Thema 1

Tutoriumsaufgaben
Vorlesung 19.12.2007
Literatur: Varian Kapitel 18.19.
(Achtung: Aufgabenformulierung im „Upload“ weicht in wenigen Punkten sprachlich – aber
nicht inhaltliche – etwas ab!)
Schlagwörter der Vorlesung:
Isoquante, Produktionsmöglichkeitsmenge, komparative Statik, Produktionsfunktion,
Ertragsgesetz, Grenzprodukt, technische Rate der Substitution, Input, Output, Cobb-Douglas
Produktionsfunktion, Homogenität
Thema 1 Produktionsfunktionen
1.1. Erläutern und skizzieren Sie die Isoquanten einer...
a) Substitutionalen Produktionsfunktion
b) Limitationalen Produktionsfunktion
c) Produktionsfunktion bei vollkommener Substituierbarkeit der Produktionsfaktoren
ANT:
Isoquante:
Geometrischer Ort gleicher Ausbringungsmenge, resultierend aus dem Einsatz zweier
Produktionsfaktoren
a) Substitutionale Produktionsfunktion (subst. Einsatzfaktoren)
Bei konstanter Ausbringungsmenge kann der Mindereinsatz des einen P-Faktors durch
den Mehreinsatz des anderen kompensiert werden
b) limitationale Produktionsfunktion (komplementäre Einsatzfaktoren)
gegebene Produktionstechnologie muss in einem bestimmten Einsatzverhältnis eingesetzt
werden
Erhöhung eines P-Faktors unter Konstanthaltung des anderen ergibt keine
Outputsteigerung
c) Produktionsfunktion bei vollkommener Substituierbarkeit der Produktionsfaktoren
1.2 Diskutieren Sie Parallelen zu den vorangegangen Veranstaltungen.
ANT: Stichwort: Haushaltstheorie, Indifferenzkurve, z.B. Nutzen der 1 und 2 Euro
Münzenaufgabe
Thema 2 Kurz und langfristige Produktionsfunktionen
2.1Was würde mit dem Gewinn einer Unternehmung geschehen, wenn:
a) der Preis des fixen Faktors steigt?
ANT: der Gewinn wird fallen
b) der Preis des variablen Faktors steigt?
ANT: der Gewinn wird fallen und der variable Faktor wird weniger eingesetzt
c)Preis des Produkts steigt?
ANT: der Gewinn wird steigen und der variable Faktor wird vermehrt eingesetzt
d)die Produktion steigende Skalenerträge aufweist und bei konstanten Preisen der Umfang der
Aktivitäten verdoppelt wird ?
ANT : die Gewinne würden steigen, da der Output stärker steigen würde als die Kosten
der Inputs
e) sie für alle Output-niveaus fallende Skalenerträge hat und wenn sie in zwei gleich
große Unternehmen aufgeteilt wird?
ANT: Gewinn steigt weil kostengünstiger produziert wird (nicht mehr auf der hohen
Produktionsskala, die nur relativ geringen Outputzuwachs brachte.
2.2Angenommen eine Unternehmung maximiert kurzfristig ihren Gewinn mit einem
variablen Faktor 1 und einem fixen Faktor 2. Wie wirkt sich eine Senkung des Preises des
Faktors 2 auf den Einsatz des Faktors 1 aus? Wie auf den Gewinn der Unternehmung?
ANT: Die Verwendung des Faktors 1 ändert sich nicht und der Gewinn wird steigen
2.3 Erläutern sie den Unterschied zwischen einer kurzfristigen und einer längerfristigen
Produktionsfunktion.
ANT: Kurzfristig muss den fixen Produktionskosten Rechnung getragen werden. Demnach
weist eine kurzfristige Produktionsfunktion mindestens einen konstanten P.-Faktor auf,
während die übrigen variiert werden.
Langfristig können sämtliche P-Faktoren variiert werden. Fixkosten fließen nicht in die
kurzfristige Entscheidungsfindung des Unternehmens ein.
2.4 Stellen Sie eine kurzfristige Produktionsfunktion grafisch dar.
Thema 3 Cobb Douglas Produktionsfunktion
3.1 Stellen Sie die allg. Form der linear-homogenen Cobb-Douglas Produktionsfunktion auf.
ANT: f ( x1 , x2 ) = Ax1α x12−α , Linearhomogenität liegt vor, weil
A(tx1 ) a (tx2 )1−α = At (α +1−α ) x1α x12−α = Atx1α x12−α In Worten: die gleichzeitige Erhöhung der Inputs
um das t-fache führt zu einer Erhöhung des Outputs um genau das selbe t-fache.
3.2 Vergleichen und erläutern Sie zwei Varianten der Produktionsfunktionen eines EinProdukt-Unternehmens:
-Cobb-Douglas-Produktionsfunktion: f(x1,x2)= x10,3 x20, 7
-eine Produktionsfunktion nach dem klassischen Ertragsgesetz
ANT: Bei der C-D-Funktion ist das Grenzprodukt eines variablen Faktors stets positiv und
kontinuierlich fallend. Beim Ertragsgesetz steigt das Grenzprodukt, ist anfänglich positiv,
dann fällt es und wird schließlich negativ.
3.3 Gegeben seien nun folgende Produktionsfunktionen
a) f(x1,x2)= x10,6 x20, 4
b) f(x1,x2)= x10,3 x20, 6
c) f(x1,x2)= x10, 4 x20,8
Bestimmen Sie die Homogenität der Funktionen. Welche Aussage lässt sich über die
Skalenerträge aufgrund dieser Ergebnisse ableiten.
ANT:
a) Homogenitätsgrad: 1 -> konstante Skalenerträge Bsp: Verdopplung aller Inputs->
Verdopplung des Outputs
b) Homogenitätsgrad: 0,9-> fallende Skalenerträge
c) Homogenitätsgrad: 1,2 -> steigende Skalenerträge Details siehe Antwort 3.1
Skalenerträge Vorgehensweise: Skalierung der Mengen aller Inputs um ein konstantes
Vielfaches -> wie verändert sich dann der Output?
3.5. Die Produktionselastizität eines Inputs xi ist wie folgt definiert:
dy dxi
E xyi ≡
. Weisen Sie nach, dass in der Aufgabe 3.1 der Parameter α die
:
y xi
Produktionselastizität von x1 ist.
ANT: Siehe Lsg. zu Tut4 zur Cobb Douglas Nutzenfkt.
3.4 Gegeben sei eine Cobb-Douglas Produktionsfunktion:
f( A , K )= Aα K β
wobei:
A: Arbeitseinsatz
K: Kapitaleinsatz
α + β =1
Zeigen Sie, dass die Cobb-Douglas Produktionsfunktion folgende Eigenschaften besitzt:
a)positives und abnehmendes Grenzprodukt der Arbeit
b)positives und abnehmendes Grenzprodukt des Kapitaleinsatzes
ANT: es gilt: f( A , K )= Aα K 1−α
a) 1.Ableitung nach A grösser 0!
-> αAα −1K 1−α >0
Î Grenzprodukt der Arbeit positiv.
2. Ableitung nach A kleiner 0!
α (α − 1) Aα −2 K 1−α <0
Î abnehmendes Grenzprodukt der Arbeit
b) genau das selbe nur dann nach K abgeleitet
Thema 4 kurzfristige Gewinnmaximierung
4.1. Erläutern Sie das Maximierungsproblem der kurzfristigen Gewinnmaximierung.
ANT: der Punkt auf der Produktionsfunktion ist zu finden, der auf der höchsten erreichbaren
Isogewinnlinie liegt
4.2 Stellen Sie dies grafisch dar.
ANT: Vgl. Varian Abb.19.1 oder Folien der Vorlesung: Folie Nr. 6
4.3 Welche Steigung besitzt die Produktionsfunktion im Tangentialpunkt?
w1
Vgl. auch
ANT: Steigung der Isogewinnlinie = Steigung der Produktionsfunktion->
p
Abb. 19.1
4.4 Warum wird diese Situation als kurzfristige Gewinnmaximierung bezeichnet.
ANT: kurzfristige Produktionsfunktion, der Input x2 wird fixiert