Lösungshinweise zu Blatt 1 1.) Risikomanagement a. Beobachtet

Lösungshinweise zu Blatt 1
1.)
Risikomanagement
a.
Beobachtet man tatsächliche Marktdaten so kann eine höhere Volatilität (= höheres
Risiko) zwar zu einem Gewinn führen, dies muss jedoch nicht der Fall sein. In einem
vollständigen Markt ist der erwartete Gewinn zudem immer gleich null und der Verlauf
eines Aktienpreises wird allein vom Zinssatz bestimmt (sog. Martingaleigenschaft). Am
tatsächlichen Markt gehen Phasen hoher Volatilität eher mit einem Einbruch des
Marktes einher und Gewinne werden in stetigen, ruhigeren Phasen erzielt.
b.
Risikomanagement besteht im Wesentlichen aus vier Komponenten, die einen Zyklus
bilden. Identifikation der Risiken, Messung der Risiken, Steuerung der Risiken, Validierung der Methoden. Die Vermeidung von Risiken führt dazu, dass auch Gewinne
nicht realisiert werden könnten, da Risiken und Chancen meistens zusammen auftreten.
Risiken werden daher bewusst eingegangen.
c.
Der faire Preis einer Option muss so gewählt sein, dass der Spread durch die tatsächliche Marktbewegung des Underlying aufgefangen wird. Der tatsächliche Kursverlauf
des Underlying ist ohnehin unbekannt. Betrachtet man das Black-Scholes-Modell so ist
der Preis einer Option zwar von den historischen Volatilitäten abhängig, insbesondere
bestimmt jedoch der risikofreie Zinssatz den Preis der Option mit.
d.
Der Value-at-Risk ist eher das einfachste Risikomaß, da er eine komplexe Größe durch
eine einzige Zahl abbildet. Der VaR ist in der Praxis deshalb so verbreitet weil er leicht
zu berechnen und leicht zu kommunizieren ist, insbesondere aber weil man sich „etwas
darunter vorstellen“ kann. So ist das Prinzip des VaR auch für Nicht-Statistiker
verständlich. Geeignet das Risiko zu Beschreiben ist er allerdings nur bedingt, da er
beispielsweise keine Rücksicht auf zu erwartende Überschreitungen liefert wie den
Expected Shortfall.
2.)
VaR-Berechnung
a.
VaR(0,95) = 1,645*300.000-40.000 = 453.500
VaR(0,975) = 1,96*300.000-40.000 = 548.000
VaR(0,99) = 2,33*300.000-40.000 = 659.000
b.
Die Abstände zwischen zwei VaRs sind beim VCV-Ansatz nicht gleichwertig, da sie
von den Quantilen der Normalverteilung abhängen, die sich nicht linear verändern.
VaR (α) − VaR (β) = (Φ α σ − μ) − (Φ β σ − μ)
= Φ α σ − μ − Φ β σ + μ = σ( Φ α − Φ β )
σ(Φ 0,99 − Φ 0,975 ) = σ(Φ 0,975 − Φ 0,95 )
Φ 0,99 − Φ 0,975 = Φ 0,975 − Φ 0,95
2,33 − 1,96 = 1,96 − 1,645
0,37 = 0,315 falsch
c.
Da Mittelwert und Varianz der Normalverteilung lineare Einflussgrößen sind, wird sich
das Risiko halbieren, wenn Isiko genau die Hälfte aller Assets gleichmäßig aus dem
Portfolio verkauft.
d.
μ = μ1 + μ 2 = 40.000 + 15.000 = 55.000
σ = σ12 + σ 22 + 2ρσ1σ 2 = 300.000 2 + 118.000 2 + 2 * (−0,31) * 300.000 *118.000
= 81.976.000.000 = 286.314,51
VaR (0,99) = 2,33 * 286.314,51 − 55.000 = 612.112,81
Der Value-at-Risk des Portfolios zum Konfidenzniveau 99 % beträgt 612.112,81 EUR.
e.
Die Normalverteilung hat zum einen den Vorteil, dass der Value-at-Risk sehr leicht zu
berechnen ist. Zudem können die Parameter μ und σ einfach aus den historischen Daten
abgeleitet werden und gehen linear in das Modell ein.
3.)
Optionspreis und Risiko
a.
c = S0 Φ (d1 ) − Ke − rRF t Φ (d 2 )
σ2 ⎞
⎛ S0 ⎞ ⎛
⎜
ln⎜ ⎟ + ⎜ rRF + ⎟⎟ t
2 ⎠
⎝K⎠ ⎝
d1 =
, d 2 = d1 − σ t
σ t
(0,25) 2 ⎞
⎛ 48 ⎞ ⎛
⎟ * 0,5
ln⎜ ⎟ + ⎜⎜ 0,04 +
2 ⎟⎠
0,182 + (0,04 * 0,036) * 0,5
⎝ 40 ⎠ ⎝
d1 =
=
= 1,233
0,25 * 0,707
0,25 * 0,5
d 2 = 1,233 − 0,25 * 0,707 = 1,056
c = 48 * 0,891 − 40 * e −0, 04*0,5 * 0,855 = 9,27
Der faire Preis der Option beträgt 9,27 EUR.
b.
Δ c = Φ (d1 ) = Φ (1,233) = 0,891
Ä Δ = Δ c * S = 0,891* 500 ≈ 445
Stock muss ca. 445 Anteile des Underlying short gehen, um einen perfekten Hedge zu
erhalten und somit das Risiko zu minimieren.
4.)
Interdependenzen
a.
μ ΔPF = 50.000 * 0,127 + 40.000 * 0,0602 + 10.000 * 0,1456 = 10.214
Aufgrund der Symmetrie der Kovarianzmatrix gilt
σΔPF = ∑∑ Ui U jσi, j =
i j
U12σ12,1 + U 22σ22,2 + U32σ32,3 + 2U1U 2σ1,2 + 2U1U3σ1,3 + 2U 2 U3σ2,3
= 50.00022,3198+ 40.00020,8010 + ... = 98.420,88
VaR (0,99) = 2,33 ⋅ 92.037,55 − 10214 = 219.106,65
Der Value-at-Risk des Portfolios zum Konfidenzniveau 99 % beträgt 219.106,65 EUR.
b.
VLH = 50.000 ⋅12,37 = 618.500
VDB = 40.000 ⋅ 65,08 = 2.603.200
VVW = 10.000 ⋅ 35,25 = 352.500
VPF = VLH + VDB + VVW = 3.574.200
v LH = 0,1730, v DB = 0,7283, v VW = 0,0987
μ rPF = 0,1730 ⋅ 0,1270 + 0,7283 ⋅ 0,0602 + 0,0987 ⋅ 0,1456 = 0,021971 + 0,0438436 + 0,01437072
= 0,08018538
σ 2rPF = v 2LH ⋅ σ 2rLH + v 2DB ⋅ σ 2rDB + v VW ⋅ σ 2rVW + 2v LH ⋅ v DB ⋅ σ rLHDB
+ 2v LH ⋅ v VW ⋅ σ rLHVW + 2v DB ⋅ v VW ⋅ σ rDBVW
= 0,1730 2 ⋅ 2,3198 + 0,72832 ⋅ 0,8010 + 0,0987 2 ⋅1,7405 + 2 ⋅ 0,1730 ⋅ 0,7283 ⋅ 0,3208
+ 2 ⋅ 0,1730 ⋅ 0,0987 ⋅ 0,9948 + 2 ⋅ 0,7283 ⋅ 0,0987 ⋅ 0,1919
= 0,06943 + 0,42487 + 0,01696 + 0,0808 + 0,03397 + 0,02759 = 0,6536522
σ rPF = 0,80849
v VaR = 2,33 ⋅ 0,80849 − 0,0802 = 1,80358
VaR = VPF ⋅ VVaR = 3.574.200 ⋅1,80358 = 6.446.356 €
5.)
a.
Pseudozufallszahlen
x0=1634
1634² = 02669956 → 0,6699
6699² = 44876601 → 0,8766
8766² = 76842756 → 0,8427
8427² = 71014329 → 0,0143
143² = 00020449 → 0,0204
204² = 00041616 → 0,0416 …
x0=7662
7662² = 58706244 → 0,7062
7062² = 49871844 → 0,8718
8718² = 76003524 -→ 0,0035
35² = 00001225 → 0,0012
12² = 00000144 → 0,0001
1² = 00000001 → 0
0² = 00000000 → 0 usw.
b.
x1 = (5*6+3) mod 16 = 33 mod 16 = 1
x 2 = (5*1+3) mod 16 = 8 mod 16 = 8
x 3 = (5*8+3) mod 16 = 43 mod 16 = 11
x 4 = (5*11+3) mod 16 = 58 mod 16 = 10
x 5 = (5*10+3) mod 16 = 53 mod 16 = 5
x 6 = (5*5+3) mod 16 = 28 mod 16 = 12
x 7 = (5*12+3) mod 16 = 63 mod 16 = 15
x 8 = (5*15+3) mod 16 = 78 mod 16 = 14
x 9 = (5*14+3) mod 16 = 73 mod 16 = 9
x10 = (5*9+3) mod 16 = 48 mod 16 = 0
x11 = (5*0+3) mod 16 = 3 mod 16 = 3
x12 = (5*3+3) mod 16 = 18 mod 16 = 2
x13 = (5*2+3) mod 16 = 13 mod 16 = 13
x14 = (5*13+3) mod 16 = 68 mod 16 = 4
x15 = (5*4+3) mod 16 = 23 mod 16 = 7
x16 = (5*7+3) mod 16 = 38 mod 16 = 6
Der Algorithmus hat also die maximale Periodenlänge von 16.