Mehr Erfolg in Mathematik, Abitur: Stochastik - Feix - Beck-Shop

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Mehr Erfolg in Mathematik, Abitur: Stochastik
von
Wolfdieter Feix
1. Auflage
Mehr Erfolg in Mathematik, Abitur: Stochastik – Feix
schnell und portofrei erhältlich bei beck-shop.de DIE FACHBUCHHANDLUNG
Thematische Gliederung:
Elementare Stochastik
Mentor 2010
Verlag C.H. Beck im Internet:
www.beck.de
ISBN 978 3 580 65648 5
Inhalt
Vorwort . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
Bezeichnungen und logische Zeichen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
7
7
8
8
10
13
15
16
1
Grundlegende Begriffe und Zusammenhänge . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.1 Womit befasst sich die Stochastik? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2 Leitfaden zur Einarbeitung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.3 Zufallsexperimente und L aplace-Experimente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.4 Ergebnis und Ergebnisraum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.5 Ereignis und Ereignisraum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.6 Unvereinbare Ereignisse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.7 Ereignisalgebra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2
Relative Häufigkeit und Wahrscheinlichkeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
2.1 Relative Häufigkeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
2.2 Wahrscheinlichkeiten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
2.3 Mehrstufige Zufallsexperimente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
3 Laplace-Experimente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
3.1 Kombinatorik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
3.1.1 Variationen mit Wiederholung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
3.1.2 Variationen ohne Wiederholung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
3.1.3 Permutationen ohne Wiederholung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
3.1.4 Permutationen mit Wiederholung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
3.1.5 Kombinationen ohne Wiederholung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
3.1.6 Kombinationen mit Wiederholung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
3.2 Wahrscheinlichkeiten von L aplace-Experimenten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
3.3 Urnenmodelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
3.3.1 Ziehen ohne Zurücklegen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
3.3.2 Ziehen mit Zurücklegen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
4 Unabhängigkeit von Ereignissen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
5 Die Zufallsgröße . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81
5.1 Wahrscheinlichkeitsverteilungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83
5.2 Die kumulative Verteilungsfunktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87
5.3 Maßzahlen von Zufallsgrößen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90
5.3.1 Der Erwartungswert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90
5.3.2 Varianz und Standardabweichung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94
3
6
Binomialverteilung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.1 Bernoulli-Experimente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.2 Die Bernoulli-Kette . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.3 Die Bernoulli-Formel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.4 Erwartungswert und Standardabweichung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
99
99
100
103
111
7 Testen von Hypothesen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115
7.1 Alternativtest . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116
7.2 Signifikanztest . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122
Lösungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131
Register . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 160
4
1
Grundlegende Begriffe
und Zusammenhänge
1.1Womit befasst sich die Stochastik?
Schon im 17. Jahrhundert versuchten Spieler den Gesetzmäßigkeiten von
Glücksspielen auf die Spur zu kommen. Vor allem die Höflinge der franzö­
sischen Könige nahmen gerne die Hilfe von Mathematikern wie Pascal,
­Fermat, Bernoulli und Laplace in Anspruch, um die Gewinnchancen bei
Würfelspielen, die damals in Mode waren, zu erkunden.
Darüber hinausgehende wissenschaftliche Überlegungen stellte man erst im
19. Jahrhundert an. Die Technik des geschickten Vermutens wandelte sich
langsam zu einer wissenschaftlichen Methode, die wir Stochastik nennen.
Unter dem Begriff Stochastik sind Wahrscheinlichkeitsrechnung und Statistik
zusammengefasst.
In der Wahrscheinlichkeitsrechnung werden Denk- und Arbeitsweisen
entwickelt, um das Zufallsgeschehen berechenbarer zu machen und den
Gewissheitsgrad einer Vermutung zu messen.
In der beschreibenden Statistik geht es darum, viele Einzelinformatio­
nen zu ordnen und zusammenzufassen. Das früheste Beispiel dafür ist
die Volkszählung des römischen Kaisers Augustus.
Aufgabe der beurteilenden Statistik ist es dagegen, aus Stichproben
Rückschlüsse auf das Gesamtgeschehen zu ziehen. Dazu zählen Quali­
tätskontrollen, Meinungsumfragen und Hochrechnungen.
In den Naturwissenschaften und Wirtschaftswissenschaften sowie in Sozio­
logie und Psychologie sind Anwendungen von Wahrscheinlichkeitstheorie
und Statistik ein fester Bestandteil geworden.
7
L aplace-Experimente
3.1 Kombinatorik
3.1.1 Variationen mit Wiederholung
Viele Radfahrer sichern ihr Fahrrad mit einem Zahlenschloss. Die meisten
dieser Schlösser tragen auf 4 Ringen jeweils die Ziffern 0, 1, 2, …, 9. Nur
durch die Einstellung einer einzigen Kombination von 4 Ziffern lässt sich
das Schloss öffnen.
In der Mathematik nennt man die Zusammenstellung von reellen Zahlen in
einer ganz bestimmten Anordnung ein Tupel oder eine Variation mit Wiederholung. Durch den Zusatz mit Wiederholung will man ausdrücken, dass
in der angeordneten Zusammenstellung eine Zahl mehrfach auftreten darf.
Auf dem Zahlenschloss lassen sich also lauter 4-Variationen mit Wiederho­
lung einstellen, von denen eine einzige, etwa (7, 4, 0, 5), das Schloss öffnet.
Will man durch eine zufällig gewählte Einstellung das Schloss öffnen,
drängt sich sofort die Frage auf: „Wie viele Einstellungen gibt es denn über­
haupt?“
Mit anderen Worten: Wie viele 4-Variationen mit Wiederholung lassen sich
aus der Zahlenmenge {0, 1, 2, …, 9} bilden?
Für die erste Ziffer gibt es 10 Möglichkeiten, für die zweite, dritte und vier­
te Ziffer ebenfalls 10 Möglichkeiten, zusammen 10 · 10 · 10 · 10 = 104 =
10000 Einstellungen.
Für die „Stellenzahl“ 4, oder allgemein k, kann man die Bezeichnung Tupellänge verwenden, in manchen Zusammenhängen auch Wortlänge.
Eine k-Variation mit Wiederholung ist eine angeordnete Zusammenstel­
lung von k reellen Zahlen, die alle aus einer Menge mit n verschiedenen
reellen Zahlen stammen.
Im Beispiel des Zahlenschlosses ist also n = 10 und die Tupellänge k = 4,
­daraus erhalten wir 104 = 10000 Variationen mit Wiederholung.
Allgemein stellen wir fest:
Die Anzahl V(mW) aller k-Variationen mit Wiederholung aus einer Menge
mit n Elementen beträgt nk.
Beachten Sie:
Die Tupellänge k der k-Variation ist immer eine natürliche Zahl und von der
Anzahl n der verfügbaren Zahlen unabhängig, sie kann also durchaus auch
größer als n sein.
46
Binominalverteilung
Eigenschaften der Binomialverteilung
Das Maximum (Stelle mit der größten Wahrscheinlichkeit) rückt bei festem
n mit wachsendem Parameter p nach rechts.
I
Von p = 0,1 bis 0,5 wird die Verteilung bei festem n breiter und niedriger,
von 0,5 bis 0,9 wieder schmäler und höher.
II
B(15 ; 0,1 ; k)
B(15 ; 0,2 ; k)
B(15; 0,4; k)
0,4
0,3
0,2
0,1
k
0 µ
k
0
7,5
B(15; 0,6 ; k)
µ
k
µ 7,5
0
7,5
B(15 ; 0,8 ; k)
B(15; 0,9; k)
0,4
0,3
0,2
0,1
k
7,5 µ
0
k
0
µ
7,5
k
µ
7,5
0
Das Maximum rückt bei festem p mit wachsender Zahl n nach rechts.
III
Die Verteilung wird bei festem p mit wachsender Zahl n breiter und niedriger.
IV
B(10 ; 0,4 ; k)
0,3
B(50 ; 0,4 ; k)
B(150; 0,4; k)
0,2
0,1
k
0
47
µ
20
40
60
80
k
k
0
20
µ
60
80
0
20
40
µ
80
Suchen Sie im Tafelwerk der Stochastik die Wahrscheinlichkeiten
heraus:
1
c) B(100; 0,7; 74)
a) B(30; 0,2; 10) b) B 15; ; 4 3


48 Zeichnen Sie ein Histogramm der Binomialverteilung B(8; 0,25) mit
Säulenbreite 1.
107
Lösungen
Kapitel 1 – Grundlegende Begriffe und Zusammenhänge
Bei der Münze gibt es nur die beiden Möglichkeiten „Wappen“ (W) oder „Zahl“ (Z),
beim Würfel dagegen die Augenzahl von 1 bis 6.
Beim gleichzeitigen Wurf von Münze und Würfel sind die Ergebnisse Wertepaare,
in denen an erster Stelle W oder Z und an zweiter Stelle 1, 2, 3, 4, 5 oder 6 steht
(oder umgekehrt). Die Ergebnisse lassen sich in der Menge  zusammenfassen:
Seite 12
1
 : {(W, 1), (W, 2), (W, 3), (W, 4), (W, 5), (W, 6), (Z, 1), (Z, 2), (Z, 3), (Z, 4), (Z, 5), (Z, 6)}
Möglich ist auch die kürzere Schreibweise:
 = { W1, W2, W3, W4, W5, W6, Z1, Z2, Z3, Z4, Z5, Z6}
Die Mächtigkeit von  ist die Anzahl der Elemente von , sie beträgt 6 · 2 = 12 .
Bei dieser Aufgabe sind nicht die einzelnen Augenzahlen der Würfel die Ergebnis­
se des Zufallsexperiments, sondern nur ihre Summe, die sogenannte Augensumme.
Dementsprechend setzt sich der Ergebnisraum aus Augensummen zusammen:
Zwei „Einsen“ ergeben die (kleinste) Augensumme 2, zwei „Sechsen“ die (größte)
Augensumme 12. Eine gewürfelte „Fünf“ und eine „Drei“ haben die Augensumme
8, ebenso eine „Sechs“ und eine „Zwei“.
2
Der Ergebnisraum besteht daher aus den Augensummen von 2 bis 12:
 = { 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12}
Die Mächtigkeit von  beträgt also 11.
Da nur eine schwarze Kugel vorhanden ist, gibt es das Ergebnis schwarz-schwarz
(ss) nicht. Sonst ist jede Zugfolge möglich:
3
 = { rr, rs, rw, sr, sw, wr, ws, ww} fi | | = 8
Da es beim gleichzeitigen Griff von 3 Kugeln nur auf das Ergebnis ankommt, das
wir in der Hand halten (eine Zugreihenfolge wäre nur beim Ziehen nacheinander von
Bedeutung), brauchen wir keinen Unterschied zu machen zwischen Ergebnissen
wie bbw, bwb oder wbb (2 blaue und 1 weiße Kugel).
Damit wir beim Anschreiben der Ergebnisse keines übersehen, ist eine systemati­
sche Vorgehensweise empfehlenswert: Zuerst schreiben wir alle Ergebnisse mit drei
blauen Kugeln an, dann die mit zwei blauen, dann die mit nur einer und zum
Schluss die ohne blaue Kugeln. So erhalten wir den Ergebnisraum
 = { bbb, bbg, bbw, bgg, bww, bgw, ggg, ggw, gww, www} und seine Mächtigkeit 10.
4
(Natürlich könnten wir die 10 Ergebnisse beispielsweise auch nach der Anzahl der
grünen Kugeln eines Griffes einteilen:  = {ggg, ggb, ggw, gbb, gww, gbw, bbb, bbw, bww, www})
Seite 14
Die erste wie die zweite Ziffer der zweistelligen Zahl, die das Ergebnis unseres
Experiments darstellt, wird aus der Menge {1, 2, 3, 4} entnommen.
Der Ergebnisraum lautet demnach:
 = {1 1, 1 2, 1 3, 1 4, 2 1, 2 2, 2 3, 2 4, 3 1, 3 2, 3 3, 3 4, 4 1, 4 2, 4 3, 4 4} 5
131