1. Exkurs in die naive Aussagenlogik

0. GRUNDLAGE
1.
Exkurs in die naive Aussagenlogik
Aussagen: A,B sind sprachliche Gebilde, die genau einen der Wahrheitswert W(wahr), F(falsch) haben.
(tertium non datur)
Beispiele:
-
- Das gröÿte Insekt ist der Elefant (F)
32 + 42 = 52
(W)
x1 , x2 mit x1 + x2 = 0 und x1 − x2 = 2 (W)
x mit x3 + 10x2 + 5x + 1 = 0 (W)
2
- Es gibt eine reelle Zahl xmit x + 1 = 0 (F)
- Jede gerade natürliche Zahl n ≥ 4 ist Summe zweier Primzahlen (4 = 2 + 2, 6 = 3 + 3, 8 = 5 + 3...)
- Es gibt reelle Zahlen
- Es gibt eine reelle Zahl
Golbachische Vermutung
Gegenbeispiele: - Freie Fahrt für freie Bürger
- Sein oder nicht sein
- Mehr Licht!
Zsammenhang von Aussagen A,B,C:
wenn A, dann B
Beispiele: -
n∈N
Wenn
n2
gerade, dann ist
n
gerade (W)
- Wenn der der 11.11.2111 ein Montag ist, dann ist der 12.11.2111 ein Dienstag
- A:1
+1=0
Beweis: Aus
(F) B: 2 = 2 (W)
1 + 1 = 0 folgt 0 = 1 + 1
und daraus
2=1+1=1+1=2
- Wenn die Straÿe nass ist, hat es geregnet (F)
Wahrheitstafel:
A
B
wenn A, dann B
W
W
W
W
F
F
F
W
W
F
F
W
Allgemeine Formulierung für wenn A, dann B
- Aus A folgt B
- B ist notwendig für A
- A ist hinreichend für B
- A impliziert B
Wenn A dann B ist wahr, falls B aus A gefolgert werden kann
formale Implikation
In Zeichen:
inhaltliche Implikation
A⇒B
A
B
A oder B
A und B
W
W
W
W
W
F
W
F
F
W
W
F
F
F
F
F
Beispiel:
A⇒B
und
B⇒A
wird abgekürzt als
A⇔B
1
also
2=2
0. GRUNDLAGE
Sprachweise:
A⇔B
A


2


genau dann wenn
dann und nur dann wenn
B


(ist) quivalent (zu)
wahr, heiÿt A,B haben den gelcihen Wahrheitswert
Negation:
¬A
A
W
F
F
W
n, m ∈ N
n gerade , ¬A n ungerade
n = m , ¬A n 6= m
B ⇒ C , ¬A B ; C
Beispiel:
A
A
A
Tautologien (immer wahr):
- nicht (nicht A)
⇔A
(doppelte negation)
- nicht (A und (nicht A)) ausgesch. Widerspruch
- (A und (nicht A))⇒B
- (A
⇒ B )⇔ ((nicht B) ⇒ (nicht A))
Zusammenfassung:
A
B
A⇒B
A oder B
A und B
A⇔B
W
W
W
W
W
W
W
F
F
W
F
F
F
W
W
W
F
F
F
F
W
F
F
W
Verabredung:
Die formale Inplikation
A⇒B
ist wahr, wenn B aus A logisch gefolgert werden kann. (inhaltliche Impli-
kation)
Tautologien: (Aussagen, die immer wahr sind)
•
•
•
•
doppelte Neagtion : ¬(¬A) ⇔ A
Ausgeschlossener Widerspruch: ¬(A und (¬A))
exfaso quodlibet: (A und (¬A)) ⇒ B
Kontraposition: (A ⇒ B) ⇔ ((¬B) ⇒ (¬A))
Beweis der Kontraposition:
A
B
A⇒B
(¬B) ⇒ (¬A) ¬B
¬A
W
W
W
W
F
W
F
F
F
W
F
F
W
W
W
F
W
F
F
W
W
W
W
F
Beispiel:
n gerade Zahl, dann gilt:
n2 gerade ⇒ n gerade
A
B
Beweis durch Kontraposition:
¬B : n ungerade ⇒ n = 2k + 1 , k ∈ N
⇒ n2 = (2k + 1)2 = 4k 2 + 4k + 1 = 2(2k 2 + 2k) + 1 = 2l + 1
ungerade
⇒ ¬A
A: Für alle (jedes)
x
gilt E
,
l∈N
0. GRUNDLAGE
B: Es gibt (existiert) ein
x
3
mit F
Beispiel:
A:
Alle Bielefelder Ampeln sind rot.
¬A:
Es gibt eine Bielefelder Ampel, die nicht rot ist.
B: Alle Schaafe sind weiÿ.
¬B :
Es gibt ein Schaaf, dass nicht weiÿ ist.
Verabredung:
Negation von A,b wie oben ist
¬A: Es gibt ein x mit ¬E
¬B : Für alle x gilt ¬F
Weitere Beispiele:
x mit x2 + 1 = 0
2
Zahlen x ist x + 1 6= 0
C: Es gibt eine Reelle zahl
¬C :
Für alle reellen
2.
Mengen
Georg Contor (1845-1916) in Beitrag zur Begründung der transnierten Mengenlehre (1895)
Denition: Unter einer Menge verstehen wir jede Zusammenfassung M von bestimmten wohlunterschieden
Objekten m unserer Anschaung oder unseres Denkens (welche der Elemente von M genannt werden (m
zu einem Ganzen.)
Anageb von Mengen durch:
{1, 2, 3} , M = {x1 , ..., xn }
M = {x | x hat Eigenschaf t E}
Beispiel: M = {x | x sitzt jetzt in H6 und hat Geburtsatg} =
6 ∅
Aufzählung ihrer Elemente:
Eigenschaften:
N := {0, 1, 2, 3, 4, ....} Menge der natürlichen Zahlen
N. := {1, 2, 3, ...} Menge der positiven natürlichen Zahlen
Z := {0,
Zahlen
n ±1, ±2, ±3, ...} Menge der Ganzen o
Q := x | X = pq f r ganze Zahlen p, q, q 6= 0
R := {x | x ist reelle Zahl} Menge der reellen
∅ := {x | x 6= x} leere Menge
[a, b] := {x | x ist reelle Zahl und a ≤ b ≤ b}
Menge der rationalen Zahlen
Zahlen
∈ M)
0. GRUNDLAGE
x∈M
x∈
/M
heiÿt, x ist Element von M z.B.
√
4
2 ∈√R
2∈
/Q
heiÿt, x ist nicht Element von M z.B
Denition:
Eine Menge N heiÿt
Teilmenge
von M (N
⊆ M ),
falls für jedes
x
gilt:
x∈N ⇒x∈M
Anschaulich:
Beispiele:
• ∅⊆M ⊆M
• {1, 2, 3} ⊆ N. ⊆ N ⊆ Z ⊆ Q ⊆ R ⊆ [a, b]
• x ∈ M ⇔ {x} ⊆ M
Gleichheit von Mengen N,M:
x∈M ⇔x∈N
bzw:
M ⊆N
(nicht
und
N ⊆M
N ⊆ M)
bedeutet: Es gibt
Potenzmenge: eine Menge
M
ist
x
mit
x∈N
und
x∈
/M
P (M ) := {N | N ⊆ M }
Beispile:
• M = {0, 1}, P (M ) = {∅, {0} , {1} , {0, 1}}
• P (∅) = {∅} , P (∅) = {∅, {∅}}
Mengenverknüpfung von Mengen M,N:
Durchschnitt: M ∩ N := {x | x ∈ M und x ∈ N }
Vereinigung: N ∪ M := {x | x ∈ M oder x ∈ N }
Dierenz: M \ N := {x | x ∈ M und x ∈/ N }
(Menge aller Teilmengen)
0. GRUNDLAGE
5
Karthesisches Produkt: M × N := {(m, n) | m ∈ M, n ∈ N }
Beispiele:
• R \ Q =Menge der iarrtionalen reellen
• R × R =: R2 Ebene, (1, 2) 6= (2, 1)
Zahlen
Für Mengen M1 , ..., Mk haben wir auch:
• M1 ∩ ... ∩ Mk :=
k
T
Mi := {x | x ∈ Mi f r alle i = 1, ..., k}
i=1
• M1 ∪ ... ∪ Mk :=
k
S
Mi := {x | x ∈ Mi f r alle i = 1, .., k}
i=1
k
• M1 × ... × Mk := × Mi := {(x1 , ..., xk ) | xi ∈ Mi , i = 1, ..., k}
i=1
Für
M = M1 = ... = Mk
schreibt man
M1 × ... × Mk = M k
M ∗, eine Menge von Mengen , z.B. M ∗ ⊆ P (M )
• ∩M.∗ := {x | x ∈ M f r alle M ∈ M.}
• ∪M.∗ := {x | x ∈ M f r ein M ∈ M.}
Betrachte
•
Bsp:
speziell: M. = {m1 ...Mk } ⇒ ∩M. =: M1 ∩ ... ∩ Mk =:
∩P (M ) = ∅ , ∪P (M ) = M
Bertrand Russell (1872-1970)
M ∗ := {M | M M enge mit M ∈
/ M}
ist Menge nach Cantor
dann bedeutet:
k
T
i=1
Mi
äquivalent gilt es für
S
0. GRUNDLAGE
6
M∗ ∈ M∗ ⇒ M∗ ∈
/ M ∗ ⇒ M ∗ ∈ M ∗ , d.h. M ∗ ∈
/ M∗ ⇔ M∗ ∈ M∗
Ausweg: Axiomatische Mengenlehre.
3.
Abbidungen
Denition:
Seinen
X, Y
Mengen. Eine Abbildung von
Dieses wird mit
f (x)
Y ordnet jedem x ∈ X
xunter f genannt.
nach
genau ein
f
f : X → Y oder X → Y
x 7→ f (x) x zugeordnet f (x)
Im Zeichen:
bzw:
X
X
bezeichnet und Bild von
heiÿt Denitionsbereicht und
Y
heiÿt Wertebereicht von
f
Beispiele:
f : R → R , x 7→ f (x) := x2
Gerade: f : R → R , x 7→ f (x) := ax + b , a, b ∈ R f est
Konstanten: f : M → N , x 7→ f (x) := c , c ∈ N f est

+1 f r x > 0

• Signum: f : R → R , x 7→ f (x) −1 f r x < 0


0
sonst
•
•
•
Normalparabel:
(
1 fr x ∈ Q
• Charakteristische Funktion von Q: f : R → {0, 1} , x 7→ f (x) :=
0 sonst
• f := +R × R → R , (x, y) 7→ x + y das selbe gilt für ∗ und −und für Z, Q
•
Projektionen:
Veranschaulichung:
X
→
Y
1.proj
2.proj
M ← M × N → N , m ← (m, n) → n
y ∈ Y zu.
0. GRUNDLAGE
7
Denition: f : X → Y Abbildung, A ⊆ X , B ⊆ Y , dann heiÿt
f (A) := {f (x) | x ∈ A} ⊆ Y Bild von A unter f
(f ← (B) =) f −1 (B) := {x ∈ X | f (x) ∈ B} Urbild von B unter f
Veranschaulichung:
Bew:
f : X → Y denierte Abbildung
f : P (X) → P (Y ) , A 7→ f (A)
Spetialfall:
B = {y} , y ∈ Y
f −1 : P (Y ) → P (X) , B 7→ f (B) , Schreibweise:
f −1 ({y}) =: f −1 (y) ⊆ X
Bsp:
√
√ 
 y, − y
f : R → R , x 7→ x2 , f −1 (y) = {0}


∅
fr > 0
fr y = 0
fr y < 0
Denition:
Eine Abbildung
 f : X → Y heiÿt: 


 mindestens 
 surjektiv 
injektiv
hchstens
, wenn jedes y ∈ Y




bijektiv
genau
Bsp:
f
wie oben ist weder sujektiv noch injektiv
Veranschaulichung:
Weitere Beispiele:
ein Urbild unter
f
hat.
0. GRUNDLAGE
• f : R → R , x 7→ x(x − 1)(x + 1)
wegen f (−1) = f (0) = f (1) = 0
• f : R. → R , x 7→
wegen
f (x) 6= 0
ist surjektiv, aber nicht injektiv
1
x ist injektiv aber nicht surjektiv
(n
und
f
−1
8
.
(y) = x ∈ R | y =
1
x
=
1
y
o
f r y 6= 0
∅
sonst
Lemma: Für jede Abbildung f
(1)
(2)
(3)
: X → Y gelten:
f surjektiv ⇔ Bild f := f (X) = Y
f injektiv ⇔ Für alle x, x0 ∈ X gilt: f (x) = f (x0 ) ⇒ x = x0
f bijektiv ⇔ f injektiv und surjektiv
Beweis:
(1) ⇒: Wegen Bild
Sie also
y∈Y
⇐: Sie
y∈Y
(2) ⇒: Seien
⇐ Seien
(3) Klar
f = f (X) ⊆ Y (immer!) genügt es Y ⊆ Bild f zu zeigen.
⇒
y hat ein Urbilf x ∈ f −1 (y) ⇒ f (x) = y 3 Bild f
beliebig
⇒
f (X)=Y
f surjekt.
Es gibt
x ∈>
mit
0
y = f (x) ⇒ y
0
. Das Zeigt
Y ⊆ Bild f
hat (mind.) ein Urbild
0
x, x ∈ X bel. mit f (x) = f (x ) =: y ⇒ x, x ∈ f −1 (y) höchstens einmalig ⇒ x = x0
x, x0 Urbilder von y unter f ⇒ f (x) = f (x0 ) = y ⇒ x = x0 ⇒ f −1 (y) höchtens einelementig.
Denition:
Sind
f : X → Y und g : Y → Z Abbildungen,
x → f (f (x)) eine Abbildung g ◦ f : X → Z
so wird durch
g nach
f
gegeben, das
Kompositum g
nach
f.
Kommutative Diagramme von Abbildungen:
Lemma:
(1)
f ◦ idX = f = idY ◦ f
Neutralität der Indentitäten (klar)
(2)
h ◦ (g ◦ f ) = (h ◦ g) ◦ f
Assoziativität
f
g
h
(X −→ Y −→ Z −→ W )
Beweis(von b): (h ◦ (g ◦ f ))(x) = h((g ◦ f )(x)) = h(g(f (x))) = (h ◦ g)(f (x)) = ((h ◦ g) ◦ f )(x) für alle x ∈ X
f
Lemma: Seien X −→
Y
g
−→ Z
Abbildungen
A⊆X
,
C⊆Z
dann gilt:
0. GRUNDLAGE
(1)
(2)
(3)
(g ◦ f )(A) = g(f (A))
−1
(g ◦ 
f )−1 (C) = f −1
 (g (C))
 surjektiv 

injektiv
f, g
⇒g◦f



bijektiv
surjektiv
injektiv
bijektiv


9



g surjektiv

f injektv
⇒



g surjektivf injektiv
Beweis:
(1) klar
(2)
(3)
(g ◦ f )−1 (C) = {x ∈ X | g(f (x)) = (g ◦ f )(x) ∈ C} = x ∈ X | f (x) ∈ g −1 (C) = f −1 (g −1 (C))
−1
(g ◦ f )−1 (z) = f −1
(g (z)) für alle−1z ∈ Z wegen 2. Also:
surjektiv
g (z) 6= ∅ und damit (g ◦ f )−1 (z) = f −1 (g −1 (z)) 6= ∅
f, g
⇒
injektiv
g −1 (z) höchtens eindeutig und damit auch (g ◦ f )−1 (z) = f −1 (g −1 (z))


Z = (g ◦ f )(X) = g(f (X)) ⊆ g(Y ) ⊆ Z ⇒ g(Y ) = Z


g surjektiv
f (X)⊆Y
⇒
⇒
f injektiv
g◦f injekt.


f (x) = f (x0 ) ⇒ (g ◦ f )(x) = g(f (x)) = g(f (x0 )) = (g ◦ f )(x0 )
=⇒
x = x0
Denition:Eine abbildung g :
Y → X heiÿt Umlenkabbildung
g ◦ f = idX und f ◦ g = idY
Falls f eine Umkehrabbildung g hat, heiÿt es umkehrbar.
Lemma: g, g0
von
f : X →Y,
wenn gilt:
f : x → Y ⇒ g = g0
Umkehrabildungen von
d.h. Umkehrabbildungen sind eindeutig bestimmt;
Schreibweise: g = f −1 : Y → X
Beweis: g = g ◦ idY
= g ◦ (f ◦ g 0 )
Assoz.
=
(g ◦ f ) ◦ g 0 = idX ◦ g 0 = g 0 Beispiele:
√
√
• f : R → R , x 7→ f (x) := x3 , f −1 (y) := 3 y ,f −1 = 3
• f : R. → R. , x 7→ f (x) := x1 , f −1 = f wegen (f ◦ f )(x) = f (f (x)) = f ( x1 ) =
Satz: f
: X→Y
umkehrbar
⇔f
1
1
x
=x
für alle
bijektiv
Beweis:
⇒
g ◦ f = idX
injektiv ,
f ◦ g = idY
surjektiv
=⇒ j
s.o
injektiv und surjektiv, also bijektiv
−1
⇔ f (y) eindeutig für alle y ∈ Y
Bezeichung: f
(y) =: {g(y)} ⊆ X
liefert Abbildung g : Y → X und es gilt für jedes x ∈ X :
(g ◦ f )(x) = g(f (x)) ∈ f −1 (f (x)) 3 x ⇒ (g ◦ f )(x) = x bzw (g ◦ f ) = idX
Für jedes y ∈ Y gilt:
(f ◦ g)(y) = f (g(y)) = y für alle y ∈ Y bzw (f ◦ g) = idY
| {z }
⇐ f bijektiv
−1
∈f −1 (y)
Auswahlaxiom: f
surjektiv
⇒ Es
gibt
g
und
f
mit
f ◦ g = idY
x∈R
0. GRUNDLAGE
4.
Berechung der Summe der ersten
n+1
10
Vollständige Induktion
ungeraden natürlichen Zahlen
n=0
n=1
n=2
n=3
n=4
1=1
1+3=4
1+3+5=9
1 + 3 + 5 + 7 = 16
1 + 3 + 5 + 7 + 9 = 25
allegemein:
(n + 1)2
Prinzip der Vollständigen Induktion:
Aussagen
A(n)
n ∈ N bewiesen, wenn folgendes zutrit:
A(0) ist wahr
Für beliebiges n ∈ N gilt. A(n) ⇒ A(n + 1)
sind für allr
Induktionsanfang: (IA):
Induktionsschritt: (IS):
Beweis der Vermutung:
A(0) : 1 = 12
2
IS: Sei n ∈ N bel. dann gilt: A(n) : 1 + 3 + ... + (2n + 1) = (n + 1) ⇒ 1 + 3 + .. + (2n + 1) + ((2n + 1) + 1) =
IA:
A(n)
(n + 1)2 + 2(n + 1) + 1 = ((n + 1) + 1)2 = A(n +1)
n
nP
P
Schreibweise:
ak := am + am+1 + ... + an =
ai
n
P
ak := 0
k=m
Rechenregeln:
n
P
ak +
i=m
k=m
n
P
n
P
bk =
k=m
n+l
P
k=m
k=m+l
ak =
n<m
b · ak = b
k=m
n
P
k=m
n
P
für
ak
k=m
(ak + bk )
k=m
ak−l
n
P
für
m≤n
0. GRUNDLAGE
Folgerung1:
n
P
2k = n(n + 1)
k=1
Beweis:
n
P
n
P
2k =
2k =
((2k + 1) − 1) =
= (n + 1 − 1)(n + 1) = n(n + 1) Folgerung2:
n
P
k=
k=1
n(n+1)
2
Beweis:
n
P
k=1
k=
1
2
n
P
k=1
2k =
n(n+1)
2
n
P
k=0
k=0
k=0
k=1
n
P
(2k + 1) −
n
P
k=0
1 = (n + 1)2 − (n + 1)
11