Zusammenfassung: Folgen und Konvergenz - Lehrer-Uni

LGÖ Ks
VMa 11
Schuljahr 2015/2016
Zusammenfassung: Folgen und Konvergenz
Inhaltsverzeichnis
Definitionen und Beispiele für Folgen ...............................................................................................
Beschränkte Folgen.............................................................................................................................
Konvergenz von Folgen .....................................................................................................................
Grenzwertsätze für Folgen .................................................................................................................
Für Experten .......................................................................................................................................
Definitionen und Beispiele für Folgen
Definition: Eine Folge ist eine Funktion mit der Definitionsmenge  .
Bemerkung: Wenn es wesentlich ist, ob die Null zur Definitionsmenge gehört oder nicht, schreibt
man n  0 oder n  1 dazu.
Beispiel: Die Folge  an  : an  n 2  n  1 der Quadratzahlen hat die Folgenglieder a1  12  1 ,
a2  22  4 , a3  33  9 , …
Jede Folge besitzt (jedenfalls im Prinzip) eine
 explizite Darstellung, d. h. Angabe von an  Term in n , und eine
 rekursive Darstellung, d. h. Angabe des Anfangswerts a0 (bzw. a1 ) und der Rekursionsgleichung
an 1  Term in an oder an  Term in an 1 .
Die einfachsten Folgen sind konstante Folgen, zum Beispiel die Folge  an  mit an  5 für alle n.
Definition: Eine Folge heißt arithmetisch, wenn die Differenz aufeinander folgender Folgenglieder
konstant ist.
Beispiel: Die arithmetische Folge 1, 3, 5, … hat für n  0 die
 explizite Darstellung an  2n  1 ;
 rekursive Darstellung a0  1 und an 1  an  2 (oder an  an 1  2 ).
Definition: Eine Folge, deren Folgenglieder alle von 0 verschieden sind, heißt geometrisch, wenn
der Quotient aufeinander folgender Folgenglieder konstant ist.
Beispiel: Die geometrische Folge 3, 6, 12, … hat für n  0 die
 explizite Darstellung an  3  2n ;
 rekursive Darstellung a0  3 und an 1  an  2 (oder an  an 1  2 ).
Definition: Eine Folge heißt alternierend, wenn das Vorzeichen der Folgenglieder abwechselnd
positiv und negativ ist.
Beispiel:  an  : an   1
zus_folgenundkonvergenz
n
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1
2
2
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Beschränkte Folgen
Definition: Eine reelle Zahl S (bzw. s) heißt eine obere Schranke (bzw. untere Schranke) einer
Folge  an  , wenn für alle Folgenglieder an gilt:
an  S (bzw. an  s ).
Eine Folge heißt nach oben beschränkt (bzw. nach unten beschränkt), wenn sie eine obere Schranke
(bzw. untere Schranke) hat.
Eine Folge heißt beschränkt, wenn sie nach oben und nach unten beschränkt ist.
Bemerkung: Wenn eine Folge eine obere Schranke S hat, dann ist auch jede reelle Zahl S  mit
S   S eine obere Schranke der Folge. Eine nach oben beschränke Folge hat also unendlich viele
obere Schranken, aber genau eine kleinste obere Schranke. Entsprechend hat eine nach unten
beschränkte Folge unendlich viele untere Schranken, aber genau eine größte untere Schranke.
Beispiele:
n
a) Die Folge  an  : an   1  n ist weder nach oben noch nach unten beschränkt.
1
 n  1 ist beschränkt. Die kleinste obere Schranke ist 1, und die
n
größte untere Schranke ist 0.
Bemerkung: Die größte untere Schranke 0 wird nicht angenommen, d. h. es gibt kein
Folgenglied an mit an  0 .
b) Die Folge  an  : an 
Konvergenz von Folgen
Merke: Der Abstand zweier reeller Zahlen a und b auf der Zahlengeraden ist a  b .
Definition: Gegeben ist eine Folge  an  und eine reelle Zahl g. Die Folge  an  konvergiert gegen g
(oder: Die Folge  an  hat den Grenzwert g), wenn es zu jeder reellen Zahl   0 eine natürliche
Zahl n0 gibt mit der Eigenschaft
an  g   für alle n  n0 .
Schreibweise: lim an  g oder an  g für n   .
n 
Bemerkungen:
1. Eine Folge  an  konvergiert genau dann gegen eine Zahl g, wenn es zu jedem
vorgegebenen (noch so kleinen) „Höchstabstand“  einen Folgenindex n0 gibt, ab dem alle
Folgenglieder um weniger als  von g entfernt sind.
2. Die Definition sagt nichts darüber, wie man den Grenzwert einer Folge bestimmt.
Beispiel: Folgen, die gegen 3 konvergieren, sind zum Beispiel die Folgen  an  mit
1
an  3 oder an  3 
n
 1
1
oder an  3 
oder an  3 
n
n
n
oder …
Standardaufgabe: Zeige mithilfe der Definition, dass eine Folge  an  gegen eine Zahl g
konvergiert.
zus_folgenundkonvergenz
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Lösung:
Setze in die Ungleichung an  g   den Term von an und die Zahl g ein und löse die
Ungleichung nach n auf:
1. Vereinfache den Term an  g im Betrag so weit wie möglich.
2. Schreibe an  g ohne Betrag.
3. Bringe die Ungleichung in die Form n  Term in  .
Wähle als n0 die kleinste natürliche Zahl mit n0  Term in  .
Bemerkung: Bei der Lösung muss eine Ungleichung äquivalent umgeformt werden. Wendet man
eine Funktion auf beide Seiten der Ungleichung an, dann ist das genau dann eine Äquivalenzumformung, wenn die Funktion streng monoton wachsend ist.
Beispiel: Die Funktion f: f  x   x 2 ist für x  0 streng monoton wachsend. Sind also beide Seiten
einer Ungleichung positiv, dann ist das Quadrieren beider Seiten der Ungleichung eine
Äquivalenzumformung.
Definition: Eine Folge, die gegen 0 konvergiert, heißt eine Nullfolge.
Standardbeispiele für Nullfolgen (Beweis siehe Aufschrieb):
1
1. Die Folge  an  : an   (   0 ) ist eine Nullfolge.
n
2. Die Folge  an  : an  q n  q  1 ist eine Nullfolge.
Feststellung: Ist  an  eine Nullfolge und  bn  eine Folge mit bn  an für alle n, dann ist auch
 bn  eine Nullfolge.
Beweis: Sei   0 .
Da  an  eine Nullfolge ist, gibt es eine natürliche Zahl n0 , so dass an  0   für alle n  n0 .
Also gilt für alle n  n0 :
bn  0  bn  an  an  0   .
Also ist auch  bn  eine Nullfolge.
q.e.d.
Anwendungsbeispiel: Zeige, dass die Folge  an  : an 
Lösung: an 
1
eine Nullfolge ist.
n 1
1
1
1
1

 für alle n, und die Folge  bn  : bn  ist eine Nullfolge.
n 1 n 1 n
n
Definition: Hat eine Folge einen Grenzwert, dann heißt die Folge konvergent; andernfalls heißt sie
divergent.
Feststellung: Die in der Definition von „Konvergenz“ auftretende Ungleichung
an  g  
ist äquivalent zu
zus_folgenundkonvergenz
g    an  g   .
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Anschaulich bedeutet das: Der Abstand eines Folgenglieds an zu g ist genau dann kleiner als  ,
wenn an zwischen g   und g   liegt.
Diese offensichtlich richtige Aussage kann auch formal bewiesen werden, siehe „Für Experten“.
Feststellung: Eine konvergente alternierende Folge ist eine Nullfolge.
Beweis: Nimm an, eine alternierende Folge  an  hat einen Grenzwert g  0 .
Fall g  0 :
Wähle   g .
Dann gibt es eine natürliche Zahl n0 , so dass an  g   für alle n  n0 .
Also gilt für alle n  n0 :
g    an  g   ,
also insbesondere
an  g    g  g  0 .
Das ist ein Widerspruch dazu, dass jedes zweite Folgenglied an negativ ist.
Den Fall g  0 beweist man analog mit   g .
q.e.d.
Anwendungsbeispiel: Zeige, dass die Folge  an  : an   1 divergent ist.
n
Lösung: Die Folge  an  ist alternierend und wegen an  1 für alle n keine Nullfolge. Also ist die
Folge divergent.
Definition: Das Maximum (bzw. Minimum) einer endlichen Menge  x1 , x2 ,  , xn  reeller Zahlen
ist die größte (bzw. kleinste) Zahl der Menge.
Schreibweise: max  x1 , x2 ,  , xn  (bzw. min  x1 , x2 ,  , xn  )
Feststellung: Eine Folge hat höchstens einen Grenzwert.
Beweis: Nimm an, eine Folge  an  hat zwei verschiedene Grenzwerte g1 und g 2 .
1
g1  g 2 .
2
Dann gibt es eine natürliche Zahl n1 , so dass an  g1   für alle n  n1 , und es gibt eine natürliche
Wähle  
Zahl n2 , so dass an  g 2   für alle n  n2 .
Sei n0 :  max  n1 , n2  .
Dann gilt für alle n  n0 sowohl an  g1   als auch an  g 2   , also
-Ungl.
g1  g 2  g1  an  an  g 2   g1  an    an  g 2   g1  an  an  g 2  an  g1  an  g 2
1
g1  g 2  g1  g 2
2
Also gilt g1  g 2  g1  g 2 . Widerspruch!
     2  2 
zus_folgenundkonvergenz
q.e.d.
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Satz: Eine konvergente Folge ist beschränkt.
Beweis: Sei  an  eine Folge mit dem Grenzwert g.
Wähle   1 .
Dann gibt es eine natürliche Zahl n0 , so dass für alle n  n0 gilt:
an  g  


an  g  1

g  1  an  g  1



Also ist S  max a1 , a2 ,  , an0 1 , g  1 eine obere Schranke und s  min a1 , a2 ,  , an0 1 , g  1
eine untere Schranke von  an  .
q.e.d.
Definition: Eine Folge  an  heißt eine Cauchy-Folge, wenn gilt:
Für jede reelle Zahl   0 gibt es eine natürliche Zahl n0 mit der Eigenschaft
am  an   für alle m, n  n0 .
Satz: Jede konvergente Folge ist eine Cauchy-Folge.
Beweis: Sei  an  eine Folge mit dem Grenzwert g.
Sei   0 .
Dann ist auch

2
0.
Also gibt es eine natürliche Zahl n0 , so dass an  g 
Also gilt für alle m, n  n0 :
am  an  am  g  g  an   am  g    g  an 


2


2

2
für alle n  n0 .
-Ungl.
 am  g  g  an  am  g  an  g

q.e.d.
Für Experten: Da  vollständig ist, gilt auch die Umkehrung des Satzes, d. h. es gilt:
Jede Cauchy-Folge ist konvergent.
Standardaufgabe: Zeige, dass eine Folge nicht konvergent ist.
Lösung: Zeige, dass die Folge unbeschränkt ist oder dass die Folge keine Cauchy-Folge ist.
Grenzwertsätze für Folgen
Satz (Summe konvergenter Folgen): Konvergieren die Folgen  an  und  bn  , dann konvergiert
auch die Summenfolge  an  bn  , und es gilt
lim  an  bn   lim an  lim bn .
n 
zus_folgenundkonvergenz
n 
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n 
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Beweis: Sei a :  lim an und b :  lim bn .
Sei   0 .
Dann ist auch
n 

2
n 
0.
Also gibt es eine natürliche Zahl n1 , so dass an  a 
Zahl n2 , so dass bn  b 
Sei n0 :  max  n1 , n2  .

2

2
für alle n  n1 , und es gibt eine natürliche
für alle n  n2 .
Dann gilt für alle n  n0 sowohl an  a 

2
als auch bn  b 

2
, also
 an  bn    a  b   an  bn  a  b  an  a  bn  b   an  a    bn  b 


2


-Ungl.
 an  a  bn  b

2
q.e.d.
Satz (Differenz, Produkt und Quotient konvergenter Folgen; ohne Beweis): Konvergieren die
Folgen  an  und  bn  , dann konvergieren auch die Differenzenfolge  an  bn  und die
Produktfolge  an  bn  , und es gilt
lim  an  bn   lim an  lim bn und lim  an  bn   lim an  lim bn .
n 
n 
n 
n 
n 
a
Ist außerdem lim bn  0 , dann konvergiert auch die Quotientenfolge  n
n 
 bn
 a  lim an
lim  n   n  .
n  b
bn
 n  lim
n 
n 

 , und es gilt

Standardaufgabe: Bestimme den Grenzwert eines Bruchterms mithilfe der Grenzwertsätze.
Lösung: Klammere im Zähler und im Nenner jeweils den am schnellsten wachsenden Term aus und
kürze.
Zur Ersparnis von Schreibarbeit bei der Lösung dieser Standardaufgabe dient die
Feststellung (Beweis siehe Aufschrieb): Sind c0 , c1 ,  , ck reelle Zahlen und sind 1 ,  2 ,  ,  k
positive reelle Zahlen, dann gilt
c 
c
c

lim  c0  11  22    kk   c0 .
n 
n
n
n 

2 

Beispiel: lim  1  3   1
n 
 n 
Standardaufgabe: Berechne den Grenzwert der Differenz zweier Wurzelterme.
zus_folgenundkonvergenz
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Lösung: Erweitere mit der Summe der Wurzelterme und verwende die dritte binomische Formel.
Zur Ersparnis von Schreibarbeit bei der Lösung dieser Standardaufgabe dienen die folgenden
beiden Feststellungen:
Feststellung (Wurzel einer konvergenten Folge; ohne Beweis): Konvergiert die Folge  an  und gilt
an  0 für alle n, dann konvergiert auch die Folge
lim
n 
Beispiel: lim 1 
n 




an , und es gilt
an  lim an .
n 
2
2 

 lim 1  3   1  1
3
n 
n
 n 
Feststellung: Ist a eine reelle Zahl und  bn  eine Folge, die gegen  strebt, dann gilt
a
 0.
n  b
n
lim
Für eine Definition von „strebt gegen “ und einen Beweis der Feststellung siehe „Für Experten“.
Beispiel: lim
n 
1
2n  3
0
Da eine konvergente alternierende Folge eine Nullfolge ist, gibt es für das Grenzverhalten einer
alternierenden Folge zwei Möglichkeiten: Entweder ist die Folge eine Nullfolge, oder sie ist
divergent. Daraus und aus der Tatsache, dass eine Folge genau dann eine Nullfolge ist, wenn die
Folge der Beträge eine Nullfolge ist, ergibt sich die Lösung der
Standardaufgabe: Untersuche eine alternierende Folge auf Konvergenz.
Lösung: Untersuche die Folge der Beträge. Ist die Folge der Beträge eine Nullfolge, dann ist auch
die eigentliche Folge eine Nullfolge. Andernfalls, wenn also die Folge der Beträge divergent ist
oder gegen eine von 0 verschiedene Zahl konvergiert, ist die eigentliche Folge divergent.
Für Experten
Beweis der Feststellung: Sind a und g reelle Zahlen und ist  eine positive reelle Zahl, dann ist
a  g   äquivalent zu g    a  g   .
Beweis:
Zeige zuerst: Aus a  g   folgt g    a  g   .
Fall a  g  0 :
Dann ist a  g  a  g . Also gilt
ag 

a  g 
Wegen a  g  0 ist a  g . Daraus und aus   0 folgt a  g   .
Also gilt g    a  g   .
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Fall a  g  0 :
Dann ist a  g    a  g   g  a . Also gilt
g a 
a   g  

|   1
a  g 

Wegen a  g  0 ist a  g . Daraus und aus   0 folgt a  g   .
Also gilt g    a  g   .
Zeige nun: Aus g    a  g   folgt a  g   .
Aus a  g   folgt a  g   .
Außerdem gilt
a  g 

a  g  
|   1
 g a 
Aus a  g   und g  a   folgt a  g   .
q.e.d.
Definition: Eine Folge  an  strebt gegen , wenn es zu jeder reellen Zahl C eine natürliche Zahl n0
gibt mit der Eigenschaft:
an  C für alle n  n0 .
Eine Folge strebt also genau dann gegen , wenn es zu jeder vorgegebenen (noch so großen)
Zahl C einen Folgenindex n0 gibt, ab dem alle Folgenglieder größer als C sind.
Beweis der Feststellung: Ist a eine reelle Zahl und  bn  eine Folge, die gegen  strebt, dann gilt
lim
n 
a
 0.
bn
Beweis:
Im Fall a  0 ist nichts zu zeigen.
Sei nun a  0 .
Sei   0 vorgegeben.
a
Wähle C :  .

Dann gibt es eine natürliche Zahl n0 mit bn  C für alle n  n0 .
Also gilt für alle n  n0 :
bn  C  0 und
a
a
a
a
a
a
0 




 .
a
bn
bn
bn
bn C

a
Also gilt lim  0 .
n  b
n
zus_folgenundkonvergenz
q.e.d.
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