Signaltransport in Koaxialkabeln

Signaltransport in Koaxialkabeln
Inhaltsverzeichnis
SIGNALTRANSPORT IN KOAXIALKABELN .......................................... 1
SKRIPT .................................................................................................. 1
1.
VERWENDUNGSZWECK UND AUFBAU DES KOAXIALKABELS .........................................1
2.
ERSATZSCHALTBILD DES KOAXIALKABELS .................................................................2
2.1
Berechnung des Kapazitätsbelags................................................................2
2.2
Berechnung des Induktivitätsbelags..............................................................3
3.
TELEGRAPHENGLEICHUNG UND W ELLENWIDERSTAND ................................................4
4.
PHASEN- UND GRUPPENGESCHWINDIGKEIT EINER WELLE ..........................................6
5.
ABSCHLUßWIDERSTAND UND REFLEXIONEN...............................................................8
6.
IMPULSVERTEILER .................................................................................................10
7.
DARSTELLUNG VON DÄMPFUNG UND REFLEXION AM OSZILLOSKOP...........................11
VERSUCHSANLEITUNG ........................................................................... 13
1.
BEDIENUNG DES OSZILLOSKOPS .............................................................................14
2.
SIGNALÜBERTRAGUNG IN VERSCHIEDENEN KABELN .................................................14
3.
ABSCHLUßWIDERSTAND UND REFLEXION IM KOAXIALKABEL ......................................14
4.
FREQUENZABHÄNGIGKEIT DER DÄMPFUNG ..............................................................16
5.
VERTEILERSCHALTUNG ..........................................................................................16
LITERATURVERZEICHNIS .................................................................. 17
Signaltransport in Koaxialkabeln (Skript)
1
Skript
1. Verwendungszweck und Aufbau des Koaxialkabels
Zur Übertragung von Energie oder Informationen
zwischen einzelnen Geräten oder Schaltungsteilen
werden Leitungen verwendet. Verbindung zwischen
Geräten sollten weitgehend unbeeinflußt von äußeren elektromagnetischen Störfeldern sein. Aus diesem Grund verwendet man dazu oft sog. Koaxialkabel. Das sind Kabel, die aus einem Innenleiter, der
Seele, und einem dazu konzentrisch angeordneten
zylinderförmigen Außenleiter bestehen. Der dazwischenliegende Raum ist durch ein Dielektrikum ausgefüllt. Der Außenleiter, der meist auf einem konstanten Potential gehalten wird, dient gleichzeitig zur Abb. 1: Aufbau und im folgenden verwendetes
Abschirmung gegen Störfelder.
Schaltzeichen eines Koaxialkabels
1
Im folgenden wird die Theorie zur Wellenausbreitung in langen Koaxialkabeln, d.h. in Kabeln
deren Länge groß gegenüber der Wellenlänge ist, erläutert.
Zusammenfassung
!
Koaxialkabel bestehen aus einem Innenleiter (Seele) und einem zylindrischen Außenleiter (Abb. 1).
!
Durch die spezielle Geometrie des Koaxialkabels dient der Außenleiter auch als Abschirmung gegen Störfelder.
1
[19] S. 13
Signaltransport in Koaxialkabeln (Skript)
2
2. Ersatzschaltbild des Koaxialkabels
Wie jeder stromdurchflossene Leiter erzeugt der Innenleiter des Koaxialkabels ein Magnetfeld, dessen
Feldlinien konzentrischen Kreisen um die Kabelachse
folgen. Legt man eine Wechselspannung an, so muß
man die Induktivität des Kabelabschnitts, den sog.
Induktivitätsbelag L′ bei der Widerstandsberechnung
Abb. 2: Ersatzschaltbild eines Kabelab-
berücksichtigen.
schnitts
Die Bezeichnung „Belag“ bedeutet, daß man die Größe pro Längeneinheit meint. Man kennzeichnet sie meist durch einen Strich. Außerdem kann man den Kabelabschnitt auch als Zylinderkondensator auffassen, d.h., er hat einen Kapazitätsbelag C′ . Diese beiden Größen
muß man auch bei einem idealen Koaxialkabel in die Ersatzschaltung (Abb. 2) einbeziehen.
Bei einem realen Koaxialkabel kommt hinzu, daß die Signalleitung sicher einen ohmschen
Widerstandsbelag R′ hat und außerdem ein gewisser Strom über die Isolierung vom Innenzum Außenleiter fließt. Diesen beschreibt man durch einen Leitwertbelag G′ .
2.1 Berechnung des Kapazitätsbelags
Zunächst wird nur ein Leiter der Länge l betrachtet. Auf diesem Draht mit Außenradius ri
sei die Ladung Q homogen verteilt, d.h., die Linienladungsdichte λ soll auf dem Leiter konstant sein. Aus Symmetriegründen müssen die elektrischen Feldlinien bekanntlich senkrecht
!
auf dem Leiter stehen. Mit dem Gaußschen Gesetz
!
Q
∫" E ⋅ dA = ε ⋅ ε0
soll die elektrische
S
Feldstärke außerhalb des Leiters berechnet werden. Als Integrationsfläche wählt man die
Oberfläche eines Zylinders, der den Leiter konzentrisch umschließt. Da das elektrische Feld
senkrecht auf dem Leiter steht, liefert nur die Mantelfläche des Zylinders einen Beitrag zum
Integral. Auf ihr ist wegen der Symmetrie der Betrag des elektrischen Feldes konstant E ( r ) ,
wobei r den Abstand zwischen dem Mittelpunkt des Innenleiters und der Mantelfläche angibt. Man erhält:
∫"
Mantelfläche
!
!
Q
λ⋅l
1 λ
E ⋅ dA = E ( r ) ⋅ 2πr ⋅ l =
=
⇒ E(r) =
εε0
εε0
2πεε0 r
(1)
Nun geht man zum Koaxialkabel über. Hier erzeugt die Ladung Q auf dem Innenleiter gemäß Formel (1) ein elektrisches Feld. Auf dem Außenleiter mit dem Radius ra sitzt die La-
Signaltransport in Koaxialkabeln (Skript)
3
dung −Q . Diese trägt aber nicht zum elektrischen Feld im Inneren des Zylinders bei, was
man durch Anwendung des Gaußschen Gesetzes erkennt. Wenn der Integrationsbereich
den Außenleiter beinhaltet, ist die Gesamtladung gleich Null, und deshalb existiert außerhalb
des Koaxialkabels kein elektrisches Feld. Nun kann man die Potentialdifferenz zwischen
Innen- und Außenleiter bestimmen und die Kapazität berechnen. Es gilt:
ra
ϕ ( ra ) − ϕ ( ri ) = −∫
ri
ra
Q
1
Q
r
E ( r ) dr = −
dr = −
ln a
∫
2πεε 0 ⋅ l r
2πεε 0 ⋅ l ri
ri
−1
⇒C=
 r 
Q
= 2πεε0 ⋅ l ⋅  ln a 
 ri 
U


Damit ergibt sich der Kapazitätsbelag zu C′ = 2πεε 0 ⋅  ln

−1
ra 
 .
ri 
2.2 Berechnung des Induktivitätsbelags
Man betrachtet einen Abschnitt eines Koaxialkabels der Länge l . Zunächst wird mit dem
!
Ampèreschen Gesetz
!
∫" B ⋅ ds = µµ 0I
das Magnetfeld B berechnet. Als Integrationskurve
C
wählt man einen Kreis mit Radius r um den Innenleiter des Koaxialkabels. Ist r < ri , so
erhält man das Magnetfeld im Innenleiter. Es fließt nicht der gesamte Strom durch die Kurve
C , sondern nur der Anteil IC =
∫"
C
πr 2
I . Damit liefert das Ampèresche Gesetz:
πri2
! !
µµ 0
r2
B ⋅ ds = B ( r ) ⋅ 2πr = µµ 0IC = µµ 0 2 I ⇒ B ( r ) =
I ⋅ r,
ri
2πri2
r < ri
Für Werte von r zwischen ri und ra fließt der gesamte Strom durch die Integrationskurve
und es gilt:
∫"
C
! !
µµ
1
B ⋅ ds = B ( r ) ⋅ 2πr = µµ 0I ⇒ B ( r ) = 0 I ⋅ ,
2π
r
ri < r < ra
Ist der Radius r größer als der Radius ra des Außenleiters, so fließt durch den Kreis um den
Innenleiter sowohl der Strom im Innenleiter, als auch der im Außenleiter. Diese sind vom
Betrag her gleich, fließen aber in unterschiedliche Richtungen. Deshalb ist der Gesamtstrom
Null und damit B = 0 . Nun berechnet man die magnetische Energiedichte w m . Da das
Magnetfeld innerhalb des Innenleiters in der Praxis sehr klein ist, kann es im folgenden ver-
Signaltransport in Koaxialkabeln (Skript)
4
nachlässigt werden. Dann trägt zur Energiedichte nur der Bereich zwischen den beiden Leitern bei. Es gilt:
wm =
µµ I2 1
B2
= 02 ⋅ 2
2µµ 0
8π
r
Durch Integration über das Volumen, in dem das Magnetfeld herrscht, erhält man die im Magnetfeld gespeicherte Energie Wm :
Wm =
∫
µµ 0I2
wmdV =
8π2
∫
µµ 0I2
1
dV =
r2
8π2
ra
1
∫ r2 ⋅ 2πlrdr
ri
2 ra
µµ 0I l 1
µµ 0I2l
r
=
⋅ ln a
dr =
∫
4π
r
4π
ri
ri
Die gespeicherte Energie kann man aber auch mit Hilfe der Formel Wm =
1 2
LI berechnen.
2
Daraus folgt:
L=
µµ
µµ l
r
2Wm
r
= 0 ⋅ ln a bzw. L′ = 0 ⋅ ln a
2
2
π
r
2
π
ri
I
i
Zusammenfassung
!
Ein Koaxialkabel wird durch das Ersatzschaltbild in Abb. 2 beschrieben.
!
Bei einem idealen Koaxialkabel muß man seinen Induktivitäts- und Kapazitätsbelag berücksichtigen, beim realen Kabel kommen der Widerstands- und Leitwertbelag hinzu.
!
 ra −1
µµ 0
r
′
Es gilt: C = 2πεε 0 ⋅  ln  und L′ =
⋅ ln a
 ri 
2π
ri
3. Telegraphengleichung und Wellenwiderstand
Wie in der komplexen Wechselstromlehre üblich, werden in diesem Abschnitt komplexe
Ströme und Spannungen, die von der Zeit abhängen, durch eine Unterstreichung gekennzeichnet. Sind die Größen zusätzlich ortsabhängig, so werden sie fett und kursiv gedruckt.
Signaltransport in Koaxialkabeln (Skript)
5
Man betrachtet einen Kabelabschnitt der Länge
dx . Im Innenleiter fließt der Strom i ( x, t ) .
Dann fällt über dem ohmschen Widerstand und
der Induktivität eine Spannung ab. Mit dem
Ohmschen Gesetz Z =
u
⇔ u = Z ⋅ i erhält
i
man, daß sich die Spannung am Ende des infiAbb. 3: Kabelabschnitt der Länge dx
2
nitesimalen
Leitungsstücks
( R´dx + jωL′dx ) i
verringert hat.
um
Daraus erhält man:
∂u
= − ( R′ + jωL′ ) i
∂x
(2)
Da über die Kapazität und den endlichen Widerstand der Isolierung Strom vom Innenleiter
zum Außenleiter fließt, wird auch der Strom im Innenleiter auf der Strecke dx kleiner, nämlich wegen Y =
1
i
= ⇔ i = Y ⋅ u um ( G′dx + jωC′ dx ) u . Also gilt:
Z
u
∂i
= − ( G′ + jωC′ ) u
∂x
(3)
Damit erhält man für die Ortsabhängigkeit der elektromagnetischen Wellen im Koaxialkabel
durch Differenzieren von (2) und Einsetzen in (3) die sog. Telegraphengleichung:
∂2 u
= ( R′ + jωL′ )( G′ + jωC′ ) u
∂x 2
(4)
Für den Strom berechnet man analog:
∂2 i
= ( R ′ + jωL′ )( G′ + jωC′ ) i
∂x 2
Daraus erkennt man, daß die Ortsabhängigkeit von Strom und Spannung durch eine Exponentialfunktion mit dem Argument
( R′ + jωL′ )( G′ + jωC′ ) ⋅ x
gegeben ist. Die Zeitab-
hängigkeit der Funktionen wird durch eine komplexe e-Funktion beschrieben. Deshalb sind
gedämpfte harmonische Wellen Lösungen dieser Gleichungen:
ˆ ⋅ e jωt−γx = U
ˆ ⋅ e jωt ⋅ e−γx = u ⋅ e−γx
u ( x, t ) = U
2
[10] S. 495
(5)
Signaltransport in Koaxialkabeln (Skript)
6
i ( x, t ) = ˆI ⋅ e jωt−γx = ˆI ⋅ e jωt ⋅ e−γx = i ⋅ e−γx
Dabei heißt γ = α + jβ =
(6)
( R′ + jωL′ )( G′ + jωC′ )
die Ausbreitungskonstante oder die
komplexe Dämpfungskonstante. α beschreibt die Dämpfung, β =
2π
die Wellenzahl. Aus
λ
Gleichung (2) und der Lösung (5) der Telegraphengleichung erhält man für den Zusammenhang zwischen Spannung und Strom:
∂u
= −γ ⋅ u ⋅ e−γx = −i ( R′ + jωL′ ) = −i ⋅ e−γx ( R′ + jωL′ )
∂x
Den Quotienten aus Spannung und Strom Z =
u
R ′ + jωL′
=
=
i
γ
R ′ + jωL′
nennt man
G′ + jωC′
Wellenwiderstand oder charakteristische Impedanz des Kabels. Für ideale Koaxialkabel ist
R = G = 0 und deshalb der Wellenwiderstand reell: Zideal =
stante ist wegen γ
ideal
L′
. Die AusbreitungskonC′
= jω L′C′ rein imaginär und die Schwingung wird, wie erwartet,
nicht gedämpft.
Zusammenfassung
!
Die Ortsabhängigkeit der elektromagnetischen Welle im Koaxialkabel wird durch die Telegraphengleichung (4) beschrieben.
!
Lösungen der Telegraphengleichung sind gedämpfte harmonische Wellen (siehe (5) und
(6)).
!
Die Ausbreitungskonstante γ = α + jβ der Welle ist komplex. α bestimmt die Dämpfung, β bezeichnet man als Wellenzahl.
!
Z=
u
=
i
R ′ + jωL′
bezeichnet man als Wellenwiderstand des Koaxialkabels. Im
G′ + jωC′
idealen Kabel gilt: Zideal =
L′
.
C′
4. Phasen- und Gruppengeschwindigkeit einer Welle
Als
Lösung
der
Telegraphengleichung
wurde
in
Gleichung
(5)
ˆ ⋅ e jωt−γx = U
ˆ ⋅ e j( ωt−βx ) ⋅ e−αx angegeben. Dies ist eine Welle, die in Zeit und
u ( x, t ) = U
Ort periodisch ist. Für die Periodendauer T und die Wellenlänge λ gilt der Ausdruck
Signaltransport in Koaxialkabeln (Skript)
7
ωt − βx = ω ( t + T ) − β ( x + λ ) . Die Ausbreitungs- oder Phasengeschwindigkeit der
Welle findet man, indem man in dieser Gleichung z.B. t = x = 0 setzt:
v ph =
λ
ω
=
T
β
Meist sollen über das Kabel Signale übertragen werden. Diese bestehen aus Überlagerungen mehrerer Wellen, deren Frequenz und Wellenzahl etwas verschieden ist. Zur Vereinfachung kann man sich vorstellen, daß das Signal nur aus zwei Wellen f1 ( x, t ) = e j( ω1t−β1x )
und f2 ( x, t ) = e j( ω2t−β2x ) besteht. Das Signal f ( x, t ) wird dimensionslos geschrieben, da
es
sowohl
ω :=
eine
Spannung,
als
auch
einen
Strom
repräsentieren
kann.
Mit
ω1 + ω2
β + β2
ω − ω2
β − β2
, β := 1
, ∆ω := 1
, ∆β := 1
gilt:
2
2
2
2
f ( x, t ) = e j( ω1t−β1x ) + e j( ω2t−β2x ) = e jω1t ⋅ e− jβ1x + e jω2t ⋅ e− jβ2x
=e
j
ω1 +ω2
t
2
−j
⋅e
β1 +β2
x
2
ω −ω
β −β
 j ω1 −ω2 t − jβ1 −β2 x
j 2 1t
−j 2 1 x 
2
2
⋅ e 2 ⋅ e
+e 2 ⋅e
=


⋅ e− j∆βx + e− j∆ωt ⋅ e j∆βx  =
= e jωt ⋅ e− jβx ⋅  e j∆ωt
= e jωt ⋅ e− jβx ⋅  e j( ∆ωt−∆βx ) + e− j( ∆ωt−∆βx )  =
= e jωt ⋅ e− jβx ⋅ 2 cos ( ∆ωt − ∆βx )
Die Frequenz ω und die Wellenzahl β der entstehenden Welle entspricht in etwa der der
sich überlagernden Wellen, aber ihre Amplitude wird durch die Frequenz ∆ω und die
Wellenzahl ∆β moduliert. Die Änderung der Amplitude wird durch die Einhüllende
2 cos ( ∆ωt − ∆βx ) beschrieben. Die Geschwindigkeit, mit der sich die einhüllende Welle
bewegt, nennt man Gruppengeschwindigkeit v gr =
∆ω
dω


→
.
∆→
0
∆β
dβ
Für ein ideales Koaxialkabel ist (siehe 3. Telegraphengleichung und Wellenwiderstand)
γ ídeal = jω L′C′ und damit βideal = ω L′C′ . Daraus erhält man eine Phasengeschwindigkeit von v ph
ideal
=
ω
βideal
=
1
. Da diese von der Frequenz unabhängig ist, stimmt sie
L′C′
mit der Gruppengeschwindigkeit überein.
Betrachtet man ein Koaxialkabel mit Widerstandsdämpfung, d.h. R′ ≠ 0 , aber G′ = 0 , so
folgt
durch
Ausrechnen
von
Real-
und
Imaginärteil
von
Signaltransport in Koaxialkabeln (Skript)
γ = α + jβ =
8
( R′ + jωL′ )( G′ + jωC′ ) = ( R′ + jωL′ ) jωC′ ,
daß die Wellenzahl β
nicht linear von der Frequenz abhängt:
β = ω L′C′
1 
R′2 
ωR′C′
 und α =
1
1
+
+

2 ′2 
2 
2β
ω L 
Dann ist die Phasengeschwindigkeit frequenzabhängig, d.h., es tritt Dispersion auf, und Phasen- und Gruppengeschwindigkeit sind verschieden.
Zusammenfassung
λ
ω
= aus.
T
β
!
Eine Welle breitet sich mit der Phasengeschwindigkeit v ph =
!
Signale bestehen aus einer Überlagerung von Wellen. Sie bewegen sich mit der Gruppengeschwindigkeit v gr =
dω
.
dβ
= v grideal =
1
L′C′
!
Im idealen Koaxialkabel gilt: v ph
!
Im Allgemeinen (z.B. im realen Koaxialkabel) sind Phasen- und Gruppengeschwindigkeit
ideal
verschieden, da die Phasengeschwindigkeit frequenzabhängig ist (Dispersion).
5. Abschlußwiderstand und Reflexionen
Am Ende eines endlich langen Kabels
mit einem Abschlußwiderstand R wird
die Welle reflektiert. Die ankommende
Welle hat die Momentanwerte u e und
i e , die reflektierte Welle ur und ir . Am
Abschlußwiderstand
mißt
Spannung u R = u e + u r .
man
die
Schaltung 1: Berechnung des Reflexionsfaktors
3
Durch den Widerstand fließt der Strom iR = i e − ir . Außerdem gilt Z0i e = u e , Z0ir = u r
und RiR = u R . Durch Kombination der Gleichungen erhält man:
3
[19] S. 14
Signaltransport in Koaxialkabeln (Skript)
u e + u r = u R = Ri R = Ri e − Rir = R
9
ue
u
−R r
Z0
Z0


R
R 
⇒ u e  1 −  = −u r  1 +


Z0 
Z0 

R
1−
Z0
Z −R
R − Z0
u
⇒ ρ := r = −
=− 0
=
R
ue
Z0 + R
R + Z0
1+
Z0
Der Reflexionsfaktor ρ kann dabei Werte zwischen −1 und +1 annehmen und hängt beim
idealen Kabel nicht von der Frequenz ab. Es gibt drei Spezialfälle:
•
R = 0 ⇒ ρ = −1 (Kurzschluß): Das Signal wird vollständig reflektiert und die Polarität
der Spannung umgekehrt.
•
R = Z0 ⇒ ρ = 0 (Anpassung): Es treten keine Reflexionen auf.
•
R = ∞ ⇒ ρ = 1 (Leerlauf): Das Signal wird mit gleicher Polarität reflektiert.
Die Überlegungen zur Reflexion kann man sich leicht an einem mechanischen Analogon
veranschaulichen. Man stellt sich z.B. ein Seil vor, dessen eines Ende man in der Hand hält,
und dessen anderes Ende an einer Wand unbeweglich befestigt ist. Läßt man nun einen
Wellenberg auf dem Seil zur Wand laufen, so übt, wenn dieser das Seilende erreicht, das
Wandende des Seils auf die Wand eine Kraft aus und erfährt, wegen actio gegengleich
reactio, eine genauso große, aber entgegengerichtete Kraft. Diese verursacht einen Wellenberg, der in umgekehrter Richtung läuft und dessen Auslenkung in die entgegengesetzte
Richtung des einlaufenden Wellenbergs zeigt. Der einlaufende Wellenberg wurde also an
der Wand reflektiert und seine Polarität umgekehrt, was ρ = −1 entspricht.
Ist das Ende des Seils nicht starr an einer Wand, sondern durch einen Ring, der an einem
Stab gleiten kann, beweglich befestigt, so erfährt das Ende des Seils keine Gegenkraft, da
der Ring ausgelenkt wird, wenn der Wellenberg dort einläuft. Durch die Auslenkung wird ein
in entgegengesetzter Richtung laufender Wellenberg erzeugt, der die gleiche Polarität hat
wie der einlaufende. Deshalb gilt hier ρ = 1 .
Verbindet man zwei Seile unterschiedlicher Massenbelegung, so wird ein Teil des Wellenberges an der Verbindungsstelle reflektiert und der restliche Teil weitergeleitet. Dies entspricht Reflexionskoeffizienten ρ mit ρ ∈ ]−1;1[ \ 0 . Haben die beiden verbundenen Seile
die gleiche Massenbelegung, so kann man sich vorstellen, man würde mit einem einzigen
Seil der entsprechenden Gesamtlänge experimentieren. Dann ist klar, daß an der Verbindungsstelle der gesamte Wellenberg weitergeleitet wird und keine Reflexion auftritt. In diesem Fall ist ρ = 0 .
Signaltransport in Koaxialkabeln (Skript)
10
Die obigen Überlegungen zum Abschlußwiderstand gelten analog für den Widerstand R E
am Anfang des Kabels. Denn wenn am Ende des Kabels ein Teil der Welle reflektiert wird,
kommt dieser wieder am Kabeleingang an und wird dort je nach Abschlußwiderstand wieder
reflektiert. Dabei kann R E zum Teil oder vollständig aus dem Innenwiderstand der Signalquelle bestehen. Bei einer Kette aus durch Kabel verbundenen Geräten sollte deshalb stets
Eingangs-, Ausgangs- und Kabelimpedanz gleich sein, um Reflexionen zu vermeiden. Typischerweise werden Geräte und Kabel mit einer Impedanz von 50 Ω verwendet.
Zusammenfassung
!
Eine Welle kann am Ende eines Kabels reflektiert werden. Der Reflexionsfaktor beträgt
ρ=
R − Z0
. Das Vorzeichen von ρ bestimmt, ob die Polarität der Welle bei der RefleR + Z0
xion umgekehrt wird.
R = 0 ⇒ ρ = −1
R =∞⇒ρ=1
R = Z0 ⇒ ρ = 0
!
Es gibt die Spezialfälle:
!
Man verwendet deshalb Geräte und Kabel gleicher Impedanz (meist 50 Ω ), um Reflexio-
Kurzschluß
Leerlauf
Anpassung
nen am Anfang oder Ende der Kabel zu vermeiden.
6. Impulsverteiler
Um ein Signal am Ausgang
eines Kabels A mit der Impedanz Z0 in n Kabel gleicher Impedanz zu verzweigen, verwendet man einen
sog.
angepaßten Impuls-
verteiler.
Schaltung 2: angepaßter Impulsverteiler
4
Darin sind n + 1 Widerstände R enthalten, deren Größe man dadurch bestimmt, daß alle
Kabel am Verteiler abgeschlossen sein sollen. Für die n parallel geschalteten Kabel berechnet man den Ersatzwiderstand:
4
[19] S. 16
Signaltransport in Koaxialkabeln (Skript)
11
R + Z0
1
1
1
1
n
=
+
+ ... +
=
⇒ R ers =
R ers
R + Z0 R + Z0
R+Z
R + Z0
n
#$$$$$$$$$$$$$$
$$%$$$$$$$$$$$$$$$$0&
n −mal
Ist das Ende des Kabels A reflexionsfrei abgeschlossen, so gilt:
R + R ers = R +
Z0 + R
n −1
= Z0 ⇒ R ( n + 1 ) = Z0 ( n − 1 ) ⇒ R = Z0
n
n +1
Bei dieser Verzweigung wird das Signal natürlich um den Faktor n abgeschwächt. Deshalb
müssen zur verlustfreien Verzweigung spezielle Zwischenverstärker eingesetzt werden. Ein
Zweifachverteiler für ein 50 Ω -Kabel besteht nach obiger Rechnung aus drei 17 Ω Widerständen und schwächt das Signal um den Faktor zwei.
Zusammenfassung
!
Ein angepaßter Impulsverteiler, der ein Signal reflexionsfrei in n Kabel verzweigt,
besteht aus n + 1 Widerständen der Größe R = Z0
!
n −1
(Schaltung 2).
n +1
Ein Impulsverteiler schwächt das Signal um den Faktor n .
7. Darstellung von Dämpfung und Reflexion am
Oszilloskop
Bereits im Abschnitt 3. Telegraphengleichung und
Wellenwiderstand wurde festgestellt, daß im realen Koaxialkabel die Amplitude einer Welle abnimmt. Dies läßt sich durch den Dämpfungskoeffizienten α beschreiben, in den die Beläge
R′ und G′ eingehen.
5
[19] S. 17
Schaltung 3: Darstellung von Dämpfung und
Reflexion
5
Signaltransport in Koaxialkabeln (Skript)
12
Mit Hilfe von Schaltung 3 lassen sich Reflexion
und Dämpfung am Oszilloskop sichtbar machen.
Zur Zeit t0 erzeugt die Signalquelle einen Rechteckimpuls. Dieser läuft mit der Geschwindigkeit v
in der Zeit τ zum Ende der Leitung der Länge l
und wird dort mit ρ e = 1 reflektiert. Wenn er zur
Zeit t0 + 2τ wieder am Anfang des Kabels angelangt ist, wird er dort mit ρa = −1 reflektiert
Abb. 4: Ausgangsspannung von Schaltung 3
6
und so weiter.
Die Spannung am Ende der Leitung u a wird mit dem Oszilloskop beobachtet (Abb. 4). Dieses hat einen hohen Eingangswiderstand, so daß der Ausgang trotzdem als offen betrachtet
werden kann. Die Amplitude des Signals nimmt exponentiell ab. Aus der Höhe der Impulse
kann man die Dämpfungskonstante bestimmen:
u a ( t0 + ( 2n + 1 ) τ )
u ( t + ( 2n + 1 ) τ )
1
= e−α 2nl ⇒ α =
ln a 0
u a ( t0 + τ )
2nl
u a ( t0 + τ )
Bei diesem Verfahren muß der Impulsgenerator einen vernachlässigbaren Innenwiderstand
haben, damit der geforderte Reflexionsfaktor am Eingang erreicht wird, und außerdem sollte
der Abstand zwischen zwei Impulsen so groß sein, daß die Reflexionen abgeklungen sind.
Ist der Innenwiderstand des Impulsgenerators oder ein zusätzlicher Eingangswiderstand
wesentlich größer als 50 Ω , so werden die Signale am Eingang ohne Polaritätsumkehr reflektiert.
Die Dämpfung ist frequenzabhängig. Ab etwa 107 Hz sorgt der Skin-Effekt7 dafür, daß der
Widerstandsbelag R′ mit der Wurzel der Frequenz ansteigt und auch die Dämpfung zeigt
deshalb eine
ω -Abhängigkeit.
Zusammenfassung
!
Dämpfung und Reflexionen lassen sich mit Schaltung 3 am Oszilloskop sichtbar machen.
!
Der Dämpfungskoeffizient α hängt von der Frequenz ab. Wegen des Skin-Effekts steigt
er mit dem Faktor
6
7
ω an.
[19] S. 17
Den Effekt, daß hochfrequente Wechselströme nicht mehr im gesamten Leiterquerschnitt, sondern nur in einer
dünnen Oberflächenschicht des Leiters fließen, bezeichnet man als Skin- oder Stromverdrängungseffekt.
Signaltransport in Koaxialkabeln (Versuchsanleitung)
13
Versuchsanleitung
Vorbereitung
Verwendungszweck und Aufbau eines Koaxialkabels; Ersatzschaltbild eines Koaxialkabels;
Berechnung
des
Telegraphengleichung
Kapazitätsbelags;
und
Berechnung
Wellenwiderstand;
des
Abschlußwiderstand
Induktivitätsbelags;
und
Reflexionen;
Dämpfung; Impulsverteiler
Literatur
Für den Versuch notwendige Kenntnisse:
!
Skript „Signaltransport in Koaxialkabeln“
Zur Vertiefung:
!
Rost, Albrecht; Grundlagen der Elektronik: Ein Einstieg für Naturwissenschaftler und
Techniker, 3. vollst. überarb. und erg. Aufl., Berlin: Akademie, 1992
!
Schwetlick, Horst; Kessel, Werner; Elektronikpraktikum für Naturwissenschaftler, hrsg.
von Bethge, Klaus, 1. Aufl., Braunschweig, Wiesbaden: Vieweg, 1992
!
Straumann, Marc; Heidelberg, 22. April 1999, http://mathphys.fsk.uniheidelberg.de/skripte/Files/Physik/Elektronik/elektronik_straumann.ps
!
Weddigen, Christian; Jüngst, Wolfgang; Elektronik: Eine Einführung für
Naturwissenschaftler und Ingenieure mit Beispielen zur Computer-Simulation, 2.
neubearb. und erw. Aufl., Berlin u.a.: Springer, 1993
Technische Daten der verwendeten Geräte und Kabel
Koaxialkabel RG 174 U:
Wellenwiderstand: ( 50 ± 2 ) Ω
Kapazitätsbelag: 101
Impulsgenerator:
pF
m
Versorgungsspannung: 8 …12 V
Ausgangswiderstand: 1 kΩ
Oszilloskop:
Eingangsimpedanz: 1 MΩ, 30 pF
Signaltransport in Koaxialkabeln (Versuchsanleitung)
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1. Bedienung des Oszilloskops
Verbinden Sie den Impulsgenerator über ein kurzes
Koaxialkabel (ca. 0, 5 m ) mit dem Oszilloskop. Bestimmen Sie für beide Schalterstellungen (Rechteck und
Nadel) die Amplitude, die Breite (in halber Höhe), den
zeitlichen Abstand und die Folgefrequenz der Impulse.
Schaltung 4
Skizzieren Sie die Form der Impulse.
2. Signalübertragung in verschiedenen Kabeln
Verwenden Sie den Funktionsgenerator in der Schalterstellung „Nadel“.
a) Tauschen Sie das kurze Koaxialkabel gegen zwei Laborkabel unterschiedlicher Länge
aus und beobachten Sie das Signal beim Bewegen, Schlaufenlegen und Verdrillen der
Kabel.
a) Verwenden Sie ein längeres Koaxialkabel (ca. 1 m ) und vergleichen Sie die am Oszilloskop abgelesenen Werte mit denen, die Sie bei einem kurzen Koaxialkabel und den Laborkabeln erhalten haben.
3. Abschlußwiderstand und Reflexion im Koaxialkabel
Bei den folgenden Aufgaben ist es nötig, die Triggerung so
einzustellen, daß alle Impulse innerhalb einer Impulsgruppe
sichtbar sind. Ist für die Triggerung Kanal 1 gewählt und ist
die Zeitablenkung so eingestellt, daß nur eine Impulsgruppe
am Bildschirm dargestellt wird, so ist der erste Impuls an
Kanal 1 (nämlich der, der den Triggerimpuls auslöst) nicht
sichtbar. Dies kann man dadurch vermeiden, daß man die
Zeitablenkung so justiert, daß man zwei Impulsgruppen am
Oszilloskop
erkennen
kann
und
dann
die
Schaltung 5
Taste
„ X-MAG.×10 “ drückt.
Dadurch sinkt die Intensität ab, was man aber nachregeln kann. Nun kann man mit dem
Regler „ x-Pos. “ das Signal am Bildschirm abschnittsweise darstellen. Vor dem Zurückschalten in den normalen Betrieb des Oszilloskops ist die Intensität wieder zu verringern.
Signaltransport in Koaxialkabeln (Versuchsanleitung)
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a) Bestimmen Sie die zeitliche Verzögerung im Kabel. Berechnen Sie daraus die Signalgeschwindigkeit im Kabel in Einheiten von c . Bestimmen Sie unter der Annahme, daß es
sich um ein ideales Kabel mit Wellenwiderstand 50 Ω handelt, den Induktivitäts- und den
Kapazitätsbelag.
b) Lesen Sie die Amplituden der Impulse ab, und überlegen Sie, was das Oszilloskop tatsächlich anzeigt und berechnen Sie unter Berücksichtigung des Reflexionsfaktors am
Kabelanfang den Dämpfungskoeffizienten (mit Fehlerfortpflanzungsrechnung). Tragen
Sie außerdem Amplitude und Laufstrecke so auf, daß Sie aus dem Diagramm den
Dämpfungskoeffizienten ablesen können.
c) Schließen Sie das Potentiometer an das Ende des Kabels an. Beobachten Sie die Signale am Oszilloskop bei R = 100 Ω , und suchen Sie den Widerstandswert, bei dem das
Kabel abgeschlossen ist. Bestimmen Sie mit dem Multimeter den eingestellten Widerstandswert (Die Skala am Potentiometer liefert falsche Werte!).
d) Stellen Sie 10 Ω am Potentiometer ein (mit Multimeter messen), und bestimmen Sie die
Amplituden der Impulse. Vergleichen Sie sie mit Ihren theoretischen Erwartungen (Sie
kennen die Widerstände an den Enden des Kabels und den Dämpfungskoeffizienten).
e) Schalten Sie um auf Rechteck, und variieren Sie den Widerstandswert. Skizzieren und
erklären Sie ihre Beobachtungen für 0 Ω , 50 Ω und 100 Ω .
f) Variieren Sie den Abschlußwiderstand und erklären Sie das Zustandekommen und die zeitlichen
Abstände der Impulse in Schaltung 6.
Schaltung 6
Signaltransport in Koaxialkabeln (Versuchsanleitung)
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4. Frequenzabhängigkeit der Dämpfung
Messen Sie in Schaltung 7 die Spannungsamplitude des
Signals in Abhängigkeit der Frequenz f (Frequenzbereich
0,1 … 50 MHz , mindestens 20 Meßpunkte).
Wählen Sie dabei für die Amplitude am Kabelanfang
durch Nachregeln am Frequenzgenerator einen gut ablesbaren Wert (z.B. 50 mV oder 100 mV ).
Schaltung 7
Uin
Uout
Berechnen Sie aus diesen Daten den Dämpfungskoeffizienten α ( ω ) =
, und tragen
100 m
ln
Sie die Werte über der Kreisfrequenz ω auf. Versuchen Sie, wenn Sie den Versuch an einem PC mit entsprechender Software (z.B. Excel oder Origin) auswerten, eine Funktion an
die Meßwerte anzupassen, und ermitteln Sie deren Funktionsgleichung und statistische Aussagen über die Güte der Anpassung (z.B. χ2 -Test).
5. Verteilerschaltung
Bestimmen Sie in Schaltung 8 die Abschwächung des Verteilers, und erklären Sie,
was passiert, wenn z.B. das 40 m Kabel
nicht mit 50 Ω abgeschlossen ist. Kann in
einer Verteilerschaltung ein nicht angepaßter
Empfänger andere Empfänger stören?
Schaltung 8
Literaturverzeichnis
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Literaturverzeichnis
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