Mathematik III für Informatiker – WS 2010/11 Otto-von

Mathematik III für Informatiker – WS 2010/11
Otto-von-Guericke Universität Magdeburg
Prof. Dr. Gohar Kyureghyan,
Dr. Michael Höding
Übung 3
Aufgabe 3.1 Zwei Würfel werden geworfen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, die Augensumme 7 zu werfen unter der Bedingung, dass wenigstens
einmal die Augenzahl 3 geworfen wird ? Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit,
dass die Augensumme 7 ist, falls die Augensumme ungerade ist ?
Aufgabe 3.2 Ein roter und ein blauer Würfel werden geworfen. Seien A
das Ereignis “Der rote Würfel zeigt eine gerade Zahl”, B das Ereignis “Der
blaue Würfel zeigt eine gerade Zahl” und C das Ereignis “Die Augensumme ist eine ungerade Zahl”. Sind die Ereignisse A, B und C paarweise unabhängig ? Sind die Ereignisse A, B und C unabhängig ?
Aufgabe 3.3 Seien (Ω, A, P ) ein Wahrscheinlichkeitsraum und A, B ∈ A
mit 0 < P (B) < 1. Beweisen Sie: Aus P (A ∩ B) = P (A) · P (B) folgt
P (A|B) = P (A|B̄).
Aufgabe 3.4 Es ist bekannt, dass 96% der hergestellten Produkte eines Betriebes normgerecht sind. Eine Qualitätskontrolle erklärt ein normgerechtes
Teil mit der Wahrscheinlichkeit von 0, 98 und ein nicht normgerechtes Teil
mit der Wahrscheinlichkeit von 0, 05 als tauglich. Man bestimme die Wahrscheinlichkeit dafür, dass ein von der Kontrolle als tauglich erklärtes Produkt
normgerecht ist.
Aufgabe 3.5 (Ziegenproblem.) In einer Quizshow sind drei Tore aufgebaut. Hinter einem Tor steht ein Auto, hinter den beiden anderen je eine
Ziege. Der Kandidat entscheidet sich für ein Tor. Dann öffnet der Moderator ein nicht vom Kandidaten gewähltes Tor, hinter dem das Auto nicht
steht. Der Kandidat hat die Möglichkeit, seine Entscheidung zu revidieren.
Mit welcher Strategie ist die Wahrscheinlichkeit am größten, das Auto zu
gewinnen ?
Aufgabe 3.6 Für eine Firma werden drei Großrechner gekauft. Diese haben unterschiedliche Qualitätseigenschaften. Die Wahrscheinlichkeit dafür,
dass diese länger als 4000 Stunden ausfallfrei arbeiten, betragen 0, 8; 0, 7; 0, 6.
Sei X die Anzahl der Großrechner, die länger als 4000 Stunden ausfallfrei
arbeiten. Bestimmen Sie
(a) die Verteilung von X,
(b) die Verteilungsfunktion,
(c) den Graph der Verteilungsfunktion,
(d) P (X ≥ 1).