichtnegativer Zahlen ist.
P∞
n
k=1 (−1) ak
konvergiert, falls
Aus absoluter Konvergenz folgt Konvergenz.
Majoranten-Kriterium: Ist
k=1 bk eine
P Reihe mit nichtnegativen Gliedern bk und gilt
|ak | ≤ bk ∀k ∈ N, so konvergiert die Reihe ∞
k=1 ak absolut.
P∞
Quotientenkriterium: Ist |an | =
6 0 für fast alle n ∈ N und existiert der Grenzwert
θ := limn→∞ an+1
an Falls θ < 1, konvergiert die Reihe ∞
k=1 ak absolut.
Falls θ > 1, divergiert die Reihe.
Falls θ = 1, ist keine Konvergenzaussage möglich.
P
Wurzelkriterium: Sei θ := lim sup
Pn→∞
p
n
|an |.
Falls θ < 1, konvergiert die Reihe ∞
k=1 ak absolut.
Falls θ > 1, divergiert die Reihe.
Falls θ = 1, ist keine Konvergenzaussage möglich.
Aufgabe 3.1.
Prüfe folgende Reihen auf bedingte/absolute Konvergenz:
∞
X
(−1)n
√ ,
(i)
n
n=1
(ii)
∞
X
1
,
n2
n=1
∞
X
∞
X
sin(n)
n2
n=1
,
∞
X
zn
n(n + 5)(n + 10)
,
, wobei z ∈ C beliebig ,
n!
2n
n=0
n=1
√
n(n+1)
∞ ∞
∞ 3
X
X
X
n+1
n ( 2 + (−1)n )n
1 + cos(n) 2n−ln(n)
(iv)
,
,
.
n+2
3n
1 + sin(n)
(iii)
n=1
n=1
n=1
(v) Die Riemann'sche Zeta-Funktion ist deniert mittels:
∞
X
1
für p > 0.
ζ(p) =
np
n=1
Lässt sich mittels des Quotienten- oder Wurzelkriteriums die Konvergenz von ζ(p) für bel.
p > 0 untersuchen?
Aufgabe 3.2.
Zu x ∈ R undn ∈ N seien:
an = nx
bn =
sin2 (kα)
k=1 1+x2 +cos2 (kα)
Qn
n|x|
(1+x2 )n
(a) Warum konvergiert die Reihe ∞
n=1 bn absolut für alle x ∈ R?
P∞
(b) Warum konvergiert die Reihe n=1 an absolut für alle x ∈ R?
P
Umordnung von Reihengliedern:
• Absolut konvergente Reihen lassen sich beliebig umordnen.
• Konvergente, aber nicht absolut konvergente, Reihen lassen sich nicht beliebig umordnen.
Das Cauchyprodukt von Reihen:
Pn
P∞
P
=( ∞
k=1 ak bn−k
n=1 an ) · ( n=1 bn ) mit cn =
P
P∞
• konvergiert absolut, aber nur wenn ∞
n=1 bn und
n=1 an absolut konvergieren, mit Grenzwert
c=a·b
• ist deniert durch
P∞
n=1 cn
Aufgabe 3.3.(Binomialreihen)
Zu beliebigem s ∈ C sei gegeben:
Bs (z) =
∞ X
s
n=0
n
z n , für z ∈ C.
(
1, falls n = 0
s
Dabei ist:
:= Qn s−k+1
n
, sonst.
k=1
k
(i) Zeige dass für beliebiges s ∈ C die Binomialreihe Bs absolut konvergiert in der komplexen
Einheitskreisscheibe E := { z ∈ C : |z| < 1 }.
(ii) Zeige das Additionstheorem für Binomialreihen:
Bs (z) · Bt (z) = Bs+t (z) für alle s, t ∈ C und z ∈ E.