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Lösung zu Aufgabe 6: Ein Fünfeck und fünf Rechtecke im Kreis
Sei AF  y die Rechteckbreite.
Die Größe eines Innenwinkels eines regelmäßigen n -Ecks beträgt  
Innenwinkel  
n
3
180  108 .
5
Daraus ergibt sich der Winkel MBQ 

2
 54 .
Die Strecke MR lässt sich aus dem rechtwinkligen Dreieck
2
x
MR     r 2
2
2
 n  2  180 . Folglich ist im Fünfeck ein
 MR  r 2 
Im Dreieck BMQ gilt tan 54 
RGM berechnen:
x2
4
MQ MR  RQ


BQ
BQ
r2 
x2
y
4
.
x
2
x2 x
 tan 54 .
Daraus ergibt sich y  r 
4 2
2
Der Flächeninhalt A des Rechtecks in Abhängigkeit von x und y beträgt somit A  x, y   xy . Ersetzt man nun y ,
so erhält man


x2 x
A x  x   r2 
 tan 54 


4 2


Differenzieren und Nullsetzen führt zur Lösung. Dies kann komfortabel mithilfe eines Computeralgebrasystems, wie
beispielsweise dem CAS von GeoGebra, erfolgen:
Löse[Ableitung[x*(sqrt[r^2-x^2/4]-x/2*tan[54°]),x]=0,x]
Diese drei rechnerischen Lösungen liefert GeoGebra:
x1 
5 1
r , x2  2 
2
5 5
r , x3   2 
2
Da aber 0  x  r erfüllt sein muss, ist nur x1 
5 5
r
2
5 1
r eine gültige Lösung.
2