P Rg P R2
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Rückblick (Auf dem Weg zu den komplexen Zahlen)
2 Q, derart, dass
Es gibt kein 2 R mit
= 1.
Satz 1.1 Es kein
Bem.
2
x
x
z
z
= 2.
2
Ausweg: Betrachte „größere“ Menge
R
2
:=
RR=f
z
= (x; y ) :
(x; y ); (x0 ; y 0 )
und definiere dort für
0 0
x; y
2R
2
2 Rg
eine Addition
0
0
(x; y ) + (x ; y ) := (x + x ; y + y )
und eine Multiplikation
0 0
0
(x; y ) (x ; y ) := (xx
Schreibt man kurz
so gilt
(x; y ) =
bzw.
x
(x; 0) (1; 0)
|
= (x 1
{z
}
0 0; x 0 + 1 0)
i
:= (0; 1)
Dann folgt
i
2
=
i
i
(x; 0)
bzw.
(y; 0) (0; 1)
|
= (y 0
{z
}
(y; 0),
=
0 1; y 1 + 0 0)
= (0; y )
2R
(x; y ) =
0 + x0y ) :
anstelle von
+
= (x; 0)
Def.:
y
0
yy ; xy
2
heißt imaginäre Einheit.
x
+ yi
für alle
x; y
2 R und
= (0; 1) (0; 1) = ( 1; 0) =
(1; 0) =
1
x+y
(0 1)
;
:
iR
6
i Im z
= iy
jz j
z
= x + iy
3
x
s
= Re z
z
Die Gaußsche Zahlenebene
-
=x
C
R
iy
