Informationsökonomik - Universität des Saarlandes

Informationsökonomik
Tone Arnold
Universität des Saarlandes
8. Januar 2008
Tone Arnold (Universität des Saarlandes)
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Signalisieren privater Information
Der Wert privater Information
In vielen Situationen, die wir bisher betrachtet haben, führt die private
Information eines Agent (A), sei es über sein Verhalten oder seinen
Typ, zu einer Abweichung von der First–Best Lösung.
Diese Verzerrung resultiert daraus, dass As versuchen, ihre private
Information auszunutzen, was durch entsprechende Anreize verhindert
werden soll.
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Signalisieren privater Information
Moral Hazard Modelle: Agent würde lieber nichts tun, als eine
Leistung zu erbringen. Wie wir gesehen haben, wird ein optimaler
Vertrag dem A im Erwartungswert seinen Reservationsnutzen
geben. Ein A kann also von seiner privaten Information nicht
profitieren, und der Principal (P) ist schlechter gestellt als bei
vollständiger Information.
Modelle adverser Selektion: Effizientere Agents erhalten eine
Informationsrente, damit sie einen Anreiz haben, ihren Typ nicht
falsch anzugeben. Sie erhalten also mehr als ihren
Reservationsnutzen. In diesem Fall profitieren diese As von ihrer
privaten Information, während der P schlechter gestellt ist.
In diesen Fällen hat der A kein Interesse, seine private Information
preiszugeben.
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Wozu Signalling?
Beispiel Versicherungsmarkt:
Gute Risiken sind schlechter gestellt (tragen Teil des Risikos) als
bei vollständiger Info.
A hat Interesse, seinen Typ zu signalisieren, da die Aufdeckung
seiner privaten Information ihm einen höheren Nutzen erbringt als
die Verschleierung dieser Information.
Aber: Die Behauptung, man sei ein “guter Typ”, reicht nicht aus:
“schlechtere” Typen können Signal imitieren (Cheap Talk).
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Signalisieren privater Information
Wirksames Signal
Ein wirksames Signal muss dem Agent Kosten verursachen. Die
Kosten müssen so hoch sein, dass Signal nicht von anderen Typen
imitiert werden kann.
Für die “guten” muss der zusätzliche Nutzen des Signals mindestens
so gross sein wie die Kosten des Signals (nutzenmässig).
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Beispiel: Ausbildung als Signal
Dieses einfache Beispiel geht zurück auf Michael Spence (1974).
Eine Firma bei vollkommener Konkurrenz möchte einen
Mitarbeiter einstellen.
Es gibt zwei Typen von Arbeitern, die sich durch ihre Produktivität
unterscheiden:
Typ A: Produktivität 2,
Typ B: Produktivität 1.
Die Firma zahlt Lohn w. Der Gewinn der Firma ist bei
Typ A: 2 − w,
Typ B: 1 − w.
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Ausbildung als Signal
Die Arbeiter können, bevor sie auf den Arbeitsmarkt gehen, eine
Ausbildung y ∈ [0, 3] wählen.
Ausbildung hat keinen Einfluss auf die Produktivität!
Kosten der Ausbildung y
für Typ A: y /2,
für Typ B: y .
Die Firma hat Vermutungen über den Typ: Ausbildungsniveau y ∗ ,
so dass
Typ A falls y ≥ y ∗ , zahlt Lohn w = 2 (null–Gewinn Bed.);
Typ B falls y < y ∗ , Lohn w = 1.
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Ausbildung als Signal
Strategie eines Arbeiters: Wähle entweder y = y ∗ oder y = 0.
Separierendes Gleichgewicht: Typ A wählt y = y ∗ und Typ B wählt
y = 0.
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Ausbildung als Signal
Bedingungen:
Der Nutzen von Typ A bei y ∗ muss mindestens so gross sein wie der
Nutzen von Typ A bei 0:
2−
y∗
≥ 1 − 0.
2
Der Nutzen von Typ B bei y ∗ darf nicht grösser sein als der Nutzen von
Typ B bei 0:
2 − y ∗ ≤ 1 − 0.
Aus den beiden Bedingungen folgt
1 ≤ y ∗ ≤ 2.
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Ausbildung als Signal
1 ≤ y ∗ ≤ 2.
Jeder Wert von y ∗ zwischen eins und zwei erfüllt die Bedingung.
Multiple separierende Gleichgewichte: Typ A wählt y = y ∗ , Typ B
wählt y = 0, und y ∗ ∈ [1, 2].
“Least–cost equilibrium” y ∗ = 1.
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Informierte Agents signalisieren ihre Eigenschaften
Das Modell: Firmen konkurrieren um Arbeiter
Es gibt viele Firmen, die um Arbeiter (A) konkurrieren.
Zwei Typen von A: Typ g (“good”) und Typ b (“bad”).
Zwei Ergebnisse: xs (“success”) und xf (“failure”).
Die Typen sind unterschiedlich produktiv:
pg := prob(x = xs |g),
pb := prob(x = xs |b),
p g > pb .
Leistung ist hier keine Entscheidungsvariable.
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Signalisieren
Ergebnis ist beobachtbar, Löhne können vom Ergebnis abhängen:
(ws , wf ).
Firmen risikoneutral. Erwarteter Gewinn:
Eπ = pxs + (1 − p)xf − pws − (1 − p)wf .
A risikoavers. Erwartungsnutzen:
Typ g: EUg = pg u(ws ) + (1 − pg )u(wf ),
Typ b: EUb = pb u(ws ) + (1 − pb )u(wf ).
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Signalisieren
Gesucht: Menge der gleichgewichtigen Verträge, wobei die Firmen
um die Arbeiter konkurrieren.
Definition 1 (Gleichgewicht)
Ein Gleichgewicht (GG) ist ein Set von Verträgen
g
g
{(ws , wf ), (wsb , wfb )},
so dass
1
keine Firma einen Vertrag anbieten kann, der von mindestens
einem A bevorzugt werden würde, und
2
die Firma bei diesem Vertrag einen höheren erwarteten Gewinn
machen würde.
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Symmetrische Information
Die Firmen können die Typen von A unterscheiden. Jede Firma bietet
für jeden Typ einen Vertrag an.
Der GG–Vertrag für Typ t, Ct (wst , wft ) für t = g, b muss folgende
Bedingungen erfüllen.
1
Der erwartete Gewinn jeder Firma ist gleich null.
2
Der Vertrag ist effizient (Pareto optimal).
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Symmetrische Information
Der Vertrag Ct (wst , wft ) ist Lösung des Problems
max pxs + (1 − p)xf − pws − (1 − p)wf
ws ,wf
unter der Nebenbedingung
pu(ws ) + (1 − p)u(wf ) ≥ Ū.
Die Lagrange Funktion lautet
L = pxs + (1 − p)xf − pws − (1 − p)wf
£
¤
+λ pu(ws ) + (1 − p)u(wf ) − Ū .
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Symmetrische Information
Die Lagrange Funktion lautet
L = pxs + (1 − p)xf − pws − (1 − p)wf
£
¤
+λ pu(ws ) + (1 − p)u(wf ) − Ū .
Die Bedingungen erster Ordnung sind
Lws : −p + λpu ′ (ws ) = 0,
Lwf : −(1 − p) + λ(1 − p)u ′ (wf ) = 0.
Daraus folgt
u ′ (ws ) = u ′ (wf )
⇒
ws = wf ≡ w.
Der Lohn ist konstant (unabhängig vom Ergebnis). A ist vollständig
versichert.
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Symmetrische Information
Welcher Lohn soll gezahlt werden? Die Null–Gewinn Bedingung
besagt
pxs + (1 − p)xf = pw + (1 − p)w = w.
Die optimalen Verträge sind:
Typ g: wg∗ = pg xs + (1 − pg )xf ,
Typ b: wb∗ = pb xs + (1 − pb )xf .
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Asymmetrische Information
Firmen können die Typen des A nicht beobachten. Ein GG besteht aus
zwei Verträgen
g
g
{Cg , Cb } := {(ws , wf ), (wsb , wfb )},
so dass keine Firma einen Vertrag anbieten kann, der von mindestens
einem Typ präferiert wird, und der der Firma einen positiven Gewinn
beschert.
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Asymmetrische Information
Ergebnisse
Ein Pooling GG existiert nicht.
Separierende GGe (SG) Angenommen, der Anteil von Typ b in der
Population ist “gross genug”, so dass ein separierendes SG existiert.
Problem: Typ b will sich als Typ g ausgeben. Dann bekommt er einen
höheren Lohn, und Leistung ist in diesem Modell kein Thema.
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Asymmetrische Information
Im SG muss gelten: Cb muss gleich dem Vertrag bei vollständiger
Information sein:
1
Firmen machen null Gewinn.
2
Typ b vollständig versichert.
Es gilt:
wfb = wsb = wb∗ = pb xs + (1 − pb )xf ,
d.h. der Lohn für Typ b ist der selbe wie bei vollständiger Information.
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Separierendes GG: Typ b
wf
45o
U¯b
wfb·
• Cb
ws
·
wsb
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Separierendes GG: Typ b
wf
45o
U¯b
wfb·
• Cb
•x
ws
·
wsb
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Separierendes GG: Typ b
wf
45o
U¯b
wfb·
• Cb
•x
ws
·
wsb
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Separierendes GG: Typ b
Wegen Bedingung 1. muss der Vertrag für Typ b auf der Null–Gewinn
Linie der Versicherung liegen.
Jeder andere als der Tangentialpunkt, z.B. x, liegt auf einer
niedrigeren Indifferenzkurve des Agent vom Typ b.
Wie sieht der Vertrag für Typ g aus?
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Separierendes Gleichgewicht
wf
45o
U¯g
U¯b
Cb
•
ws
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Separierendes Gleichgewicht
wf
45o
U¯g
U¯b
Cb
•
g
wf ·
Cg
•
·g
ws
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ws
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Separierendes Gleichgewicht
Im GG gilt für Typ g:
g
g
Typ g trägt einen Teil des Risikos: ws > wf .
Der Erwartungsnutzen von Typ g ist gleich dem Nutzen beim Lohn
wb∗ :
g
g
pg u(ws ) + (1 − pg )u(wf ) = u(wb∗ ).
(1)
Die Firmen machen null Gewinn:
g
g
pg xs + (1 − pg )xf = pg ws + (1 − pg )wf .
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(2)
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Zusammenfassung
Falls ein separierendes GG existiert (der Anteil von Typ b gross genug
ist), gilt:
1
2
Typ b erhält den selben Vertrag wie bei symmetrischer
Information, i.e. einen konstanten Lohn wb = wb∗ .
Typ g erhält dieselbe erwartete Auszahlung wie bei symmetrischer
Information:
g
g
pg ws + (1 − pg )wf = pg xs + (1 − pg )xf
(wegen der Null–Gewinn Bedingung), aber einen geringeren
Erwartungsnutzen:
¡
g
g¢
u(wg∗ ) = u pg ws + (1 − pg )wf
g
g
> pg u(ws ) + (1 − pg )u(wf ) = EUg
aufgrund der Konkavität der Nutzenfunktion.
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Zusammenfassung
Typ g ist also schlechter gestellt als bei symmetrischer
Information.
Durch diesen Vertrag soll verhindert werden, dass Typ b versucht,
sich als Typ g auszugeben.
Wenn Typ g eine Möglichkeit hätte, seinen Typ glaubhaft zu
signalisieren, würde er dies tun, denn seine private Information
schadet in diesem Fall (statt zu nützen).
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Zusammenfassung
Symmetrische Information
wg∗ = pg xs + (1 − pg )xf ,
u(wg∗ ),
wb∗ = pb xs + (1 − pb )xf ,
u(wb∗ ).
Asymmetrische Information
wb = wb∗ ,
g
g
EUg = pg u(ws ) + (1 − pg )u(wf ) < u(wg∗ ).
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Signalisieren
Bevor die A auf den Arbeitsmarkt gehen, können sie entscheiden, ob
sie eine Ausbildung y ∈ {0, 1} absolvieren. (Z.B. y = 1
abgeschlossenes Studium, y = 0 kein abg. Studium.)
Kosten der Ausbildung vg , vb mit vg < vb .
Annahme Ausbildung hat keinen Einfluss auf die Produktivität!
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Idee des Modells
Ausbildung ist beobachtbar (Diplomzeugnis).
Da Ausbildung für Typ g billiger ist als für Typ b, ist Typ g eher
bereit, in Ausbildung zu investieren.
Dies wissen auch die Firmen.
Ausbildung kann als Signal für Typ g funktionieren, falls
Ausbildung für Typ b so teuer ist, dass es sich für ihn nicht lohnt,
sie zu absolvieren.
Wenn eine Firma das Signal y = 1 beobachtet, revidiert sie ihre
Vermutungen über den Typ des A:
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Vermutungen (Beliefs)
A priori Vermutungen:
Typ g mit W. q, Typ b mit W. (1 − q).
A posteriori Vermutungen:
q(g|y ) = W., dass Typ g vorliegt, wenn Ausbildung y beobachtet
wurde, y ∈ {0, 1}.
Diese Vermutungen werden nach dem Satz von Bayes gebildet:
q(g|y ) =
qσ(y |g)
,
qσ(y |g) + (1 − q)σ(y |b)
wobei σ(y |t) die W. ist, dass Typ t die Ausbildung y wählt, t = g, b.
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Signal
Bezüglich des Signals gibt es zwei Möglichkeiten:
1
pooling GG: Beide Typen wählen die selbe Ausbildung ŷ :
σ(ŷ |g) = σ(ŷ |b) = 1.
Das Signal ist uninformativ. Die Vermutungen der Firmen sind
gleich den a priori Wahrscheinlichkeiten:
q(g|ŷ ) = q.
2
separierendes GG: Typ g wählt das Signal y = 1, Typ b wählt
y = 0:
σ(1|g) = 1, σ(1|b) = 0.
Wenn y = 1 beobachtet wird, vermutet jede Firma Typ g mit W.
eins:
q(g|1) = 1, q(b|1) = 0.
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Das perfekte Bayesianische GG
Die Strategien der beiden Typen des A (y ) und der Firmen
(Löhne) sind gegenseitig beste Antworten, gegeben die
Vermutungen der Firmen.
Die Vermutungen werden, wenn möglich, nach dem Satz von
Bayes gebildet.
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Separierendes Gleichgewicht
Die Vermutungen sind q(g|1) = 1, q(g|0) = 0.
Die Löhne hängen von dem beobachteten Signal ab:
½ ∗
wg für y = 1
w(y ) =
wb∗ für y = 0
Der Nutzen der Typen des A ist (in Abhängigkeit von y ):
u(wg∗ ) bei y = 1,
u(wb∗ ) bei y = 0.
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Selbstselektionsbedingungen
Typ g :
u(wg∗ ) − vg ≥ u(wb∗ ),
(3)
Typ b :
u(wb∗ ) ≥ u(wg∗ ) − vb .
(4)
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Interpretation
Bedingung (3) besagt: Für Typ g muss das Signal so billig sein (vg
klein), dass Typ g davon profitiert, es zu senden.
Bedingung (4) besagt: Für Typ b muss das Signal so teuer sein (vb
hoch), dass Typ b keinen Anreiz hat, Typ g zu imitieren.
Anmerkung Das separierende GG ist hier eindeutig, da es nur zwei
mögliche Ausbildungsniveaus (y ∈ {0, 1}) gibt.
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Pooling Gleichgewicht
Beide Typen wählen y = 0.
Die Vermutungen der Firmen sind gleich den a priori
Wahrscheinlichkeiten, unabhängig vom Signal:
q(g|0) = q, q(b|0) = 1 − q,
q(g|1) = q, q(b|1) = 1 − q.
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Pooling Gleichgewicht
Wir haben die klassische Situation von adverser Selektion bei
asymmetrischer Information. Die Firma bietet zwei Verträge zur
Selbstselektion an:
{wb∗ , (wgs , wgf )}.
Ein Pooling GG (bezügl. des Signals) existiert. Aber: Sind die
Vermutungen der Firmen intuitiv plausibel?
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40 / 59
Ein Gedankenexperiment
Angenommen, ein Typ weicht vom Pooling GG ab und wählt y = 1 in
der Hoffnung, die Firmen mögen ihre Vermutungen über seinen Typ
ändern (also das GG verlassen) zu q̃(g|1) = 1.
Lohnt sich das für Typ b? Nur, wenn
u(wg∗ ) − vb > u(wb∗ ).
Typ b wird nicht abweichen, falls
vb ≥ u(wg∗ ) − u(wb∗ ).
(5)
(Dies ist die selbe Bedingung wie im separierenden GG.)
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Ein Gedankenexperiment
Lohnt sich das Abweichen zu y = 1 für Typ g? Ja, falls
u(wg∗ ) − vg > EUg
⇒
vg < u(wg∗ ) − EUg .
(6)
Angenommen, Bedingungen (5) und (6) gelten. Falls eine Firma das
Signal y = 1 (ausserhalb des GGs) beobachtet, sind die Vermutungen
q(g|1) = q plausibel?
Antwort: Nein, denn Typ b würde dieses Signal niemals senden.
Folgerung: Die Firmen sollten ihre Vermutungen revidieren zu
q(g|1) = 1. Dann überlebt nur das separierende GG.
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42 / 59
Das intuitive Kriterium
Das intuitive Kriterium (Cho/Kreps 1987) besagt: Wenn Bedingungen
(5) und (6) gelten, dann sind die Vermutungen der Firmen im Pooling
GG unvernünftig, und es existiert kein Pooling GG mit intuitiv
vernünftigen Vermutungen. Ist jedoch eine der Bedingungen verletzt,
so existiert ein Pooling GG mit intuitiv vernünftigen Vermutungen.
(Anmerkung: Bedingung (5) ist stärker als Bedingung (3) im
separierenden GG, da EUg < u(wg∗ ).)
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Niedriger Preis als Signal für Produktqualität
Ein Monopolist verkauft ein Gut.
Die Qualität (Typ) ist gut (g) mit W. q oder schlecht (b) mit W.
1 − q.
Kunden können die Qualität erst nach dem Kauf beobachten.
Produktionskosten: cg > cb .
Nutzen der Konsumenten: X bei g und 0 bei b.
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44 / 59
Niedriger Preis als Signal für Produktqualität
Zwei Perioden, jeder Konsument kauft höchstens eine Einheit pro
Periode.
Monopol setzt Preise p1 und p2 . (Qualität ist keine
Entscheidungsvariable!)
Leute, die in t = 1 kaufen, erfahren die Qualität und kaufen in
t = 2, falls diese gut ist und falls p2 ≤ X . Leute, die in t = 1 nicht
kaufen, kaufen auch in t = 2 nicht.
Annahme: qX < cb und X > cg .
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45 / 59
Rückwärtige Induktion
In t = 2 wird nur gekauft, wenn die Qualität gut ist. Typ b verkauft
nichts. Typ g setzt den höchsten Preis, den die Konsumenten zu
zahlen bereit sind: p2 = X .
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46 / 59
Gleichgewichte
Im Pooling GG setzen beide Typen denselben Preis in t = 1. Im
separierenden GG setzten beide Typen unterschiedliche Preise. Preis
kann als Signal für gute Qualität fungieren, wenn Typ g einen Preis
setzt, den Typ b nicht setzen würde.
Annahme qX < cb : Pooling GG existiert nicht. Grund: qX ist die
durchschnittlich erwartete Qualität, wenn das Signal (der Preis p1 )
uninformativ ist. Die Konsumenten sind bereit, höchstens qX in t = 1
zu bezahlen. Bei diesem Preis kann Typ b aber nicht die Kosten
decken.
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47 / 59
Separierendes GG
Preis ist Signal für Qualität ⇒ niemand kauft bei schlechter Qualität
(Typ b). Typ b macht null Gewinn.
Gewinn von Typ g:
πg = (p1 − cg ) + δ(X − cg ),
wobei δ ∈ (0, 1) den Diskontfaktor bezeichnet.
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48 / 59
Separierendes GG
Welchen Preis p1 soll Typ g setzen?
Bei p1 > cb könnte Typ b gewinnbringend anbieten und würde Typ g
imitieren. Also muss gelten p1 ≤ cb . Der höchstmögliche Preis ist also
p1 = cb . Dann ist der Gewinn für Typ g:
πg = (cb − cg ) + δ(X − cg ).
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49 / 59
Separierendes GG
Gewinn für Typ g:
πg = (cb − cg ) + δ(X − cg ).
2 Möglichkeiten:
1
δ(X − cg ) < cg − cb . Dann macht Typ g Verlust. Es existiert kein
Markt.
2
δ(X − cg ) > cg − cb . Dann existiert ein separierendes GG: Typ g
setzt Preise p1 = cb < cg (Verlust in der ersten Periode) und
p2 = X (Gewinn in der zweiten Periode). Typ b tritt nicht in den
Markt ein.
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50 / 59
Intuition
Einführungspreise neuer (guter) Produkte sind oft niedrig und werden
später, wenn die Konsumenten die Qualität kennen, angehoben.
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51 / 59
Screening: Der uninformierte Spieler zieht zuerst
Unterschied zu einem Signalling–Modell: Verträge werden angeboten,
bevor die Agents ein Signal (z.B. eine Ausbildung) wählen.
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52 / 59
Screening
Beispiel:
1
Die Produktivität eines Agent ist a ∈ {2; 5.5} mit jeweils der W.
0.5.
2
Firmen bieten Verträge w(s) an, wobei s das Signal bezeichnet.
3
Die As wählen das Signal, d.h. ein Ausbildungsniveau s ∈ [0, 1].
4
Ein A lehnt entweder alle Verträge ab oder akzeptiert einen
Vertrag.
5
Die Ergebnisse entsprechen a und die Auszahlungen werden
getätigt.
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53 / 59
Auszahlungen
Auszahlung des A:
U(w(s), a) = w −
8s
a
wenn er den Vertrag akzeptiert, und 0 sonst.
Gewinn einer Firma:
π(w(s)) = a − w(s).
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54 / 59
Keine Vermutungen!
In Screening–Modellen werden die Vermutungen der Firma nicht
angegeben, da sie das Signal erst erhalten, nachdem sie die Verträge
angeboten haben.
Daher ist dieses Modell sehr ähnlich einem Modell adverser Selektion,
in dem die Firma ein Menü von Verträgen anbietet und der A einen
Vertrag wählt.
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55 / 59
Separierendes Gleichgewicht
1
Beide Typen wählen unterschiedliche Ausbildungsniveaus. Der
schlechte wählt s(2) = 0, der gute wählt s(5.5) = s∗ .
2
Ausbildung fungiert als Signal.
3
Löhne Die Typen werden nach ihrer Produktivität bezahlt:
w(s∗ ) = 5.5,
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w(0) = 2.
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Selbstselektionsbedingungen
w(0) − 0 ≥ w(s∗ ) −
w(s∗ ) −
8s∗
2
(7)
8s∗
≥ w(0)
5.5
(8)
Aus (7) folgt s∗ ≥ 0.875 und aus (8) folgt s∗ ≤ 2.4. Also gilt
s∗ ∈ [0.875, 2.4].
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57 / 59
Least–Cost equilibrium
Das “Least–Cost equilibrium” ist s∗ = 0.875. In diesem GG gilt:
s(2) = 0, s(5.5) = s∗ = 0.875,
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w(0) = 2, w(0.875) = 5.5.
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58 / 59
Kein Pooling
Wir müssen noch zeigen, dass es keinen Pooling–Vertrag gibt, der
das separierende Gleichgewicht dominieren könnte.
Ein Pooling–Vertrag im hier betrachteten Rahmen muss einen Lohn in
Höhe von 3.75 vorsehen (Null–Gewinn Bedingung):
3.75 = (2 + 5.5)/2.
Die Nicht–Pooling Bedingung ist jedoch erfüllt, da
w(0.875) −
8 · 0.875
= 4.23 > 3.75,
5.5
so dass der effiziente Typ einen Anreiz hätte, vom Pooling
Arrangement abzuweichen.
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