Zahlentheorie und Kryptologie, Wintersemester 2012/13 M

Zahlentheorie und Kryptologie, Wintersemester 2012/13
M. Hortmann
Blatt 11
bitte heften Sie dieses Blatt vor Ihre Lösungen
Namen
Gruppe
Tutor
bearbeitet
1
2a
b
c
d
Summe
1
1
1
1
1
2 Pkte=100%
Aufgabe 1
Sei b1 ,… , bn eine Basis des ℝn .
Im Gram-Schmidt-Prozeß wird daraus eine Orthogonalbasis1:
*
b1 :=b1
*
i +1
b
i
*
< bi , b j >
:=bi+1−∑ μ i j b mit μi j := * * .
< b j ,b j >
j =1
*
j
Wählt man ein festes δ mit 1/4<δ≤1 , so nennt man die Basis b1 ,… , bn LLL-reduziert mit
Reduktionskoeffizient δ , wenn 1≤ j<i≤n → μ i j<1/2 und 1≤i<n → (δ−μ 2i+1 i )∥b*i ∥2≤∥b*i+1∥2
.
−16 −29 7 −6
20
2
19 43
Rechnen Sie mit Pari oder Sage nach: die Spaltenvektoren der Matrix
−5
8
28 −17
16 −9 13 18
bilden eine LLL-reduzierte Basis; bestimmen Sie den zugehörigen maximalen
Reduktionskoeffizienten. Was ist die geometrische Interpretation der μi j ?
(
1 bei dieser Konstruktion keine Orthonormalbasis!
)
Aufgabe 2
∞
a) Zeigen Sie
∏
n=2
( )
1−
1
1
= .
2
2
n
∞
b) Zeigen Sie, daß für z ∈ℂ ,∣z∣<1 gilt:
1
(1+z 2 )=
.
∏
1− z
n=0
n
∞
( nz ) ?
c) Für welche z ∈ℂ konvergiert das Produkt ∏ 1+
n=1
∞
( nz )exp(− nz ) in ganz ℂ absolut und lokal gleichmäßig
d) Man zeige, daß das Produkt ∏ 1+
n=1
konvergiert.
( nz ) einen "konvergenzerzeugenden Faktor".
(Man nennt im obigen Produkt exp −
Eine Folge von Funktionen f n : ℂ →ℂ konvergiert lokal gleichmäßig, wenn es zu jedem z 0 ∈ℂ ein
δ>0 gibt, so daß ∀ ϵ>0 ∃n 0∈ℕ∀ m , n≥n 0 ∀ z ∈ℂ : ∣z −z 0∣<δ → ∣ f n ( z )− f m (z )∣<ϵ . Eine lokal
gleichmäßig konvergente Folge stetiger Funktionen ist stetig und eine lokal gleichmäßig
konvergente Folge komplex analytischer Funktionen ist komplex analytisch. Also wird durch obiges
Produkt eine komplex analytische Funktion gegeben. Diese Funktion besitzt offenbar Nullstellen
genau in den negativen ganzen Zahlen.)