Theorie - Der Grenzwert von Funktionen

Gymnasium „Am Thie“
Blankenburg
Theorie - Der Grenzwert von Funktionen
Der Grenzwert einer Funktion an der Stelle x0:
Def.: Es sei f eine in einer Umgebung von x0 (eventuell mit Ausnahme von x0 selbst) definierte
Funktion. In der Mathematik bezeichnet der Limes oder Grenzwert einer Funktion f an einer
bestimmten Stelle x0 denjenigen Wert, dem sich die Funktion in der Umgebung der betrachteten Stelle
annähert. Ein solcher Grenzwert existiert jedoch nicht in allen Fällen. Existiert der Grenzwert, so
konvergiert die Funktion, andernfalls divergiert sie.
Man schreibt:
lim f ( x)  g .
x x0
Es gibt für die Ermittlung des Grenzwertes verschiedene Strategien:
1) Termumformungen (Binomische Formeln, Ausklammern, Erweitern und Kürzen,
Polynomdivision)
2) Nutzen von Testeinsetzungen
3) Grenzwertbestimmung mit der h-Methode
4) Nutzen von Testfolgen, die gegen x0 konvergieren.
Beispiel: Gegeben sei die Funktion
f ( x) 
x2  4
. Wir untersuchen diese Funktion an der nicht
x2
definierten Stelle x0=2.
zu Strategie 1)
x2  4
Wir vereinfachen die Funktion f ( x) 
mit Hilfe der 3. Binomischen Formel, anschließend
x2
x 2  4 ( x  2)( x  2)

 x  2]  2  2  4
kürzen wir: lim [
x2
x2
x2
zu Strategie 2)
Wir nähern uns der kritischen Stelle x0=2 in der Funktion
f ( x) 
x2  4
einmal von links und einmal
x2
von rechts, indem wir Testwerte „durch den Taschenrechner jagen“…
x
1,9
1.99
1,999
..
..
2
lim
x2
x2
f(x)
3,9
3,99
3,999
...
…
4 (Folgerung)
x2  4
4
x2
x
2,1
2,01
2,001
..
..
2
lim
x2
x2
f(x)
4,1
4,01
4,001
…
…
4 (Folgerung)
x2  4
4
x2
zu Strategie 3)
Wir ersetzen in der Funktion
f ( x) 
x2  4
das x = 2 + h, wobei das h gegen Null strebt. Mithilfe der
x2
1. Binomischen Formel können wir den Term stark vereinfachen, anschließend kürzen wir wieder:
x2  4
(2  h) 2  4 (4  4h  h 2 )  4 4h  h 2

[


 4  h]  4
lim
lim
(2  h)  2
h
h
x 2 x  2
h 0
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Theorie - Der Grenzwert von Funktionen
zu Strategie 4)
Wir ersetzen in der Funktion
x=2+
f ( x) 
x2  4
das x durch eine Testfolge, die gegen 2 konvergiert, z.B.
x2
1
, wobei das n gegen Unendlich strebt. Mithilfe der 1. Binomischen Formel können wir den
n
Term wieder stark vereinfachen, anschließend beseitigen wir den Doppelbruch:
lim
x 2
x2  4

[
x  2 lim
n 
4 1
4 1
1
 2
(2  ) 2  4 (4   2 )  4
n
n
n
n
n  4  1]  4


1
1
1
n
(2  )  2
n
n
n
Hinweis: Bei der 3. Und 4. Variante müsste man sich eigentlich noch jeweils von der anderen Seite
der 2 nähern, wie man sieht, würde das aber am Ergebnis nichts ändern. Aus Gründen der
Übersichtlichkeit wurde hier darauf verzichtet, ganz korrekt müsste Variante 4 also wie folgt
aussehen:.
4 1
4 1
1
(2  ) 2  4 (4   2 )  4   2
x 4
1
n n
n
 lim [

 n n  4 ] 4
1
1
1
x2
n
n 
(2  )  2


n
n
n
2
lim
x 2
Hinweis:
Es gibt Funktionen, die an der Stelle x0 einen linksseitigen und einen rechtsseitigen Grenzwert haben.
Sind beide gleich einer Zahl g, dann ist f an der Stelle x0 konvergent zum Grenzwert g. Existiert weder
ein linksseitiger noch ein rechtsseitiger Grenzwert, dann ist f an der Stelle x0 nicht konvergent.
Satz: Existiert der Grenzwert einer Funktion, so ist er auch eindeutig bestimmt.
Satz: Grenzwertsätze für Funktionen
Es sei:
lim f ( x)  g
x  x0
und
1
lim g ( x)  g
x  x0
2
Dann gilt:
lim  f ( x)  g ( x)  lim f ( x)  lim g ( x)  g
x  x0
x  x0
x  x0
x  x0
x  x0
x  x0
x  x0
x  x0
x  x0
 g2
1
lim  f ( x)  g ( x)  lim f ( x)  lim g ( x)  g
1
 g2
lim  f ( x)  g ( x)  lim f ( x)  lim g ( x)  g
 g2
1
lim  f ( x)  g ( x)  lim f ( x)  lim g ( x)  g
x  x0
x  x0
x  x0
1
 g2 
g1
; wenn g ( x)  0 und g  0
g2
in einer Umgebung von x0 gilt.
Hinweis: Ist der Grenzwert einer Funktion an der Stelle x0 keine Zahl, sondern strebt diese Funktion an
dieser Stelle gegen   , so wird diese Stelle Polstelle der Funktion genannt (später mehr – neugierig
bleiben ;-)).