¨Ubungen zur Krankenversicherungsmathematik, WS 2014/15

Prof. Dr. Michael Fröhlich
Fakultät IM
OTH Regensburg
Übungen zur Krankenversicherungsmathematik, WS 2014/15
Studienfach Aktuarswissenschaften
Blatt 5
1.
(a) X sei eine Zufallsgröße über einem Wahrscheinlichkeitsraum (Ω, A, P) und > 0.
Beweisen Sie die Tschebyscheffsche Ungleichung
P(|X − E(X)| ≥ ) ≤
Var(X)
.
2
(b) Man betrachte ein homogenes Kollektiv von n Versicherten eines Tarifs. Der
Aktuar nimmt an, daß der Variationskoeffizient der von einzelnen Versicherten
jährlich verursachten Leistungen den Wert 2 nicht überschreitet. Wie leitet er die
Mindestgröße n her für die Wahrscheinlichkeit, daß die Jahresgesamtleistung des
Kollektivs von ihrem Erwartungswert um mehr als 10% abweicht, höchstens 5%
beträgt?
(c) Welche Bedeutung hat die 10%-Grenze in der Krankenversicherung?
2.
(a) Zeigen Sie, daß für die Alterungsrückstellung in retrospektiver Darstellung gilt
m Vx
=
m−1
X
t=0
Dx+t
(Px − Kx+t ).
Dx+m
(b) Leiten Sie obige Formel her, wenn der Beitrag mit dem Betrag Zx gezillmert ist.
(c) Beweisen Sie
Ax = Kx + v · px · Ax+1 .
(d) Beweisen Sie mit Hilfe von (a) und (c) die Formel für die Zuführung der Alterungsrückstellung
m+1 Vx
−m Vx = (Px − Kx+m )(1 + i) + i ·m Vx + (qx+m + wx+m ) ·m+1 Vx .
3.
(a) In der Darstellung einer Beitragskalkulation findet Aktuar Otto O. folgende
Angaben:
Tarif: Ambulante Zusatzversicherung für GKV-Versicherte,
Zα = 3, γ = 20 und σ = Mindestwert. Die gezillmerten Abschlußkosten beziehen
sich auf den Bruttomonatsbeitrag. Für Männer gilt:
D21 = 82.015, D22 = 66.998, D23 = 54.783, D24 = 44.885 N21 = 538.579, N22 =
456.564, N23 = 389.566, N24 = 334.783 A21 = 1.150, A22 = 1.222, A23 = 1.306, A24 =
1405.
Kinder und Jugendliche zahlen Risikobeiträge. Für Jugendliche (Alter 16-20) gilt
derselbe rechnungsmäßige Kopfschaden wie für 21-Jährige.
(b) Geben Sie die Bedeutung aller oben verwendeten Symbole an.
(c) Bestimmen Sie den Bruttomonatsbeitrag eines 21-jährigen Mannes.
(d) Bestimmen Sie den jährlichen Nettobeitrag für einen 20-jährigen männlichen Jugendlichen.
(z)
4. Beweisen Sie für den gezillmerten monatlichen Bruttobeitrag bx die Formel
(z)
bx =
Px + γ
12(1 − σ) −
α
äx
2
.