Kapitel 7: Das allgemeine Lebesgueintegral

Kapitel 7: Das allgemeine Lebesgueintegral
1. Es seien f und g zwei Treppenfunktionen auf X , die nicht notwendig die
gleichen Werte annehmen. Konstruieren Sie eine Zerlegung C1 , ..., CN von X
derart, dass
f (x) =
N
X
ai ICi (x)
und
g(x) =
N
X
i=1
bi ICi (x)
i=1
gilt, wobei die ai und die bi nicht notwendig verschieden sind.
2. Es sei f eine nichtnegative messbare Treppenfunktion, die für zwei messbare Zerlegungen B1 , ..., Bm und C1 , ..., Cn die Darstellungen
f (x) =
m
X
bi IBi (x) =
i=1
n
X
ci ICi (x)
i=1
besitzt. Zeigen Sie
Z
f (x)µ(dx) =
m
X
bi µ(Bi ) =
i=1
n
X
ci µ(Ci ).
i=1
3. Es sei (X , F) ein messbarer Raum und
1 für x0 ∈ A,
δx0 (A) =
0 für x0 ∈
/ A,
das im Punkt x0 konzentrierte δ−Maß und A1 , A2 , A3 eine messbare Zerlegung. Sei µ = 2δx0 und f = 3IA1 + IA2 − 4IA3 .
a) Begründen Sie, dass f bezüglich µ integrierbar ist.
b) Berechnen Sie die möglichen Werte von
Z
f (x)µ(dx),
wenn x0 alle Punkte von X durchläuft.
4. Es sei f ∈ L1 (µ) und g eine messbare Funktion mit |g| ≤ |f |. Zeigen Sie,
dass dann auch g ∈ L1 (µ) gilt.
1
5. Zeigen Sie, dass für jede messbare Funktion f gilt
Z
f (x)δx0 (dx) = f (x0 ).
Hinweis: Verwenden Sie die Standarderweiterungstechnik!
6. Es seien f und g nichtnegative messbare Treppenfunktionen und a, b ≥ 0.
Zeigen Sie
Z
Z
Z
(af (x) + bg(x))µ(dx) = a f (x)µ(dx) + b g(x)µ(dx).
Hinweis: Verwenden Sie Aufgabe 2, um die Funktionen af (x) + bg(x), af (x)
und bg(x) mit Hilfe einer Zerlegung darzustellen.
7. Es seien f, g ∈ L1 (µ). Zeigen Sie für ein endliches Maß µ
Z
Z
f dµ − gdµ ≤ sup |f (x) − g(x)|µ(X ).
x∈X
8. Es sei λ das Lebesguesche Maß auf der reellen Achse. Berechnen Sie
folgende Integrale:
R
a) (3I[0,1) (x) + 4I(1/2,9] (x))λ(dx),
R
b) xI[0,1] (x)λ(dx).
Hinweis: für b) Konstruieren Sie durch Zerlegung des Intervalls [0, 1] in Teilintervalle der Länge 1/n eine Folge von Treppenfunktionen, die die Funktion
xI[0,1] (x) gleichmäßig approximieren.
9. Es seien ai nichtnegative Zahlen sowie xi ∈ X . Sei f eine messbare Funktion auf X und
∞
X
µ=
ai δxi
i=1
ein Maß. Zeigen Sie
P
a) f ∈ L1 (µ) ⇔ ∞
i=1 ai |f (xi )| < ∞,
b) für f ∈ L1 (µ) gilt
Z
f (x)µ(dx) =
∞
X
i=1
2
ai f (xi ).
10. Es sei λ das Lebesguesche Maß. Berechnen Sie den Wert µ([1, 2]) für
µ = λ ◦ T −1 und folgende Abbildungen T : R → R.
a) T (x) = x2 ,
b) T (x) = 3x2 − 4x + 12,
c) T (x) = exp{x2 }.
11. Es sei Q die Menge der rationalen Zahlen und λ das Lebesguesche Maß.
Zeigen Sie λ(Q) = 0.
R
12. Es sei f (x) = IQ (x). Berechnen Sie I[0,1] (x)f (x)λ(dx).
R1
Existiert das Riemannsche Integral 0 f (x)dx?
13. Es seien (Xi , Ai ), i = 1, 2 messbare Räume. Zeigen Sie, dass das System
der endlichen Vereinigungen von Produktmengen A1 ×A2 , A1 ∈ A1 , A2 ∈ A2 ,
eine Mengenalgebra bilden.
14. Es sei f (x) eine nichtnegative messbare Treppenfunktion Funktion auf
R. Zeigen Sie, dass
Bf = {(x, y) : 0 ≤ y ≤ f (x), a ≤ x ≤ b}
zur σ-Algebra B ⊗ B gehört, wobei B die σ−Algbra der Borelmengen der
reellen Achse ist.
Hinweis: Stellen Sie f als Linearkombination von Indikatorfunktionen dar.
15. Es sei f (x) eine nichtnegative stetige Funktion auf R. Zeigen Sie, dass
Bf = {(x, y) : 0 ≤ y ≤ f (x), a ≤ x ≤ b}
zur σ-Algebra B ⊗ B gehört, wobei B die σ-Algbra der Borelmengen der
reellen Achse ist.
Hinweis: Konstruieren Sie durch Zerlegung des Intervalls [a, b] eine Folge
von Treppenfunktionen fn , die monoton fallend gegen f streben. Zeigen Sie
dann,
∞
\
Bf =
Bfn .
n=1
16. Es seien µ1 , µ2 Maße auf (X , A), a1 , a2 nichtnegative Zahlen und f eine
reelle messbare Funktion auf X . Das Maß µ sei definiert durch µ = a1 µ1 +
a2 µ2 . Zeigen Sie
f ∈ L1 (µ)
⇔
f ∈ L1 (µi ), i = 1, 2,
3
und das unter der Bedingung f ∈ L1 (µ)
Z
Z
Z
f (x)µ(dx) = a1 f (x)µ1 (dx) + a2 f (x)µ2 (dx)
gilt.
17. Es sei (X , A) = (R, B) und µ = 13 δ1 + 13 λ. Berechnen Sie
Z
I[0,3] (x)x3 µ(dx).
18. Es sei (X , A) = (R, B) und das Maß ν sei mit Hilfe des Lebesgueschen
Maßes λ und der Dichte
−x
e , für x ≥ 0,
f (x) =
0,
für x < 0.
R
definiert durch ν(A) = A f (x)dx. Berechnen Sie
Z
xν(dx).
[−3,5)
4