Markus Stroppel Begegnungen mit Mathematik

Markus Stroppel
Begegnungen mit Mathematik
• Regeln im Unregelmäßigen • Rational im Angesicht des Irrationalen •
• Häufiges Umsteigen: Der Weg ist das Ziel •
• In alle Richtungen gleich dickTlst das ein Kreis? •
• Logik, eine Menge Formalismus und das Formen von Mengen •
• Irrungen und Wirrungen • Vielseitig, aber mit Ecken und Kanten •
• Oft gedreht und doch noch gleich •
• Teile, und beherrsche den Rest • Öffentliche Geheimnisse •
Mathematik, Kaninchen und Ästhetik • Wie man endlich das Unendliche beherrscht
• Die sich im Unendlichen treffen . . .
Inhaltsverzeichnis
0 Ziele und Inhalte
0.1 Abstrakt oder konkret?
0.2 Hochaktuell oder uralt?
0.3 Hinweise zur Lektüre
0.4 Literaturhinweise
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1 Regeln im Unregelmäßigen
1.1 Primzahlen
1.2 Es gibt unendlich viele Primzahlen
1.3 Gibt es auch unendlich viele Primzahl-Zwillinge?
1.4 Es gibt beliebig große Lücken in der Reihe der Primzahlen
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7
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2 Rational im Angesicht des Irrationalen
2.1 Genügen natürliche Zahlen?
2.2 Kommensurable Größen
2.3 Eine berühmte irrationale Zahl: n
2.4 Der Satz des Pythagoras
2.5 Irrationale Zahlen . . !
2.6 Ein Irrationalitäts-Beweis am Fünfeck
2.7 Dezimal-Entwicklungen
2.8 Periodische Dezimal-Entwicklungen
2.9 Eine Kennzeichnung rationaler Zahlen
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3 Häufiges Umsteigen: Der Weg ist das Ziel
3.1 Straßenbahn-Netze
«.
3.2 Ringbahnen
3.3 Der Stern
3.4 Allgemeine Argumente
3.5 Ein grundsätzliches Problem
3.6 Eine evolutionäre Strategie
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Inhaltsverzeichnis
4
3.7
Ein allgemeines Ergebnis
3.8
Abstraktion
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3.9
Es gibt Graphen, die nicht planar sind
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3.10 Zusatz-Struktur in planaren Graphen
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In alle Richtungen gleich dick: ist das ein Kreis?
33
4.1
Breite
33
4.2
Unerwartete Gleichdicke
33
4.3
Stützgeraden
34
4.4
Kreisbogen-Vielecke sind Gleichdicke
35
4.5
Gleichdicke als Zahlungsmittel
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4.6
Material-Einsparung?
38
4.7. Das isoperimetrische Problem
39
4.8
Äquivalenz der Probleme (gl) und (kU)
39
4.9
Wieder eine evolutionäre Strategie?
4.10 Konvexität
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6
27
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4.11 Ein Symmetrie-Argument
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4.12 Das Steinersche Viergelenk-Verfahren
42
4.13 Höhere Dimensionen
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Logik, eine Menge Formalismus, und das Formen von Mengen
45
5.1
Grundlagen
45
5.2
Konstruktion von Ausdrücken
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5.3
Äquivalenz logischer Ausdrücke
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5.4
Das Prinzip des Widerspruchs-Beweises
49
5.5
Prädikative Ausdrücke
49
5.6
Quantoren
50
5.7
Mengen, Aussonderung von Teilmengen
50
5.8
Junktoren und Mengen-Operationen
52
Irrungen und Wirrungen
54
6.1
Nur ein Scherz?
54
6.2
Abstraktion
55
6.3
und das geht dann immer so weiter
55
6.4
Eine Primzahl-Fabrik?
57
6.5
Das Maximierungsproblem von Malfatti
59
6.6
Die Nadel im Stachelhaufen
61
Inhaltsverzeichnis
7 Vielseitig, aber mit Ecken und Kanten
7.1 Konvexe Polyeder
7.2 Kantengraphen
7.3 _Schlegel-Diagramme
7.4 Reduktion durch Überflutung
7.5 Zusammenhängende planare Graphen
7.6 Der Polyeder-Satz
7.7 Die regulären Polyeder
7.8 Dualität
7.9 Ein viel getretener Vertreter
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8 Oft gedreht und doch noch gleich
8.1 Drehungen
'8.2 Spiegelungen
8.3 Kleinste Drehungen
8.4 Gruppen von Bewegungen
8.5 Abstrakte Gruppen . .
8.6 Permutationen
8.7 Wie groß sind Permutationsgruppen?
8.8 Die Drehgruppe des Würfels
8.9 Die Drehgruppe des Tetraeders
8.10 Platonische Körper
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9 Teile, und beherrsche den Rest
9.1 Division mit Rest
9.2 Ein wohl bekanntes Beispiel
9.3 Abstra-ktion: Addieren von Resten
9.4 Mehr Rechnungen mit Resten
9.5 Kompliziertere Rechnungen
9.6 Gemeinsa.me Vielfache und gemeinsame Teiler
9.7 Der Chinesische Restsatz
^
9.8 Dividieren?
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10 Öffentliche Geheimnisse
10.1 Warum (asymmetrische) Verschlüsselung?
10.2 Kryptosysteme
10.3 Ein Satz von Euler
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100
Inhaltsverzeichnis
10.4
10.5
10.6
10.7
RSA
Wie wird RSA benutzt?
Asymmetrie und Sicherheit
Eine mögliche Anwendung
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102
102
11 Mathematik, Kaninchen und Ästhetik
11.1 Der Goldene Schnitt als Strecken-Verhältnis
11.2 Der Goldene Schnitt als (irrationale) Zahl
11.3 Konstruktionen
11.4 Goldene Zirkel
11.5 Der goldene Schnitt in der Kunst?
11.6 Kaninchen
11.7 Eine rekursive Formel für die Fibonacci-Zahlen
11.8 Eine Anwendung der rekursiven Formel
11.9 Lucas-Folgen
ll.lODie Formel von Binet
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12 Wie
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12.2
12.3
12.4
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12.6
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man endlich das Unendliche beherrscht
Zenons Paradox: Achilles und die Schildkröte
Geometrische Veranschaulichung
Geometrische Reihen
Konvergenz geometrischer Reihen
Noch ein Blick auf die Konvergenz
Die harmonische Reihe . . .t
13 Die sich im Unendlichen treffen . . .
13.1 Grund-, Auf- und Seitenrisse
13.2 Parallel-Projektion
13.3 Warum benutzt man Zentral-Projektion?
13.4 Horizontale Fluchtpunkte
13.5 Nicht horizontale Fluchtpunkte und Fluchtgeraden
13.6 Spezielle Fälle: Ein- und Zweipunktperspektive
13.7 Was bringt die Theorie? . . . ' " .
13.8 Ein letztes Beispiel: Rekonstruktion aus einer Fotografie
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L Literatur
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