förderung der untersuchungen des herrn fueter über

Algebra und Zahlentheorie
FÖRDERUNG DER UNTERSUCHUNGEN DES
HERRN FUETER ÜBER MODULARGLEICHUNGEN
UND KOMPLEXE MULTIPLIKATION DER ELLIPTISCHEN FUNKTIONEN
Von L. K I E P E R T , Hannover
Durch das zweibändige Werk: „Vorlesungen über die singulären Moduln und die
komplexe Multiplikation der elliptischen Funktionen" hat sich Herr Fueter ein
großes Verdienst erworben schon dadurch, daß er die Weierstraßschz /^-Funktion
der Vergessenheit entrissen hat. Die vielen Sätze, die er dabei herleitet, sind bahnbrechend und von großem wissenschaftlichem Interesse. Bei der Aufgabe, die numerische Berechnung der Modulargleichungen auszuführen, ist er auf besondere Schwierigkeiten gestoßen, die ich in weitem Umfange beseitigen kann.
Unter Benutzung der Weierstraßsohen Bezeichnungen kann ich hier das Folgende
mitteilen:
Bei den Modulargleichungen liegt es am nächsten, eine Beziehung zwischen der
er 9 3
absoluten Invariante / = ^ - der ursprünglichen Funktion und der absoluten InvaA
riante / der transformierten Funktion aufzusuchen. Dabei werden aber die Zahlkoeffizienten so groß, daß die Berechnung unüberwindliche Schwierigkeiten bietet.
Schon bei dem einfachsten Falle n = 2 treten I4stellige Zahlen auf.
Deshalb habe ich eine Hilfsgrößc
L A (co, co') J
eingeführt, bei deren Benutzung die Rechnungen wesentlich einfacher werden.
Ist n eine von 2 und 3 verschiedene Primzahl, so ist L2 die Wurzel einer Gleichung
(n -f- i) t e n Grades, deren Koeffizienten sehr einfache ganze rationale Funktionen von
"
{/J
und y* =
'*
y/à
sind. Für n = 2 und für n = 3 wird
Lu — l2y 2 Z, 8 + 16 = o
und
Z/4-f- 18 Lll + 216 ysL6—
27 = o,
Für n = 5 wird
L 12 + 10 L 6 _ I2y2 L 2 + S = o,
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Algebra nnd Zahlentheorie
eine Gleichung, die mich auf die Auflösung der allgemeinen Gleichungen fünften
Grades mit Hilfe der elliptischen Funktionen führte. (Crelles Journal, Bd. 87.)
Ist n = a2 das Quadrat einer von 2 und 3 verschiedenen Primzahl, so genügt
schon L selbst einer solchen Gleichung vom Grade a {a + i)Dadurch gelang es mir, die Modulargleichungen für
w
= 5> 25> 7> 49, TI> 13» T7> 19, 2 3 , 29, 31
vollständig herzuleiten.
Auch in dem Falle, wo n eine beliebig zusammengesetzte Zahl ist, leistet die Hilfsgrößc L sehr gute Dienste, so daß ich die Transformation noch für 18 weitere Fälle
durchführen konnte.
Besitzt man die erforderlichen Transformationsgleichungen, so ergibt sich die
Berechnung der singulären Invarianten, bei denen komplexe Multiplikation stattfindet, mühelos, was ich im 39. Bande der Math. Annalen durch 42 Beispiele gezeigt
habe. Die Anzahl dieser Beispiele hätte ich noch leicht vermehren können, wenn
ich die vorhandenen, von mir aufgestellten Vorbereitungen voll ausgenutzt hätte.
Ja, man kann sogar mit Hilfe der singulären Invarianten die Berechnung der Transformationsgleichungen für größere Werte von n wesentlich erleichtern.
(Vergi. Crelles Journal, Bd. 76, 87, 88, 95 und Math. Annalen, Bd. 26, 32, 37.)
ÜBER DIE SCHLÄFLISCHEN MODULARGLEICHUNGEN
Von G. N. WATSON, Birmingham
Die von Schläfli eingeführten Modulargleichungen, deren Transformationsgrad
eine Primzahl ist (3, 5, 7, . . . bis auf 37 und auch 47), sind von Schläfli, Weber und
Berry ausgearbeitet worden. Ich habe einige Schläflische Modulargleichungen ausgearbeitet, eieren Transformationsgrad eine zusammengesetzte Zahl (ein Quadrat)
ist, teils durch algebraische Methoden (Elimination aus zwei Modulargleichungen
für einen Primzahlgrad), teils mit dem Gebrauche von g-Reihen und g-Produkten.
Die Schläflische Modulargleichung für den 9. Transformationsgrad ist ganz einfach,
aber die Modulargleichung für den 25. Transformationsgrad auszuarbeiten ist ziemlich langwierig, und die Modulargleichung für den 49. Transformationsgrad ist sehr
kompliziert. Diese Modulargleichungen sind sehr nützlich beim Konstruieren gewisser singulärer Moduln.
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