0 Einleitung A) Historischer Streifzug durch die

Universität Karlsruhe
Institut für Theoretische Physik
Kombinatorische Probleme in der Physik
Wintersemester 2005/2006
Inhalt
0 Einleitung
A) Historischer Streifzug durch die Kombinatorik
B) Beispiel aus der altgriechischen Literatur(Plutarch) und Schroeder-Zahlen
(Schroeders Problem II) OEIS A001003
OEIS = On Line Encyclopedia of Integer Sequences
http://www.research.att.com/˜njas/sequences/
C) Schroeders Problem I und Catalan-Zahlen (A000108)
I Rekursionsformeln und Erzeugende Funktionen
Allgemeines: Ring formaler Potenzreihen
A) Lineare Ketten
1. Endliche harmonische N -Kette mit nächster Nachbarwechselwirkung und festen
Enden
Transfermatrixmethode, Kettenpolynomsysteme {Sn } und {Ŝn }
Eigenschwingungen und Eigenfrequenzen
Jacobi-Matrix. Orthogonale Polynomsysteme (OPS) in einer Variablen,
Satz von Favard
2. Endliche harmonische N -Kette mit freien Enden (Übung)
3. Unendliche harmonische Kette mit N −Elementarzelle und periodischen Randbedingungen definiert
4. Kombinatorische Interpretation der Kettenpolynome: ,, Morse-Kode ‘‘-Polynome
5. Spezialfall monoatomare Ketten und S−Tschebyschew-Polynome
Eigenschaften: Erzeugende Funktion. Differentialgleichung, Rodrigues-Formel,
orthogonales Polynomsystem OP S, Gewichtsfunktion, Kettenbruchnenner,
Binet-de Moivre-Formel, trigonometrische Version
T −Tschebyschew Spurpolynome, explizite Summenform
Spezielle Werte der Sn (x)-Polynome. Anwendung für Graph PN . Nullstellen
Cassini-Identität
Potenzen von 2 × 2 Matrizen, Cayley − Hamilton-Theorem und S−Polynome
mit deren Binet-de Moivre-Formel
6. Unendliche harmonische Kette mit N −Elementarzelle
Spurpolynome TN := (Sp MN )/2. Bloch-Floquet-Lösung mit Phase,
Bänder aus |TN (x)| ≤ 1
Beispiele: N = 2 Bänder, N = 3 (Übung)
Fortsetzung auf S. 2
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-2B) (N + 1)-Term Rekursionsformeln
(N )
(j)
1. Rekursionsformel der sn -Polynome in den Unbestimmten yn−(j−1) , j = 1, ..., N
Interpretation als Strichkode. Kombinatorische Faktoren
2. Spezialfall n−unabhängiger Koeffizienten
(N )
(j)
Explizite Summenformel der sn (σ1 , .., σN )-Polynome (yk ≡ Y (j) → σj ).
3. Anwendung bei symmetrischen Funktionen (Polynomen)
(N )
sn (σ1 , .., σN ) = hn |~σ mit σN +1 = 0 = σN +2 = ...
Definition der elementarsymmetrischen Funktionen {σn }, der monomialen
symmetrischen Funktionen {kn }, der komplettsymmetrischen Funktionen {hn },
auch mit Partitionen λ als Index
Zusammenhang zwischen den erzeugenden Funktionen Σ(t) und H(t).
4. Potenzsummen {pn }
Erzeugende Funktion P (t) und Zusammenhang zur logarithmischen Ableitung von
Σ(t). Newton-Identitäten
Lösung dieser Identitäten: Determinantenformel für r! (−1)r σr aus den Potenzsummen {pn }
Analoge Determinantenformel für hr aus den {σn } und deren Umkehrung.
Später: analoge Formel für r! hr aus den Potenzsummen {pn } als Lösung der
Brioschi-Identitäten
5. Waring-Formel
Lösung der Newton-Identitäten, um die Potenzsummen pr , bzw. die Momente aus
den {σn } zu erhalten
Verallgemeinerte Mehrvariablen-t(N ) −Tschebyschew-Polynome (R. Lidl- Ch. Wells)
(N )
Rekursionsformeln und Zurückführung auf die sn -Polynome via Strichkodeargument. Explizite, iterierte Summenform
C) Fibonacci-Kette
1. 1D quasiperiodische Kette mit zwei rational unabhängigen Vektoren des FourierModuls.
Streifenprojektionsmethode
Zweiwertige quasiperiodische Folge {hn (ϕ)} mit dem goldenen Schnitt ϕ als
irrationaler Zahl.
Fourier-Transformierte, Intensitäten
Beatty-Folgen: {A(n)}, {B(n)} zu vorgegebnen irrationalen x, y mit 1/x + 1/y = 1
Mit x = 1/ϕ: Wythoff-Folgen. {hn (ϕ) ≡ h(n)}-Folge als Substitutionsfolge,
Fibonacci-Baum
Fortsetzung auf S. 3
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-32. Fibonacci-Zahlensystem: Zeckendorf-Darstellung von Zahlen. Sätze dazu.
Wythoff-Folgen aus der Zeckendorf-Darstellung. Kettenbruchtheorieresultate
zum Beweis
Fibonacci-Baum (mit 0 ↔ 1) und Substitutionsfolge {h(n)}
Identitäten zu den Wythoff-Folgen und ihren Iterationen
Abzählfolgen: z(n) für Zahl der A−Zahlen ≤ n; p(n) für Zahl der AB-Zahlen < n;
Wythoff-Darstellung von Zahlen. (Äquivalenz zur Zeckendorf-Darstellung)
3. Fibonacci-Ketten und Kombinatorik
Kettenpolynome in zwei Unbestimmten: {Sn (Y, y)} und {Ŝn (Y, y)}. Rekursion,
Formel aus Strichkode mit Koeffizienten (n; l, k) kombinatorische Bedeutung im
Zeckendorf- bzw. Wythoff-Zahlensystem.
D) Total asymmetrischer Exklusionsprozess (TASEP)
1. Definition des eindimensionalen, getriebenen, stochastischen Kettensystems mit N
Plätzen.
Suche nach der Wahrscheinlichkeitsverteilung im statischen (Langzeit-)zustand:
PN (τ1 , ..., τN ).
2N linear abhängige Gleichungen für die PN ’s, Reservoirparameter α und β,
Symmetrie des Prozesses
(α,β)
(α,β)
Zustandssumme ZN
mit unnormierten fN (τ1 , ..., τN ).
2. Rekursion der N = 3 Kette auf die N = 2 Kette. Verallgemeinert für Rekursion
N → N − 1, N ≥ 2
(α,β)
Lösung der Rekursionsformel über Blockerwartungswerte YN
(K), K = 1, ..., N +1,
(α,β)
(α,β)
mit YN
(N + 1) = ZN . Rekursionsformeln dieser Erwartungswerte
(1,1)
Beispiel YN (K) identifiziert als Unterzahlendreieck des Catalan−Faltungsdreiecks
OEIS A033184
P∞
(α,β)
(α,β)
(N − M + 2) xN ,
Erzeugenden Funktion GYM (x) :=
N =M −1 YN
M = 1, 2, .., als Diagonalenabzähler
Rekursions in M für diese erzeugende Funktionen
Lösung dieser inhomogenen Rekursion mit M -unabhängigen Koeffizienten.
Allgemeiner homogener Fall, dann spezielle Lösung der inhomogenen Rekursion.
(α,β)
(α,β)
(β,α)
Faktorisierte Lösung: GY1
(x) = g1
(x) g1
(x),
(α,β)
(x) := (1 − β − α β x c(α β x))/(1 − β − α x),
mit g1
wobei c(x) die erzeugende Funktion der Catalan-Zahlen ist.
(α,β)
Formel für ZN -Folge ergibt Zweiparameterverallgemeinerte Catalan-Zahlen
(α,β)
CN +1 (siehe OEIS für kleine Zahlen α, β ∈ N0 )
(α,β)
Formel für GYM
(x), M >= 2
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-4(α,β)
3. Mittlere Besetzungswahrscheinlichkeit TN,p (Einpunktfunktion).
Blockerwartungswerte X(α, β; N, p, K), p = 1..N , K = p + 1, ..., N + 1,
(α,β)
mit TN,p = X(α, β; N, p, N + 1)
Rekursion der X(α, β; N, p, K). Umorganisation mit k = K − p statt K:
(α,β)
Zahlendreiecke Xk
(N, p), k = 1, ... und vorgegebene α, β Parameter
(α,β)
(α,β)
TN,p = XN −p+1 (N, p)
Umgeschriebene Rekursionsformeln. Zahlenpyramidenstruktur, mit Niveauabzähler
k = 1, 2, ...
Diagonalabzähler M = 1, 2, ... und Schichtenabzähler s := M − k = 0, 1, ....
(α,β)
(α,β)
Gesucht: TN,p=N +1−M = XM (N, N − M + 1)
P∞
(α,β)
(α,β)
Erzeugende Funktion GXk,M (x) =
(N, N + 1 − M ) xN
N =M Xk
(α,β)
Rekursion dieser erzeugenden Funktionen in k und M mit den GY1
(x) als input.
Erzeugene Funktion für Pyramidenschichten:
P∞
(α,β)
(α,β)
(z, x) = M =s+1 GXM −s,M (x) z M
GXs
Rekursion dieser erzeugenden Funktionenund deren Lösung
Allgemeiner homogener Fall und spezieller inhomogener Fall
(α,β)
Ergebnis für TN,p mittels Catalan−Faltungsdreieck (OEIS A044104)
II Symmetrische Gruppe SN und Schur-Funktionen sλ
A) Einleitung und Überblick
darin: Formeln für sλ aus den Potenzsummen {pn } und irreduziblen Charakteren χλρ
der SN . Definition von Multinomialkoeffizient M 2(n, ρ) mit ρ ` n
Permanente P er(A) (Beispiel: Problème des rencontres als Übung)
Immananten |A|(λ) mit Charakteren χλρ der SN
Brioschi-Identitäten und Determinantenformel für komplett symmetrische Funktionen
hr aus den Potenzsummen {pn } und Permanentenformel.
Schur-Funktionen sλ , λ ` N als Immanante einer gewissen Matrix PN der Potenzsummen. Speziell: s( 1N ) = σN und s( N ) = hN .
Schur-Funktionen als kombinatorische Größen: Definition von spaltenstrengen ebenen
Partitionen
(oder Ferrers)-Diagramm Y λ , λ ` n. Menge cspλ
P (csp) zu πYoungπ

sλ (x) =
π∈cspλ x x · · ·, mit Anzahl der Zahlen j im csp-Element π gleich πj ,
j=1,2,...
Fortsetzung auf S. 5
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-5Definition von Young-Tableaux Yjλ , j = 1, 2, ..., N !
Standardtableaux. Hakenregel zur Bestimmung von f λ , der Zahl der Standardtableaux zu Y λ
Satz über die irreduziblen Matrixdarstellungen der SN und Young-Diagramme Y λ ,
λ ` N , und deren Dimension f λ
B) Permutationen, Konjugationsklassen, Partitionen
1. Permutationen
Gruppeneigenschaften von SN , Reihenfolgefestlegung, Zykelschreibweise,
Transposition
Sätze: a) Jedes π ∈ SN eindeutig (b.a.R.) als elementfreie Zykeln
Zykeltyp und Partitionen in zwei Schreibweisen und deren Umrechnung
Konjugierten Partititonen
b) Jeder k-Zykel, (nicht eindeutig) als Produkt von 2-Zykeln, wobei die
Reihenfolge wichtig ist
c) Aus a) und b): Jede Permutation π ∈ SN als Produkt von Transpositionen.
Parität einer Permutation
über das alternierende Polynom
Q
A(x1 , ..., xn ) := 1≤i<j≤N (xi − xj ).
Als Vandermonde Determinante (Beweis per Induktion als Übung)
Alternierende Gruppe AN der geraden Permutationen
Parität von π ∈ SN aus dessen Zykelzerlegung: identisch mit Parität der Anzahl
Zykeln mit gerader Länge
2. Zykelindexpolynome (Pólyascher Zykelzeiger) für Untergruppe H von SN
Definition Z[H; p1 , ..., pN ] und Formeln für H = e, H = SN , H = AN , H = CN ,
mit der zyklischen Gruppe CN . Ordnung einer Permutation.
Euler-Totient Funktion ϕ(n) (OEIS A000010) und
Teileranzahlfunktion τ (n) (mit 1 und n) (OEIS A000005)
3. Konjugationsklassen in SN und Partitionen von N
Definition der Äquivalenzrelation π1 ∼ π2 : ∃ γ ∈ SN : γ π1 γ −1 = π2 .
Berechnung von π2 aus Anwendung von γ als Substitutionsoperation ∗ auf π1
Satz: π1 ∼ π2 ⇔ π1 und π2 vom selben Zykeltyp.
Konjugationsklassen von SN durch Zykelstruktur, d.h. durch Partitionen von N ,
bestimmt: CjSN , j = 1, ..., p(N )
Partitionsfunktion p(N ) (OEIS A000041). Partitionen von N mit m Teilen und
deren Anzahl (OEIS A008284). Erzeugende Funktionen.
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-6Ordnung von Partitionen: ASt-Ordnung (Abramowitz-Stegun Handbuch, S.831-2),
auch uASt (umgekehrte ASt-Ordnung)
Multinomialzahlen M 2(N, α) als Anzahl der Elemente der Konjugationsklasse
SN
C<1
α1 ,2α2 ,...,N αN >
C) Schur-Funktionen (S−Funktionen) sλ , λ ` n mit Teilezahl m(λ) ≥ N
1. sλ als Quotient zweier Determinanten
Jacobi-Trudi-Identität: sλ als Determinante aus den {hn }
(Beweis: Macdonald S.25, Krishnamurthy S. 225-7)
Analoge Identität: sλ als Determinante aus den {σn }
PN
Beweis aus der bekannten Identität r=0 σr hN −r = 0 und
Determinantentechnik (Macdonald S.15, (2,9’))
2. Basen im Vektorraum (über Q) der symmetrischen Funktionen (Polynome) ΛN
Basis in ΛN : {kλ }, daraus andere Basen {σλ }, {hλ }, {pλ } und {sλ }
P
P
>
Übergangsmatrizen: sλ = µ Jλ,µ hµ und kλ =
µ Jλ,µ sµ
P
P
>
Zu beweisen über sλ =
ρ Kλ,ρ sρ , mit
ρ Kλ,ρ kρ und hλ =
der Kostka-Matrix K, deren Einträge kombinatorische Zahlen sind.
Kλ,µ := |cstλ | mit: die Zahlen j ∈ {1, 2, ..., m} kommen µj mal in spaltenstrengem
verallgem. Tableau (cst) zu Young-Diagramm λ vor.
Beweise aus der kombinatorischen Interpretation der Schur-Funktionen
(Krishnamurthy Buch S.228, (22), S. 229, [23))
J> = K−1 .
P
Übergangsmatrix N ! sλ = ρ Cλ,ρ pρ , um später die irreduziblen Charaktere
χλ ρ der SN als Cλ,ρ /|CρSN | zu berechnen.
Krishnamurthy Buch, S. 239, Ex. 6∗ und S. 278)
3. Frobenius-Schur-Charakterformel
Sätze zu endlichen Gruppen verwendet: Zahl der (inäquiv.) irreduziblen
komplexen (Matrix-)Darstellungen ist Klassenzahl (für SN also p(N )).
Orthogonalitätsrelation für irreduzible Darstellungen und deren Charaktere
Reguläre Darstellung D der Dimension N! (reduzibel)
Permutationsmatrixdarstellung (Dimension N)
Von einer Untergruppe H induzierte Darstellung einer Gruppe G und deren
Charaktere
Für G = SN und die Young-Untergruppen Hλ zu Partititon λ ` N
mit trivialer Darstellung der Untergruppe.
Fortsetzung auf S. 7
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-7Beweis, dass der zusammengesetzte Charakter tatsächlich einfach (irrreduzibel)
ist (Krishnamurthy P
Buch, S. 271-2)
P
χλ
Endresultat: pρ = λ χλρ sρ und Umkehung N ! sλ =
ρ gρ ρ pρ mit
gρ := M 2(N, rho)
Beweis: Schurfunktion sλ als Immanante einer gewissen Matrix PN .
(à la B. G. Wybourne: Symmetry Principles and Atomic Spectroscopy)