Übungen zu Analysis I

WS 2013/14
M. Röckner
Übungen zu Analysis I
Blatt 10
Abgabe: Fr. 10.01.14, 12 Uhr
Aufgabe 1 (Trigonometrische Funktionen).
sin( π4 ) = cos( π4 ) = √12 .
Hinweis:
π
4
=
π
2
a) Zeigen Sie, dass
(1 Punkt)
− π4 .
b) Neben den Additionstheoremen für Sinus und Kosinus gibt es auch ein
Additionstheorem für den Tangens:
Beweisen Sie, dass für alle x, y ∈ R, für welche tan(x), tan(y) und
tan(x + y) existieren, folgende Gleichung gilt:
tan(x + y) =
tan(x) + tan(y)
.
1 − tan(x) tan(y)
(2 Punkte)
c) Nutzen Sie die Tabelle in Korollar 14.12 und die Ergebnissen der Aufgabenteile a) und b), um tan(x) an der Stelle x = 45 π zu berechnen.
(1 Punkt)
Aufgabe 2 (Differentialquotient). Gegeben eine Funktion f bezeichne Df
den Defintionsbereich dieser Funktion.
Bestimmen Sie mit Hilfe des Differentialquotienten die Ableitungen von
a) f1 (x) := ax2 − bx + c (a, b, c relle Zahlen), Df1 = R;
b) f2 (x) :=
1
,
x2
c) f3 (x) :=
x
exp(x) ,
Df2 =?;
Df3 =?.
Wählen Sie Df2 und Df3 größtmöglich!
(4 Punkte)
Aufgabe 3 (Differentiation). Berechnen Sie mit Hilfe der Differentiationsregeln (vgl. Vorlesung ab Satz 15.8) die Ableitungen auf R von
a) f1 (x) = x3 − 6x2 + 12x − 8;
1
b) f2 (x) = x sin(x) exp(x).
(4 Punkte)
Aufgabe 4 (Komplexe Zahlen in Polarkoordinaten).
a) Sei 0 6= z ∈ C.
Gemäß Satz 14.19 der Vorlesung existieren dann eindeutig bestimmte
r ∈ R+ und ϕ ∈ [ 0, 2π [ mit z = reiϕ . Schreiben Sie nun z1 in Polarkoordinaten.
b) Sei (zn )n∈N ⊂ C eine Folge komplexer Zahlen mit zn = rn eiϕn mit
rn ∈ R+ , ϕn ∈ [ 0, 2π [.
Beweisen Sie, dass aus rn → r ∈ R+ , n → ∞, und ϕn → ϕ ∈ [ 0, 2π [,
n → ∞, auch zn → z = reiϕ ∈ C, n → ∞, folgt.
c) Für die Folge aus b) gelte nun sogar (zn )n∈N ⊂ C \ {0}. Ferner sei
auch r 6= 0. Beweisen Sie, dass dann z1n → z1 , n → ∞, gilt.
(4 Punkte)
2