Logarithmen - Maschinen- technik
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Hinweise zur Logarithmusrechnung Logarithmen 1 Logarithmenbegriff Beispiel Zeichnen Sie den Graphen der Funktion f: y = 2x - 8 und bestimmen Sie die Nullstelle. Lösung Wertetabelle x y -2 -1 0 - 7,8 - 7,5 - 7 1 2 3 4 -6 -4 0 8 Bestimmung der Nullstelle: y = 0: 2x - 8 = 0 2x = 8 Aus Wertetabelle und Graph findet man als Lösung dieser Exponentialgleichung x = 3. Da wir die Exponentialgleichung noch nicht nach x auflösen können, wollen wir die Lösung mit Worten umschreiben: "x ist der Exponent zur Basis 2, der zum Potenzwert 8 führt" (kurz: x = exp2 8 = log2 8) Da die Bezeichnung "exp" für die e-Funktion verwendet wird, wurde für den Exponenten die Bezeichnung Logarithmus (log) 1 eingeführt. x = log2 8 = 3 x= logab (Numerus) Definition Der Logarithmus ist der Exponent, mit dem man die Basis a potenzieren muss, um die Zahl (Numerus) b zu erhalten. gelesen: 1 "x gleich Logarithmus b zur Basis a" Der Logarithmus ist also eine Hochzahl. lógos arithmós (griech.) = Rechengröße numerus (lat.) = Zahl © IQ Technikum 2015 1 von 8 Hinweise zur Logarithmusrechnung Den Logarithmus berechnen heißt, den Exponenten einer bestimmten Potenz zu bestimmen. Beispiele log5 25 = 2, denn 52 = 25 log3 9 = 2, denn 32 = 9 log4 4 = 1, denn 41 = 4 log10 10 = 1, denn 101 = 10 loga a = 1, denn a1 = a loge e = 1, denn e1 = e log5 1/25 = - 2, denn 5 - 2= 1/25 log3 1/27 = - 3, denn 3 - 3 = 1/27 log5 1 = 0, denn 5 0 = 1 log7 √7= 1/2, denn 7 ½ = √7 log10 0,01 = - 2, denn 10 - 2 = 0,01 log10 0,001 = - 3, 1 3 log3 4 4 √27 denn 10 - 3 = 0,001 log10 1000 = 3, log10 100 = 2, denn 10 3 =1000 denn 10 2 = 100 -3 denn 3 4 4 1 √27 Die Beispiele zeigen, dass die Logarithmen sowohl positive als auch negative rationale Zahlen sein können. In den meisten Fällen sind die Logarithmen jedoch irrationale Zahlen, deren Näherungswerte früher tabelliert wurden, heute jedoch mit dem elektronischen Taschenrechner ermittelt werden. 2 Logarithmensysteme Logarithmen mit gleicher Basis bilden ein Logarithmensystem. Um bei Logarithmen von gängigen Systemen die Basis nicht immer mitschreiben zu müssen, werden folgende Kurzschreibweisen benutzt: Basis 2: Basis e: Basis 10: 2 log 2 = Id = Ib Zweierlogarithmus (Logarithmus dualis, binärer Logarithmus) Natürlicher Logarithmus log e = In (Logarithmus naturalis) log 10 = Ig Zehnerlogarithmus (dekadischer Logarithmus, Briggs'scher Logarithmus 2) Nach dem englischen Mathematiker Henry Briggs (1561 … 1630), der diese Logarithmen 1617 einführte. © IQ Technikum 2015 2 von 8 Hinweise zur Logarithmusrechnung 2.1 Natürliche Logarithmen Die Logarithmen zu der Grundzahl e spielen in der Physik und Technik eine wichtige Rolle. Bei der praktischen Rechnung wird jedoch häufiger der Zehnerlogarithmus angewandt. In manchen Fällen ist eine Umrechnung erforderlich. Zusammenhang zwischen dem natürlichen und dem Zehnerlogarithmus Wir bilden von einem beliebigen Numerus N den natürlichen Logarithmus und nennen diesen x. N = beliebiger Logarithmus Aus der Definition des natürlichen Logarithmus folgt log e N = x oder die Umkehrung ex = N. ln N = x (1) ex = N Ig Durch Logarithmieren mit dem Zehnerlogarithmus erhält man Ig ex = Ig N. Nach Umformung mit Hilfe eines Logarithmengesetzes erhält man x. ex = Ig N x • Ig e = Ig N (2) In N • Ig e = Ig N Setzt man Gl. (1) in Gl. (2) ein, so erhält man den rechnerischen Zusammenhang zwischen den beiden Logarithmenarten. Mit Hilfe dieser Beziehung lassen sich natürliche Logarithmen in Zehnerlogarithmen umrechnen und umgekehrt. Mit Ig e = 0,43429 und 1/lg e = 2,30259 ergibt sich eine praktische Näherungsgleichung für die Umrechnung. Ig N = Ig e • In N ::: 0,43 • In N In N = lg N/lg e ::: 2,3 • Ig N Umrechnung beliebiger Logarithmen verschiedener Basen a und b Zwischen Logarithmen der Basis a und der Basis b gilt die Beziehung: loga N = logb N / logb a Beispiel Berechnen Sie x = log7 6314 Lösung Um den Zahlenwert mit dem Taschenrechner berechnen zu können, muss für die Basis b entweder 10 oder e gewählt werden, da andere Logarithmen in der Regel nicht vorliegen. Wir wählen als Basis b = 10. x = log7 6314 = lg 6314 / lg 7 x = 4,49688 © IQ Technikum 2015 3 von 8 Hinweise zur Logarithmusrechnung 2.2 Zehnerlogarithmen Beim Zehnerlogarithmus wird die Zahl 10 als Basis gewählt, d. h. jede Zahl wird als Potenz von 10 dargestellt: 1000 100 10 1 = 103 2 = 10 1 = 10 0 = 10 Ig 1000 = 3 Ig 100 Ig 10 Ig 1 = 2 = 1 = 0 0,1 0,01 0,001 0,0001 = 10-1 Ig 0,1 = -1 -2 Ig 0,01 = -2 -3 Ig 0,001 = -3 -4 Ig 0,0001 = -4 = 10 = 10 = 10 Bei den bisherigen Beispielen sind wir jeweils von Zehnerpotenz zu Zehnerpotenz fortgeschritten und haben damit ganzzahlige Logarithmen erhalten. Für die innerhalb einer Dekade liegenden Zwischenwerte ergeben sich irrationale Zahlen. So erhalten wir beispielsweise für die Zahl 3, dargestellt als Zehnerpotenz 3 = 10 0,4771213... Ig 3 = 0,4771213... Durch Umrechnung nach folgendem Schema: 30 = 3 • 10 = 10 0,4771 • 101 = 10 1,4771 Ig 30 = 1,4771 lassen sich z. B. weitere Logarithmen ermitteln: Ig 300 Ig 3000 lg 0,3 lg 0,03 lg 0,003 = 0,4771 + 2 = 2,4771 = 0,4771 + 3 = 4,4771 = 0,4771 - 1 = 0,4771 - 2 = 0,4771 - 3 Mantisse Kennziffer Der Logarithmus besteht somit aus zwei Teilen: 1 aus einer Kennziffer oder Kennzahl, die vor dem Komma steht, und 2 aus der Mantisse, die hinter dem Komma steht. In den Logarithmentafeln sind nur die Mantissen tabelliert. © IQ Technikum 2015 4 von 8 Hinweise zur Logarithmusrechnung 3 Logarithmengesetze Die Logarithmengesetze ergeben sich aus den Potenzgesetzen. Sie gelten für alle Logarithmensysteme. Wir wollen sie hier mit Hilfe des Zehnerlogarithmus formulieren. Bildet man die Summe der Hochzahlen zweier Potenzen mit gleicher Grundzahl, so erhält man die Hochzahl des Produktes der Potenzen: 10 2 • 10 3 = 10 2 + 3 Nun ist: Ig 10 2 = 2 (= Hochzahl zur Grundzahl 10) Ig 10 3 = 3 (= Hochzahl zur Grundzahl 10) Da die Hochzahlen zur Grundzahl 10 die Logarithmen dieser Grundzahlen sind, lässt sich die Summe der obigen Logarithmen auch schreiben Ig 10 2 + Ig 10 3 = 2 + 3 Andererseits ist lg(10 2 • 10 3) = lg(10 2 + 3) = 2 + 3 Wir erhalten aus der Summe der Logarithmen die Hochzahl des Produktes von Potenzen gleicher Grundzahl: Hochzahl des Produktes von Potenzen: Ig (102 • 103) = Ig (10 2 + 3) = 2 + 3 Addition der Logarithmen: lg10 2 + lg10 3 = 2 + 3 Daraus folgt das 1. Logarithmengesetz Ig (102 • 10 3) = Ig 10 2 + Ig 10 3 Der Logarithmus eines Produktes ist gleich der Summe der Logarithmen der einzelnen Faktoren. Durch Logarithmieren wird das Multiplizieren zum Addieren. Die Rechenart wird damit von einer höheren Stufe auf eine niedrigere reduziert und damit vereinfacht. Beispiele 1 Ig 70 Ig (a • b) = Ig a + Ig b a, b ∊ IR + = Ig (10 • 7) = Ig 10 + Ig 7 = 1 + Ig 7 = 1 + 0,84509 = 1,84509 2 Ig 2 +Ig 5 = Ig (2 • 5) = Ig 10 = 1 © IQ Technikum 2015 5 von 8 Hinweise zur Logarithmusrechnung Entsprechend kann der Logarithmus eines Quotienten ermittelt werden: Für a = c m und b = c n gilt: a / b = c m / c n = c m-n Der Logarithmus eines Quotienten ist gleich der Differenz der Logarithmen von Zähler und Nen- ner. lg(a / b) = lg a - lg b a, b ∊ IR + Durch Logarithmieren wird das Dividieren zum Subtrahieren. Beispiele 1 Ig ½ Den Logarithmus einer Potenz erhält man, indem man die Potenz in ein Produkt zerlegt: Ig an = Ig (a • a • a • ... • a) n Faktoren 2 Ig 28 - Ig 7 = lg (28 / 7) = lg 4 = 0,60205 = Ig 1 - Ig 2 = 0 - Ig 2 = - Ig 2 = - 0,30103 = (lg a + lg a + ... + lga) n Summanden Der Logarithmus einer Potenz ist gleich dem Produkt aus dem Exponenten und dem Logarithmus der Potenzbasis. Durch Logarithmieren wird das Potenzieren zum Multiplizieren. Beispiele 1 Ig 310 Ig an = n • Ig a a, b ∊ IR + = 10 • Ig 3 = 10 • 0,47712 = 4,7712 2 Ig ∛10 6 = 6/3 • Ig 10 = 2 • Ig 10 = 2 3 © IQ Technikum 2015 1 /3 Ig 27 - ½ Ig 3 2 = lg (∛27/√32) = lg 2/3 = 0 6 von 8 Hinweise zur Logarithmusrechnung Logarithmische Berechnung von Termen 1 Durch Anwendung der Logarithmengesetze lassen sich Terme vereinfachen. Beispiele 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 2 Sehr große Zahlenterme (> 1099), die zu einer Kapazitätsüberschreitung des üblichen Taschenrechners führen können, lassen sich logarithmisch folgendermaßen berechnen: Beispiele © IQ Technikum 2015 7 von 8 Hinweise zur Logarithmusrechnung AUFGABEN Geben Sie die Logarithmen an und überprüfen Sie die Ergebnisse durch Potenzieren. 1 2 3 Bestimmen Sie: 4 Berechnen Sie: 5 Zerlegen Sie die Logarithmusterme und vereinfachen Sie dieselben. © IQ Technikum 2015 8 von 8
