Analysis I

Institut für Analysis, Dynamik
und Modellierung
Prof. Alexander Mielke
WiSe 2003/04
05. November 2003
Blatt 5
Analysis I
Aufgabe 18: (schriftlich, 6 Punkte) In dieser Aufgabe soll gezeigt werden, dass sich die ganzen Zahlen
Z mittels Äquivalenzklassenbildung in N × N einführen lassen. Auf N × N wird die Relation ∼ definiert
def
durch (m1 , n1 ) ∼ (m2 , n2 ) ⇐⇒ m1 + n2 = m2 + n1 .
a) Prüfen Sie, dass es sich bei ∼ um eine Äquivalenzrelation auf N × N handelt. Skizzieren Sie die
Äquivalenzklassen von ∼ als Teilmengen von N × N.
def
b) Man definiert die Addition +Z durch [(m1 , n1 )]∼ +Z [(m2 , n2 )]∼ = [(m1 + m2 , n1 + n2 )]∼ . Ist diese
Definition unabhängig von der Auswahl der Repräsentanten? Hinweis: Zeige: Ist (m1 , n1 ) ∼ (m̂1 , n̂1 )
und (m2 , n2 ) ∼ (m̂2 , n̂2 ), dann gilt (m1 + m2 , n1 + n2 ) ∼ (m̂1 + m̂2 , n̂1 + n̂2 ).
c) Geben Sie das neutrale Element der Addition +Z an und finden Sie zu jedem Element [(m, n)]∼ das
inverse Element.
d) Wie muss die Multiplikation ·Z zweier Äquivalenzklassen definiert werden? Zeigen Sie die Repräsentantenunabhängigkeit der Definition anhand eines nichttrivialen Beispiels.
Aufgabe 19: In der Vorlesung wurden vier ,,ehrliche Würfel” gezeigt (deren sechs Seiten mit derselben
Wahrscheinlichkeit erscheinen). Die Würfel sind so beschriftet:
Würfel A
004444
Würfel B
222266
Würfel C
333333
Würfel D
111555
a) Stellen Sie eine Tabelle auf, in der die Gewinnwahrscheinlichkeiten aller Würfelpaare stehen. Zählen
Sie dafür alle Möglichkeiten ab. Wenn z. B. Würfel A mit Würfel B verglichen wird, ergibt sich
Würfel A zeigt
,,Erste” 0
,,Zweite” 0
,,Erste” 4
usw.
Gesamt
Abhängig vom Ergebnis von B
Gewinne A Gewinne B Remis
0
6
0
0
6
0
4
2
0
16
20
0
Bilden Sie daraus eine Relation auf der Menge {A, B, C, D} der Würfel durch
def
W ∼ Ŵ ⇐⇒ Ŵ ist im Durchschnitt mindestens so gut wie W.
Welche Eigenschaften hat diese Relation, d.h. gilt (R), (T), (S), (A)? Gibt es einen besten Würfel?
b) Es wird nun folgendes Spiel vorgeschlagen: Ein Kandidat zahlt vier Spielmark und wählt einen
Würfel, der Showmaster zahlt sechs Spielmark und wählt einen der verbleibenden Würfel. Beide
würfeln und der Sieger erhält die zehn Spielmark. Ist dieses Spiel fair?
c) (Freiwilliger, nicht gewerteter Zusatz) Kann man auch drei Würfel mit diesen Eigenschaften finden?
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def
Aufgabe 20: (schriftlich, 4 Punkte) Nach Vorlesung gibt es auf R eine Ordnungsrelation a ≤ b ⇐⇒
b − a ∈ R+
0 , so dass für alle a, b ∈ R mit 0 ≤ a, b gilt 0 ≤ a + b und 0 ≤ ab. Leiten Sie daraus und aus
den Körperaxiomen ohne Ihre Schulkenntnisse folgende Eigenschaften her:
a) Für alle a, b, c ∈ R gilt a ≤ b ⇐⇒ a + c ≤ b + c.
b) Für alle a, b, d ∈ R mit 0 ≤ d und a ≤ b folgt ad ≤ bd.
c) Für alle a ∈ R gilt 0 · a = 0. Hinweis: 0 = (0 + 0).
d) Aus ab = 0 folgt a = 0 ∨ b = 0.
Geben Sie in jeder (Un-)Gleichung die verwendeten Axiome an.
Aufgabe 21: Bestimmen Sie in R jeweils das Supremum, Infimum sowie Maximum und Minimum der
folgenden Mengen (mit Beweis natürlich; falls die Ausdrücke nicht existieren, muss das auch begründet
werden).
a) M1 = [1, 2[, M2 = ]−∞, 2[ , M3 = ]−1, π].
1
b) M4 = { (−1)n n −
n | n ∈ N }.
c) M5 = { n2 | n ∈ N }.
d) M6 = { x ∈ R | (x − a)(x − b)(x − c) < 0 } wobei a ≤ b ≤ c. Hinweis: Untersuchen Sie die
Gleichheiten a = b bzw. b = c getrennt.
Die erste Übungsklausur findet am Mittwoch, 03. Dezember zur Vorlesungszeit statt.
Die Übungsblätter und weitere Informationen stehen auch im Netz unter
http://www.mathematik.uni-stuttgart.de/studium/infomat/Analysis Mielke WS03/
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