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INHALTSVERZEICHNIS
INHALTSVERZEICHNIS
Inhaltsverzeichnis
1 Natürliche Zahlen, Induktion
1.1 Peano-Axiome . . . . . . . . . .
1.2 Beweis der volständigen Induktion
1.3 Mengen und Abbildungen . . . .
1.4 Komposition von Abbildungen . .
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1
1
2
4
5
2 Die Körperaxiome der reelle Zahlen
2.1 Axiome der Addition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2 Axiome der Multiplikation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6
7
7
3 Ordnungsaxiome
3.1 N als Teilmenge von R . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.1.1 Archimedis Axiom . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9
11
13
4
13
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Folgen und Vollständigkeitsaxiom
5 Suprema von Mengen, monotone Folgen
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17
1
1 NATÜRLICHE ZAHLEN, INDUKTION
1 Natürliche Zahlen, Induktion
1.1
Peano-Axiome
Die natürlichen Zahlen N bilden eine Menge mit folgenden Eigenschaften:
1. Jedem n ∈ N wird ein n0 zugeornet genannt der Nachfolger von n.
2. Es gibt ein Element in N- von uns durch 1bezeichnet-, das nicht Nachfolger ist.
3. Sind m, n ∈ N, m 6= n so sind n0 6= m0 .
4. Ist M ⊆ N, 1 ∈ M und aus n ∈ M folgt stets n0 ∈ M dann ist M = N.(Induktionsaxiom)
(Denken Sie an bekannten N = {1, 2, 3, . . .})
Axiome legen N fest bist „Isomorphie“.
Im folgenden 2 = 10 , 3 = 20 , . . .
Definition 1.1.1
Sei k ∈ N. Wir definieren ‘„+“:
k + 1 := k 0
k + n := (k + n)0 , für alle n ∈ N.
Bemerkung 1.1.1
Es Folgt:
k + 2 := k + 10 = (k + 1)0 = (k 0 )0
k + 20 = (k + 2)0 = ((k 0 )0 )0 .
Dadurch k + n für alle n ∈ N rekursiv defieniert.
Satz 1.1.1
Für allen, m, k ∈ N gilt:
(k + m) + n = k + (m + n) (Assoziativität)
Beweis :
Seien k, m ∈ N sei M := {n ∈ N|(k + m) + n = k + (m + n)}.
(z.z. M = N)
Dann 1 ∈ M
(k + m) + 1 = (k + m)0 = k + m0 = k + (m + 1)
Aus n ∈ M folgt n0 ∈ M
n ∈ M bedeutet (k + m) + n = (k + (m + n))0
= k + (m + n)0 = k + (m + n0 ), also n0 ∈ M .
Also nach Axiom 4 M = N. Ähnlich zeigt man die Kommutativität
m + n = n + m (Übung)
Weiterhin erhält man die Multiplikation:
k ∈N k·1=k
k · n0 = k · n + k; für n ∈ N (rekursiv)
1
1.2 Beweis der volständigen Induktion
1 NATÜRLICHE ZAHLEN, INDUKTION
Man beweist die üblichen Rechenregeln z.B. Distibutivgesetze: k · /m + n) = kn + km.Beweis nach
Schema wie oben.
Definition 1.1.2
Seien m, n ∈ N, Wir defiieren m ≤ n wenn m = n oder k ∈ N mit m + k 6= n (Auch n ≥ m).
Neben N definieren wir:
N0 := {0, 1, 2, . . .} = N ∪ {0}, wobei 0 die üblichen Eigenschaften hat (0 + n = n).
1.2
Beweis der volständigen Induktion
Um eine Aussage A(n) (eine von den nat.Zahlen abhängige Aussage) für n ≥ n 0
beweisen, genügt es zu zeigen:
(n0 ∈ N) zu
1. A(n0 ) ist richtig (Induktionsanfang)
2. für beliebeige n ≥ n0 gilt: Ist A(n) richtig so ist auch A(n+1) richtig. (Induktionsverankerung)
Setze M = {n ∈ N|n ≥ k, A(n) richtig } ∪ {n ∈ N, n ≤ k, n 6= k}.
Zeige dass M die Eigenschaften von Axiom 4 hat. (Induktionsschritt)
Satz 1.2.1
P
Für aller n ∈ N0 gilt nk=1 k = n(n+1)
2
(:= 1 +P
2 + ... + n =
0
für
n
=
0,
Pn+1
Pnleere Summe)
0
Genau k=1 k = 0, k=1 k = k=1 +(n + 1), rekursive Definition.
Zur rechten Seite: Eine der Zahlen n, n + 1 ist gerade, deshalb Division möglich.
Beweis (durch Induktion nach
P n):
Induktionsanfang: n = 0, nk=1 k = 0, 0 · (0 + 1) = 0.
P
Induktionsschritt: n → n + 1, Induktionsvor. nk=1 k = n(n+1)
2
Pn
P
n(n+1)
1
k
+(n+1)
=
k
=
Daher n+1
+(n+1)
=
(n(n+1)+2(n+1))
= 12 (n+1)·(n+2)
k=1
k01
2
2
Aus Prinzip der vollständigen Induktion:
Formel gilt für alle n ∈ N0 Definition 1.2.1
Für n ∈ N0 wird (
definiert:
Qn
1 · 2 · 3 · . . . · n für n ≥ 1
(Genau 0! := 1
n! := k=1 k =
1
für n = 0
(n + 1)! := n! · (n + 1), rekursiv)
Satz 1.2.2
Die Anzahl der möglichen Anordnungen (Permutationen) einer n-elementigen Menge
beträgt n!.
(∀n ∈ N)
Beweis (Induktion):
JA: n=1 klar
IS: Ind-Vor. ist, dass die Aussage für n-elementige Menge richtig ist.
Die Permutationen der (n+1)-elementigen Menge {1, 2, . . . , n + 1} zerfallen in disjunkte Teilmengen
2
1.2 Beweis der volständigen Induktion
1 NATÜRLICHE ZAHLEN, INDUKTION
K1 , K2 , . . . , Kn+1 :
Kk :=Menge derjenigen Permutationen, die mit k beginnen.
Nach IV enthält Kk n! Permutationen (Permutationen von {1, 2, . . . , k, . . . , n + 1})
Damit gibt es (n + 1)n! = (n + 1)! Permutationen von {1, . . . , n + 1} Bemerkung 1.2.1
Beweis zum systematischen Aufzählen
n=1 1
n = 2 12
21
n = 3 123 213 312
132 231 321
Definition 1.2.2
Für n, kQ∈ N0 0 ≤ k ≤ n
k
n−j+1
n
= n(n−1)·...·(n−k+1)
(Binomialkoeffizienten)
j=1
k :=
j
1·2·...·k
n
n
n!
k := k!(n−k)! = n−k
Bemerkung
1.2.2
n
=
1
0
Satz 1.2.3 (Hilfssatz)
Für 1 ≤ k ≤ n − 1 gilt
n
k
=
n−1
k−1
+
n−1
k
(Übung!)
Satz 1.2.4 (Binomischer Lehrsatz)
P
Seien x, y ∈ R und n ∈ N0 , dann gilt (x + y)n = nk=0
n
k
· xn−k y k
Beweis (Induktion nach n):
IA: n=0: Beide Seiten=1 (für x 6= 0, y 6= 0) P
Pn
n
n n−k k
n n−k+1 k
IS: (x + y)n+1 = (x + y)n · (x + y) =
x
y (x + y) =
x
y +
k=0
k=0
k
k
Pn
Pn
Pn+1 n n−(l−1) l
n n−k k+1
n n−k+1 k
y
= k=0 k x
y + l=1 l−n x
y (l = k + 1)
k=0 k x
P
P
n
n+1
n
n
n+1
= xn+1 + k=1 k + k−1 xn+1−k y k + y n+1 = k=0 k xn+1−k y k ,
P
n
denn nk=1 nk + k−1
= n+1
(Hilfssatz)
k
Also gilt Formel für n + 1 Bemerkung 1.2.3
(x + y)0 = 1
(x + y)1 = x + y
(x + y)2 = x2 + 2xy + y 2 ...
3
1.3 Mengen und Abbildungen
1 NATÜRLICHE ZAHLEN, INDUKTION
Binomial-Koeffizienten im Pascalschen Dreieck
1
1
1
1
2
1
1
3
3
1
Folgerung 1.2.1
Für
Pn alle nn ∈ N ngiltPn
n
k
k=0 k = 2 ,
k=0 (−1) · k = 0
Beweis mit Satz 1.2.5 mit x = y = 1 bzw. x = 1, y = −1
(Setzt man in Satz 1.2.5 00 = 14 dann Ausnahmefälle ungültig.) 1.3
Mengen und Abbildungen
Seien A, B, C Mengen.
A ⊆ B A Teilmenge von B
A ∪ B Vereinigung
A ∩ B Durchschnitt
A \ B {x ∈ A, x ∈
/ B} Differenzmenge
Regel: A ∩ (B ∪ C) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C)
Beweis :
⊆ Sei x ∈ A ∩ (B ∪ C)
Dann x ∈ A und x ∈ B ∪ C. Also x ∈ B oder x ∈ C (oder beides)
Falls x ∈ B dann x ∈ A ∩ B damit x ∈ (A ∩ B) ∪ (A ∪ C).
⊇ Sei x ∈ (A ∩ B) ∪ (A ∩ C) . . . (analog) f
f : A → B (oder A → B) bedeuet:
Definition 1.3.1
Jedem Element x ∈ A ist genau ein Element f (x) ∈ B zugeordnet.
A: Definitionsmenge, Definitionsbereich
B: Zielmenge
f: Abbildung von A nach B, Elementweise: a 7→ f (a)
Für M ⊆ A : f (M ) := {f (a); a ∈ M } Bild von M.
Für N ⊆ B := f −1 (N ) : {a ∈ A; f (a) ∈ N } Urbild von N
f(M)
M
f
B
4
1.4 Komposition von Abbildungen
1 NATÜRLICHE ZAHLEN, INDUKTION
Definition 1.3.2
• f (A): Wertebereich von f
• f injektiv:
Aus a1 , a2 ∈ a1 6= a2 folgt: f (a1 ) 6= f (a2 )
• f surjektiv: f (A) = B (Wertebereich = Zielmenge)
• f bijektiv: f ist injektiv und surjektiv.
Für bijektive Abbildungen A → B gibt es die Umkehrabbildung f −1 : B → A
A
f
B
a
b
(f −1 (b) := a falls f (a) = f (b))
Beispiel 1.3.1
a) Sei ϕ : N → N die Nachfolgerabbildung n 7→ n0
• Axiom 1 besagt: Es gibt ein ϕ
• Axiom 2 besagt: 1 ∈ ϕ(N)
• Axiom 3 besagt: ϕ ist injektiv
• Axiom 4 besagt: Ist m ⊆ N, 1 ∈ M, ϕ(M ) ⊆ M dann ist M = N
b) Permutation von {1, . . . , n} : π : {1, . . . , n} → {1, . . . , n} ist bijektiv
c) Eine Menge M hat n Elemente. Es existiert ein bijektive Abbildung f : {1, . . . , n} → M
π0
(Permutation von M: M → M bijektiv,
π 0 ∼ π Permutation von {1, . . . , n} : π ◦ f −1 ◦ π 0 ◦ f )
1.4
Komposition von Abbildungen
Definition 1.4.1
f : A → B, g : B → C
Dann ist g ◦ f : A → C definiert durch g ◦ f (a) = g(f (a)),
∀a ∈ A
Satz 1.4.1 (Wohlordnungssatz)
Jede nichtleere Teilmenge M von N bestitzt ein Minimum (d.h. m ∈ M mit m ≤ n,
5
∀n ∈ M )
2 DIE KÖRPERAXIOME DER REELLE ZAHLEN
Beweis (durch Widerspruch):
Sei M ⊆ N, M 6= ∅.
Annahme: M hat kein Minimum.
Definiere L : {k ∈ N : ∀m ∈ M : k ≤ m}
Dann folgt L ∩ M = ∅, dann m ∈ L ∩ M wäre Minimum von M.
Wir zeigen L = N (Axiom 4)
1 ∈ L klar
Sei k ∈ L (Ziel k + 1 ∈ L)
Sei m ∈ M . Da k 6= m, aber k ≤ m gibt es eine Zahl n ∈ N mit k + n = m.
Ist n = 1 so folgt k + 1 = m ≤ m.
Ist n 6= 1 so gibt es l ∈ N mit n = l + 1, daher ist k + 1 + l = m, k + 1 ≤ m.
Daher auch k + 1 ∈ L.
Aus Axiom 4 folgt L = N wegen L ∩ M = ∅ folgt M = ∅ (Widerspruch) Bemerkung 1.4.1
Zur Logik des Widerspruchbeweises:
Seien A,B Aussagen. Wir zeigen Aus A folgt B.
Dazu äquivalent: Aus ¬B folgt ¬A.
Gleichzeitiges gelten von A und ¬B nicht möglcih!
Prinzip der Logik‘tertium non datur“
Bemerkung 1.4.2
Aus N kann durch mehrmalige Erweiterung die reellen Zahlen konstruieren:
N −→ Z −→ Q −→ R
Hier R axiomatisch einführen.
2 Die Körperaxiome der reelle Zahlen
R die Menge der reellen Zahlen.
Axiome der Addition: ∀x, y ∈ R ist die Summe x + y ∈ R erklärt mit:
1. Assoziativgesetz: x + (y + z) = (x + y) + z,
2. Kommutativgesetz: x + y = y + x,
∀x, y, z ∈ R
∀x, y ∈ R
3. Existenz der Null: ∃x = 0 ∈ R mit x + 0 = x ∀x ∈ R
4. Existenz des Negativen: ∀x ∈ R∃ − x mit x + (−x) = 0
Bezeichnung: Für x, y ∈ R setzt man x − y = x + (−y)
6
2.1 Axiome der Addition
2.1
2 DIE KÖRPERAXIOME DER REELLE ZAHLEN
Axiome der Addition
a) o ist eindeutig
b) Negatives ist eindeutig
c) ∀a, b ∈ R∃x ∈ R : a + x = b mit x = b − a
d) −0 = 0
e) ∀x ∈ R gilt −(−x) = x
f) ∀x, y ∈ R gilt: −(x + y) = −x − y
Beweis a:
Sei 00 ∈ R mit x + 00 = x ∀x ∈ R
Dann gilt: 00 = 0 + 0 = 0 + 00 = 0 Beweis b:
Sei x ∈ R Aus x + y = 0 folgt:
y = y + 0 = y + (x + (−x)) = (x + y) + (−x) = 0 + (−x) = −x Beweis c:
i) x = b − a erfüllt die Behauptung
a + (−b − a) = a + (b(−a)) = (b + a) + (−a)
=b + 0 = b
ii) Eindeutigkeit: Aus a + y = b folgt:
y = y + (y + −(a)) = b + (−a) = b − a
Beweis d:
0 + 0 = 0, 0 + (+0) = 0
Aus (b) folgt 0 = −0 2.2
Axiome der Multiplikation
∀x, y ∈ R ist das Produkt x · y = xy ∈ R erklärt mit:
1) Assoziativgesetz: (x · y) · z = x(yz)
∀x, y, z ∈ R
2) Kommutativgesetz: x · y = y · x ∀x, y ∈ R
3) Existenz der 1: ∃1 ∈ R mit 1 6= 0 sodass x · 1 = x ∀x ∈ R
4) Existenz des Inversen: ∀x ∈ R, x 6= 0 ∃x−1 ∈ R :
5) Distibutivgesetz: x · (y + z) = xy + xz
∀x, y, z ∈ R
7
x · x−1 = 1
2.2 Axiome der Multiplikation
2 DIE KÖRPERAXIOME DER REELLE ZAHLEN
Bezeichnung:
Für x, y ∈ R, y 6= 0 setzt man:
x
−1
y =x·y
Folgerung
a) 1 ist eindeutig bestimmt
b) Inverses ist eindeutig
c) ∀a, b ∈ R mit a 6= 0 ∃x ∈ R : a · x = b
x=
b
a
d) 1−1 = 1
e) ∀x ∈ R,
x 6= 0 : x = (x−1 )−1
f) ∀x, y ∈ R mit x 6= 0, y 6= 0 : (xy)−1 = x−1 · y −1
g) ∀y, x, y ∈ R gilt (x + y)z = xz + yz
h) ∀x ∈ Rx · 0 = 0
i) Sind x, y ∈ R so gilt: x · y = 0 ⇐⇒ x = 0 ∨ y = 0
j) ∀x, y ∈ R : (−x)y = −xy
k) ∀x ∈ R(−1) · x = −x
l) ∀x, y ∈ R : (−x) · (−y) = xy
Beweis (h):
x · 0 + x · 0 = x · (0 + 0) = x · 0 =⇒ x · 0 = 0 Beweis (k):
Setze x = 1 in (j) Bemerkung 2.2.1
a) Allgemeines Assoziativgesetz:
Sind x1 , . . . , xn ∈ R so definiert man:
x1 + x2 , . . . + xn := (((x1 + x2 ) + x3 ) + . . .) + xn .
Jede andere Klammerung führt zu selben Ergebnis.
Entsprechend für die
QMultiplikation:
x1 · x2 · . . . · x2 = nj=1 xj
8
3 ORDNUNGSAXIOME
b) Allgemeines Kommutativgesetz:
In Summen kann man die Summanden umordnen, ohne das Ergebnis zu ändern.
z.B.
n X
m
X
aij =
i=1 j=1
···
a1m
..
.
an1 · · ·
anm
a11
..
.
m X
n
X
aji
j=1 i=1
c) Allgemeines Distributivgesetz:
n
X
i=1


! m 
m
n
X
X
X
x i yj 
·
xi · 
yj  =
i=1
j=1
j=1
Bemerkung 2.2.2
Eine Menge K mit zwei Verknüpfungen +,· die die Axiome der Addition und Multiplikation erfüllen,
nennt man Körper
Beispiel 2.2.1
R, Q, C sind Körper.
+ 0
F2 : {0, 1} mit
0 0
1 1
erfüllen die Axiome.
1
1
0
·
0
1
0
0
0
1
0
1
3 Ordnungsaxiome
Ordnungsaxiome in R gewisse Elemente als nichtnegativ -geschrieben als x ≥ 0- ausgezeichnet,
sodass gilt:
1) ∀x ∈ R : x ≥ 0 ∨ −x ≥ 0, aus
x ≥ 0 ∧ −x ≥ 0 =⇒ x = 0
2) ∀x, y ∈ R
x ≥ 0, y ≥ 0 =⇒ x + y ≥ 0
3) ∀x, y ∈ R
x ≥ 0, y ≥ 0 =⇒ x · y ≥ 0
Bezeichnung:
• x > 0 :⇐⇒ x ≥ 0 ∧ x 6= 0
• x ≥ y :⇐⇒ x − y ≥ 0
• x > y :⇐⇒ x − y > 0
• x ≤ y :⇐⇒ y ≥ x
• x < y :⇐⇒ y > x
9
3 ORDNUNGSAXIOME
Folgerung:
a) ∀x ∈ R :
x≤x
(Reflexivität)
b) Aus y, x ∈ R x ≤ y, y ≤ x Antisymmetrie
c) Aus x ≤ y, y ≤ z =⇒ x ≤ z
Transitivität
d) (R, ≤) total geordnet: Für x, y ∈ R gilt:
x≤y∨y ≤x
e) Für x, y ∈ R gilt genau eine der Beziehung:
x < y, x = y, x > y
f) ∀x, y ∈ R
• x ≤ y ⇐⇒ x + a ≤ y + a
• x < y ⇐⇒ x + a < y + a
• x ≤ 0 ⇐⇒ −x ≥ 0
g) Aus x ≤ y, x1 ≤ y1 folgt x + x1 ≤ y + y1
h) Aus x ≤ y, a ≥ 0 =⇒ ax ≤ ay
Aus x < y, a > 0 =⇒ ax < ay
i) Aus x ≤ y, a < 0 =⇒ ax ≥ ay
j) ∀x ∈ R x2 ≥ 0, Insbesondere 1 > 0
k) Aus x > 0 =⇒ x1−1 > 0
Aus x < 0 =⇒ x−1 < 0
l) Aus 0 < x ≤ y =⇒ 0 < y −1 ≤ x−1
m) Ist x ∈ R, sodass x ≤ y für y > 0 so gilt: x ≤ y
Beweis (a):
Aus (1) 0 ≥ 0 ∨ − ≥ 0 =⇒ 0 ≥ 0 =⇒ x − x ≥ 0 ⇐⇒ x ≥ x
Beweis (b):
x ≤ y ⇐⇒ y − x ≥ 0
y ≤ x ⇐⇒ −(y − x) ≥ 0 =⇒ y − x = 0 Beweis (c):
x ≤ y ⇐⇒ y − x ≥ 0
=⇒ z − x = (z − y) + (y − x) ≥ 0 y ≤ z ⇐⇒ z − y ≥ 0
Beweis (d):
Wegen (1) gilt: y − x ≥ 0 ∨ −(y − x) ≥ 0 Beweis (e):
genügt z.z. für x ∈ R gilt genau: x > 0 ∨ x = 0 ∨ −x > 0
10
3.1 N als Teilmenge von R
3 ORDNUNGSAXIOME
Dies zeigen wir aus (1): x ≥ 0 ∨ −x ≥ 0 wenn beides gilt dann x = 0 nur das erste gilt dann x > 0,
wenn nur das zweite: −x > 0 Beweis (f):
(x + y) − (x + a) = y − x mit y = 0, a = −x Beweis (j):
Falls x ≥ 0 : Aus (h) −x ≥ 0 =⇒ x2 = (−x)2 ≥ 0 0 6= 1 = 12 Beweis (k):
x−1 = x · (x−1 )2 .
dann (h)
>0
Beweis (l):
xy > 0 =⇒ x−1 · y −1 = (xy)−1
0 < x ≤ y durchmultiplizieren mit x−1 · y −1
Beweis (m):
x
x
Angenommen x > 0 dann ist 1+1
> 0, daher x ≤ 1+1
.
Also (1 + 1) · x ≤ x =⇒ x ≤ 0, Widerspruch zu x > 0
3.1
N als Teilmenge von R
Definition 3.1.1
Eine Menge M M ⊆ R heist induktiv, wenn gilt:
∀x ∈ M ist auch x + 1 ∈ M .
Satz 3.1.1
Sei M : {M ⊆ R, 1 ∈
T M, M induktiv}.
Dann erfüllt N :=
M die Peano-Axiome, mit der 1 von R,
M ∈M
der Nachfolgerabbildung Φ(n) = n + 1
Beweis :
M 6= ∅, denn R ∈ M.
Sei n ∈ N (will zeigen: n + 1 ∈ N ) Für M ∈ M ist dann n ∈ M , daher n + 1 ∈ M.(M induktiv)
Damit auch n + 1 ∈ N
Wegen 1 ∈ M, ∀M ∈ M ist 1 ∈ N . Da die Menge {x ∈ R, x ≥ 1} ∈ M ist, folgt 0 6= 1, damit 1
nicht Nachfolger
Sind m, n ∈ N, m 6= n so gilt m ≤ n ∨ m > n und damit m + 1 6= n + 1.
Sei M ⊆ N, 1 ∈ M, ∀n ∈ M : n + 1 ∈ M. (d.h. M ist induktiv)
Damit M ∈ M, N ⊆ M =⇒ M = N Bemerkung 3.1.1
a) Im folgenden N mit der N aus Satz 2.4.1 identifiziert, N ⊆ N.
11
3.1 N als Teilmenge von R
3 ORDNUNGSAXIOME
Weiterhin N0 = N ∪ {0}, Z := N0 ∪ {−n, n ∈ N}, Q := { m
n , m ∈ Z, n ∈ N}
b) Ein Körper mit Teilmenge nichtnegativer Elemente, sodass die Ordnungsaxiome 1-3 gelten
heisst geordneter Körper. (z.B. R, Q)
Ohne Ordnung F2 , denn 1 + 1 = 0.
Definition 3.1.2
Für x ∈ R heisst |x| :=
Folgerung 3.1.1
x
falls x ≥ 0
der Absolutbetrag von x.
−x falls x < 0
a) ∀x ∈ R :
i |x| ≥ 0
ii |x| = 0 ⇐⇒ x = 0
b) ∀x ∈ R :
c) ∀x, y ∈ R :
| − x| = |x|
|x · y| = |x| · |y|
d) ∀x, y ∈ R, y 6= 0
Beweis :
Aus x =
x
y
| xy | =
|x|
|y|
· y folgt |x| = | xy | · |y| Satz 3.1.2 (Dreiecksungleichung)
∀y, x ∈ R : |x + y| ≤ |x| + |y|
Beweis :
Aus x ≤ |x|, y ≤ |y| =⇒ x + y ≤ |x + y|.
Auch −(x + y) = (−x) + (−y) ≤ | − x| + | − y|.
Beh. folgt: falls x + y ≥ 0 aus 1. Zeile,
falls x + y < 0 aus 2. Zeile.
Folgerung 3.1.2
∀x, y ∈ R||x − |y|| ≤ |x − y|.
Beweis :
|x| = |x − y + y| ≤ |x − y| + |y|
|x| − |y| ≤ |x − y|
=⇒ Behauptung. |y| − |x| ≤ |y − x| = |x − y|
Satz 3.1.3
Für alle x ∈ R, x ≥ −1 und alle n ∈ N0 gilt:
(1 + x)n ≥ 1 + nx (Bernoulli-Ungleichung)
Für x ≥ 0 leicht zu beweisen mit binomischen Lehrsatz.
12
4
FOLGEN UND VOLLSTÄNDIGKEITSAXIOM
Beweis (Induktion):
n = 0 klar
n → n+1 : (1+x)n+1 = (1+x)n ·(1+x) ≥ (1+nx)·(1+x) = 1+nx+xnx2 ≥ 1+(n+1)x 3.1.1
Archimedis Axiom
∀x, y ∈ R mit x > 0, y > 0, ∃n ∈ N : nx ≥ y
Bemerkung 3.1.2
Archimedisch geordneter Körper mit dem Archimedis Axiom
Folgerung 3.1.3
a) ∀x ∈ R ∃n ∈ N :
b) ∀ε > 0 ∃n ∈ N :
n≥x
1
n
≤ ε.
c) Sei b > 1. Dann ∀k > 0 ∃n ∈ N : bn ≥ k
d) Sei 0 < b < 1. Dann ∀ε > 0 ∃n ∈ N : bn ≤ ε.
Beweis (b):
Nach (a) existiert n ∈ N mit n ≥ 1ε . Dann
f rac1ε aus Folgerung Beweis (c):
x := b − 1 > 0. Nach Bernoulli Ungleichung:
bn = (1 + x)n ≥ 1 + nx ∀n ∈ N. =⇒ ∃n ∈ N : nx ≥ k − 1 .
Beweis (d):
0 < b < 1 =⇒
4
1
b
> 1 =⇒ ∃n ∈ N( 1b )n ≥
1
ε
=⇒ bn ≤ ε
.
Folgen und Vollständigkeitsaxiom
Q erfüllt alle Axiome. Daher ist die Existenz einer Zahl a > 0 mit a 2 = 2 aus bisherigen Axiomen
nicht herleitbar ist.
Erinnerung: Es gibt keine Zahlen p, q ∈ N mit ( pq )2 = 2.
Beweis (Widerspruch):
Angenommen ( pq )2 = 2. Dabei kann annehmen, das nicht beide Zahlen gerade sind. Dann p 2 = 2q 2 ,
also p gerade, p = 2p0 . Daher 2p02 = q 2 , also q gerade. Widerspruch 13
4
FOLGEN UND VOLLSTÄNDIGKEITSAXIOM
Definition 4.0.3
Folge reeler Zahlen (= Folge in R)
Jedem n ∈ N ist ein an ∈ R zugeordnet., d.h. a ist eine Abbildung N → R, aber statt a(n) schreibt
man an .
Schreibweise: (an )n∈N (a1 , a2 . . .), (an )
Allgemeiner: n0 ∈ Z auch (an )n≥n0
Beispiel 4.0.1
a) a ∈ R
an := 1,
b) an = (−1)n ,
∀n ∈ N Konstante Folge.
(−1, 1, −1 . . .)
c) a0 = 1, a1 = 1, an = an−1 + an−2
(Rekursiv) (1, 1, 2, 3, 5, 8, . . .)
∀n ≥ 2
Definition 4.0.4
Sei (an ) eine Folge inR. Sie heisst konvergent gegen a ∈ R falls gilt:
Zu jedem ε > 0 ∃N ∈ N, sodass |an − a| < ε ∀n ∈ N, n ≥ N
( ∀ε > 0 ∃N ∈ N, ∀n ≥ N : |an − a| < ε)
a heisst Limes oder Grenzwert der Folge.
Bezeichnung limn→∞ an = a oder an → a(n → ∞).
Andere Formulierung: Zu jeder ε−Umgebung von a liegen fast alle Folgenterme.
(Dabei ε−Umgebung {x ∈ R, |x − a| < ε} für alle n: alle außer endlich viele.)
Die folge heisst konvergent wenn es a ∈ R gibt, sodass (an ) gegen a konvergiert.
Sie heisst divergent, wenn sie nicht konvergent ist.
Sie heisst bestimmt konvergent (oder uneigentlich konvergent) gegen ∞ (bzw.−∞)
N : an ≥ k (bzw. an ≤ k) ∀n ∈ N.
∀k ∈ R
∃N ∈
Beispiel 4.0.2
a) a − n = a,
b) limn→∞
1
n
∀n ∈ N Dann limn→∞ an = a
=0
c) ((−1)n )n∈N ist divergent.
Beweis (a):
Sei ε > 0 Dann |an − a| = 0 < ε ∀n ∈ N Beweis (b):
Sei ≥ 0. Nach Folgerung gibt es N ∈ N : n1 ≤ ε.
Für n ≥ N + 1 folgt | n1 − 0| = n1 ≤ N 1+1 < n1 ≤ ε .
Beweis (c):
Annahme konvergent. Sei a Grenzwert. Sei ε = 1 Dann gibt es N ∈ N ∀n ≥ N |a n − a| < 1. Für
n ≥ N gilt: |an − an+1 | = 2 Andererseits gilt:
|an − an+1 | = |an − a + a − an+1 | ≤ |an − a| + |a − an+1 | < 1 + 1 = 2 Widerspruch 14
4
FOLGEN UND VOLLSTÄNDIGKEITSAXIOM
Definition 4.0.5
Sei m ⊆ R
M nach oben beschränkt ⇐⇒ ∃k ∈ R ∀x ∈ M x ≤ k.
k heisst obere Schranke
M nach unten beschränkt ⇐⇒ ∃k ∈ R ∀x ∈ M x ≥ k.
k heisst unter Schranke.
M beschränkt ⇐⇒ ∃k ∈ R∀x ∈ M |x| ≤ k.
Eine Folge (an )n∈N wenn das für die Menge {an , n ∈ mbbN } gilt.
Bemerkung 4.0.3
a) Jede endliche Menge ist beschränkt.
b) Sind M1 , M2 beschränkt dann auch M1 ∪ M2 .
Satz 4.0.4
Jede konvergente Folge ist beschränkt.
Beweis :
Sei a = limn→∞ . Dann gibt es N ∈ N : |an − a| < a ∀n ≥ N. Für n ≥ N gilt:
|an | ≤ |an − a| + |a| ≤ 1 + |a|.
Damit M : 2{an 1 ≤ n < N } beschränkt.
M! := {an ; 1 ≤ n < N } beschränkt, da endlich. Daher {an ; n ∈ N} = M1 ∪ M2 beschränkt. .
Beispiel 4.0.3
a) Fibonacci-Zahlen, Mit Induktion:
an 0 ≥ n∀n ∈ N0
N0 nicht beschränkt Daher (an ) divergent
b) für b ∈ N betrachte (bn )n∈N :
1.Fall |b| < 1
2.Fall b = 1
3.Fall b = −1
dann ist limn→∞ bn = 0
dann ist limn→∞ bn = 1
dann ist limn→∞ bn divergent.
4.Fall |b| > 1 dann ( bn )n∈N nicht beschränkt, also divergent.
Beweis :
Sei ε > 0 nach Folgerung 2.4.3 (d) gibt es n ∈ N mit b1n ≤ ε für n ≥ N + 1 folgt |b n + 0| = bn ≤
|bN · |b| < ε Satz 4.0.5 (Eindeutigkeit des Limes)
Sei (an ) eine Folge R konvergent, limn→∞ an = a, limn→∞ an = a0 Dann a = a0
15
4
FOLGEN UND VOLLSTÄNDIGKEITSAXIOM
Beweis :
Sei ε > 0.
Dann gibt es N ∈ N, sodass |a0 − an | < 2ε für n ≥ N
Dann gibt es N 0 ∈ N, sodass |a0 − an | < 2ε für n ≥ N 0
Für n ≥ max(N, N 0 ) folgt
|a − a0 | ≤ |a − an | + |an − a0 | < 2ε + 2ε = ε
Aus Folgerung (n) : |a − a0 | ≤ 0 Also a = a0 . Folgerung 4.0.4
a) Seien (an ), (bn ) in R konvergent Folgen : an → a, bn → b Dann an + bn → a + b
b) an bn → ab (n → ∞)
c) an − bn → a − b
d) Ist b 6= 0 so gilt es n0 ∈ N mit bn 6= 0 für n ≥ n0 und es gilt
an
bn
→
a
b
e) Aus an ≤ 0∀n ∈ N folgt a ≤ 0.
f) Aus an ≤ bn ∀n ∈ N folgt a ≤ b.
g) Sind A, B ∈ R mit A ≤ an ≤ B∀n ∈ N, dann A ≤ a ≤ B.
Beweis (a):
Sei ε > 0.
Dann existiert N ∈ N ∀n ≥ N :< an − a| ≤ 2ε .
Dann existiert N 0 ∈ N ∀n ≥ N 0 :< |bn − b| ≤ 2ε .
Für n ≥ max(N, N 0 ) folgt:
|an + bn − (a + b)| ≤ |an − a| + |bn − b| < 2ε + 2ε = ε
Beweis (b):
∃K1 ≥ 0 : |an | ≤ K1 ∀n ∈ N
Sei K := max(K1 |b|) es gilt:
|an bn | = an (bn − b) + (an − a)b| ≤ |an ||bn − b|+ < an − a||b| ≤ K(< bn − b| + |an − a|)
ε
Es existiert N : ∀n ≥ N : |bn − b| < 2K
ε
0
Es existiert N’ : ∀n ≥ N : |an − a| < 2K
ε
ε
Für n ≥ max(N, N 0 ) : |an bn − ab| < K( 2K
+ 2K
) = ε
Beweis (c):
−bn = (−1)bn → (−1)b = −b Dann (a). Beweis (d):
∃n0 ∈ N, ∀n ≥ n0 : |bn − b < 12 |b < .
Für n ≥ n0 : |bn =< b − (b − bn )| ≥ |b| − |b − bn | ≥ |b| − 12 |b| = f racb2 > 0.
Wegen (b) genügt es z.z. b1n → 1b .
Sei ε > 0 : ∃N ≥ n0 : ∀n ≥ N : |bn − b| <
|b|2
2 ε.
16
5 SUPREMA VON MENGEN, MONOTONE FOLGEN
Daher | 1b −
1
bn |
<
|b|2
2 ε
= ε.
Beweis (e):
Sei ε > 0 Es gibt N, sodass |a − an | < ε für n ≥ N. Für ngeqN folgt:
a = a − an + an < ε + 0 = ε. Also a ≤ ε. Damit a ≤ 0 Beweis (f):
an − bn → a − b Mit (e)! Beweis (g):
Mit (f)! Definition 4.0.6
(an ) in R heisst Cauchy-Folge⇐⇒ ∀ε > 0
∃N ∈ N : |an − am | < ε
Satz 4.0.6
Sei (an ) in R konvergent. dann ist (an ) ein Cauchy-Folge.
∀n, m ≥ n
Beweis :
a := lim an . Sei ε > 0. Es gibt N so dass |a − an << ε ∀n ≥ N.
Für n.m ≥ N folgt:
|an − am | ≤ |an − a| + |a − am | < 2ε + 2ε = ε Vollständigkeitsaxiom
Jede Cauchy-Folge in R ist konvergent.
Bemerkung 4.0.4
a) Axiome für R sind alle formuliert. In der Definition von Cauchy-Folgen kommt kein Grenzwert
vor! In Q ist nicht jede Cauchy-Folge konvergent.
b) Axiome von R:
Körperaxiome, Ordnungsaxiome, vollständig archiedisch geordneter
Zwei Körper dieser Art sind isomorph zueinander.
5 Suprema von Mengen, monotone Folgen
Definition 5.0.7
Sei M ⊆ R.
Falls M nach oben beschränkt,
s ∈ R Supremum von M: ⇐⇒ s kleinste obere Schranke(⇐⇒ s obere Schranke und für jede obere
Schrnake K gilt s ≤ K)
Bemerkung 5.0.5
s = sup M.
sup M = ∞, falls M nicht nach oben beschränkt ist.
Falls s = sup M ∈ M so heisst s auch Maximum von M s = max M.
Minimum min M
17
5 SUPREMA VON MENGEN, MONOTONE FOLGEN
Satz 5.0.7
Sei ∞ 6= M ⊆ R, nach oben beschränkt.
Dann existiert sup M ∈ R. Es gibt eine Folge (an ) in M , a1 ≤ a2 a3 . . . mit an → sup M.
Entsprechend für inf M
Bemerkung 5.0.6
Im geordneten Körper:
Das Archimedische Axiom und das Vollständigkeitsaxiom ⇐⇒ Existenz von sup M für nach oben
beschränkte Mengen
Folgerung 5.0.5
Sei a ≥ 0, n ∈ N. Dann existiert mit b ≥ mit bn = a
(Bez.: b =
√
1
na = a a )
Beweis :
eindeutig : Aus 0 ≤ b ≤ b1 folgt bn < b1 n .
Existenz: b := sup{x ≥ 0; xn ≤ a}
(max{1, a} ist obere Schranke von {. . .})
Es gibt (xk ) in {. . .}, xk → b =⇒ xnk → bn ≤ a
n
a ≤ (b + k1 ) → bn =⇒ a ≤ bn (∀k) Definition 5.0.8
(an ) in R heisst:
monoton wachsend :⇐⇒ ∀n ∈ N an ≤ an+1
streng monoton wachsend :⇐⇒ ∀n ∈ N an < an+1
streng monoton fallend :⇐⇒ ∀n ∈ N an
geqan+1
Satz 5.0.8
Sei (an ) in R monoton wachsend und beschränkt. Dann (a n ) konvergent.
Beweis :
Nach Satz 5.1.1 besitzt {an , n ∈ N} ein Supremum. Sei ε > 0 Dann gibt es N ∈ N mit a − ε < an
(Somit a − ε obere Schranke von {. . .} Widerspruch zu kleinsten oberen Schranke)
Fr n ≥ N folgt |a − an | = a − an ≤ a − aN < ε
Also a = limn→∞ an Definition 5.0.9
Ist (an ) eine Folge in R und 1 < n1 < n2 < n3 . . . , so heisst (ank )k∈N Teilfoge von an
Satz 5.0.9 (Hilfssatz)
Jede Folge (an ) in R besitz eine monotone Teilfoge.
Beweis :
Der Index n heisse Gipfelstelle wenn gilt:
am ≤ an ∀m ≥ n.
Gibt es unendlich viele Gipfestellen, dann gibt es Gipfelstellen n 1 < n2 < n3 . . . , und (ank ) ist
monoton fallend.
Gibt es nur endlich viele Gipfelstellen, damm gibt n1 größer als alle Gipfelstellen und n2 mit an2 >
an1 , n3 > n2 mit an3 > an2 . . . (ank ) streng monoton wachsend. 18
5 SUPREMA VON MENGEN, MONOTONE FOLGEN
Satz 5.0.10 (Bolzano-Weierstraß)
Jede beschränkte Folge (an ) in R besitzt eine konvergente Teilfolge.
Beweis :
Es gibt monotone Teilfolge, diese ist konvergent. Definition 5.0.10
Ist (an ) eine folge in R so heisst a ∈ R Häufungswert wenn gilt: ∀ε > , ∀N ∈ N ∃n ≥ N :
|an − a| < ε.
Beispiel 5.0.4
a) (1 21 , 13 , 23 , 14 , 24 , 34 , . . .)
Jede Zahl 0 ≤ a ≤ 1 ist Häufungswert.
b) (an ) konvergent =⇒ lim an einziger HW.
Satz 5.0.11
Sei (an ) in R Dann
a HW von (an ) ⇐⇒ (ank ) mit a = limk→∞ ank
Definition 5.0.11
Für (an ) in R:
limn→∞ sup an :=
lend. Limes superior
limn→∞ inf an :=
send. Limes inferior
∞
fallsan nicht nach oben beschränkt ist
sonst monoton fallimn→∞ sup ak , k ≥ n
∞
fallsan nicht nach unten beschränkt ist
sonst monoton wachlimn→∞ inf ak , k ≥ n
Bemerkung 5.0.7
a) Sind ∞ 6= M 0 ⊆ M ⊆ Rdann inf M ≤ inf M 0 ≤ sup M 0 .
b) wegen Satz 5.1.3 existieren lim sup und lim inf
inf{an ; n ∈ N} ≤ lim inf an ≤ lim sup an ≤ sup{an ; n ∈ N}.
Beispiel 5.0.5
a) lim sup(−1)n = 1, lim inf(−1)n = −1
b) ...
19
Index
untere, 15
Supremum, 17
surjektiv, 5
Abbildung, 4
Absolutbetrag, 12
Antisymmetrie, 10
Assoziativität, 1
Teilfolge, 18
Teilmenge, 4
Transitivität, 10
bijektiv, 5
Bild, 4
Binomialkoeffizienten, 3
Umkehrabbildung, 5
Urbild, 4
Cauchy-Folge, 17
Definitionsbereich, 4
Definitionsmenge, 4
Differenzmenge, 4
divergent, 14
Dreiecksungleichung, 12
Durchschnitt, 4
Vereinigung, 4
Wertebereich, 5
Zielmenge, 4
Folge, 14
Grenzwert, 14
Häufungswert, 19
Induktionsanfang, 2
Induktionsaxiom, 1
Induktionsschritt, 2
Induktionsverankerung, 2
induktiv, 11
injektiv, 5
Körper, 9
konvergent, 14
Limes, 14
Maximum, 17
Minimum, 17
Nachfolger, 1
Permutation, 2
Reflexivität, 10
Rekursion, 1
Schranke, 15
obere, 15
20