Geradlinige Bewegung Unterlagen zum Praktikum

BTM2
WS 2009/10
Geradlinige Bewegung
Projektbeschreibung
In diesem einführenden Projekt steht das Kennenlernen des Open-Source-Programms
EJS1 im Vordergrund. Anhand der kinematischen Gleichungen zur geradlinigen Bewegung wird Schritt für Schritt die Erstellung einfacher Animationen mit EJS vorgestellt. Zu verschiedenen Bewegungsszenarien werden die zugehörigen Weg-Zeit-,
Geschwindigkeits-Zeit- und Beschleunigungs-Zeit-Diagramme erstellt.
Stichworte
Kinematik, Massenpunkt, eindimensionale Bewegung, Download/ Installation EJS
Teilprojekte
1. Grafische Darstellung eines zeitabhängigen Beschleunigungsvorgangs mit linearer
Beschleunigungsfunktion
2. Grafische Darstellung eines Bremsvorgangs mit konstanter Verzögerung
3. Grafische Darstellung eines zeitabhängigen Beschleunigungsvorgangs mit exponentieller Beschleunigungsfunktion
4. Grafische Darstellung eines Beschleunigungsvorgangs mit Gangwechseln
5. Grafische Darstellung eines Auffahrunfalls
1
Easy Java Simulation: http://www.um.es/fem/Ejs/
Unterlagen zum Praktikum
Prof. Dr. Ulrike Zwiers
1/15
BTM2
WS 2009/10
Geradlinige Bewegung
Download/ Installation des Programms EJS
http://www.um.es/fem/Ejs/
Bei dem Programm EJS handelt es sich
um ein frei über das Internet erhältliches
Open-Source-Programm zur automatisierten Generierung von Java-Applets.
Die erstellten Simulationen sind plattformunabhängig, wobei keine Vorkenntnisse in der Programmiersprache Java
erforderlich sind. Der Java-Code wird
von EJS automatisch generiert, so dass
sich der Anwender auf die Eingabe und
Organisation der Modellgleichungen und
eine geeignete Visualisierung konzentrieren kann.
Programmversion:
EJS 4.1 (veröffentlicht am 19. Juli 2009)
Vorraussetzung:
Java Runtime Environment (ab JRE 1.5)
Interessante Links:
• http://www.um.es/fem/Ejs/
EJS-Homepage; das Programm EJS steht hier zum kostenlosen Download bereit
• http://en.wikipedia.org/wiki/EJS
englischsprachiger Wikipedia-Eintrag
• http://www.compadre.org/OSP/
Webseite des Open Source Physics-Projekts; hier können
gut dokumentierte EJS-Beispiele heruntergeladen werden
• http://www.phy.ntnu.edu.tw/ntnujava/index.php
NTNUJAVA Virtual Physics Laboratory; Forum mit zahlreichen EJS- und Physlets-Beispielen
Unterlagen zum Praktikum
Prof. Dr. Ulrike Zwiers
2/15
BTM2
Geradlinige Bewegung
WS 2009/10
1. Beschleunigung mit linearer Beschleunigungsfunktion
Die Beschleunigung einer Rakete steigt während der Startphase innerhalb von 180 s
vom Anfangswert 10 m/s2 auf den Endwert 130 m/s2 zeitproportional an.
a) Welche Geschwindigkeit hat die Rakete am Ende der Startphase?
b) Welche Entfernung hat sie zu diesem Zeitpunkt vom Startort?
c) Skizzieren Sie die Funktionen s(t), v(t) und a(t)!
d) Erstellen Sie die Diagramme aus Teil c) mit Hilfe des Programms EJS!
Lösungshinweise
zu Teil a)
a(t) = a0 + pt
1
v(t) = a0 t + pt2
2
⇒ a(0) = 10 m/s2 = a0
⇒ a(180 [s]) = 130 m/s2 = 10 m/s2 + p · 180 [s]
⇒ p ≈ 0.67 m/s3
⇒ v (180 [s]) ≈ 12.6 [km/s] = a0
zu Teil b)
1
1
s(t) = a0 t2 + pt3 ⇒ s (180 [s]) ≈ 813.24 [km]
2
6
zu Teil c)
s
0
0
t
v
a
0
a0
0
0
t
Unterlagen zum Praktikum
Prof. Dr. Ulrike Zwiers
0
t
3/15
BTM2
WS 2009/10
Geradlinige Bewegung
1. Beschleunigung mit linearer Beschleunigungsfunktion (Forts.)
zu Teil d)
Nach dem Starten des Programms öffnet sich das nebenstehende Fenster.
Die Bedienoberfläche von EJS besteht
im Wesentlichen aus drei Arbeitsbereichen (Workpanels), die der Erstellung einer Animation bzw. Simulation dienen, sowie einer Taskleiste für
allgemeine Funktionen (Öffnen/ Speichern von Dateien, etc.). Im Bereich
Description kann eine HTML-basierte
Modellbeschreibung vorgenommen werden. Neben einfachem Text können hier
auch Bilder und Multimedia-Elemente
EJS Startbildschirm
eingefügt werden.
Die Definition und Initialisierung von Variablen sowie die Implementierung von Gleichungen wird im Bereich Model vorgenommen. Der Bereich View dient der Visualisierung eines Modells. Darstellungen in Form zwei- und dreidimensionaler Diagramme
und Animationen sind ebenso möglich wie die Erstellung interaktiver Bedienoberflächen (GUI, graphical user interface).
Zu Beginn eines neuen EJS-Projektes
sollte zunächst eine zumindest kurze Beschreibung verfasst werden. Im vorliegenden Fall wird EJS als reines Plotprogramm genutzt, d.h. es werden keine Eingaben im Bereich Model vorgenommen. Alle für die Erzeugung der Diagramme erforderlichen Eingaben sind im
Bereich View zu tätigen. Zunächst ist
ein Ausgabefenster zu generieren.
Unterlagen zum Praktikum
Prof. Dr. Ulrike Zwiers
4/15
BTM2
WS 2009/10
Geradlinige Bewegung
1. Beschleunigung mit linearer Beschleunigungsfunktion (Forts.)
zu Teil d) (Forts.)
Hierzu wählt man unter Interface das Element PlottingFrame und erzeugt durch
copy&paste eine entsprechende Instanz in der linken Spalte (Tree of elements).
Durch Doppelklicken auf den erzeugten Eintrag öffnet sich ein Fenster, in dem die
Größe des Ausgabefensters, die Anordnung der Diagramme, etc. vorgegeben werden
können.
Anschließend werden drei Diagrammfenster (PlottingPanel) generiert, denen
jeweils ein analyticCurve-Objekt
zugeordnet wird. Die analyticCurveObjekte erfordern als Eingabe die
jeweilige Funktionsgleichung sowie die
Grenzwerte der Laufvariablen (hier:
Zeit t). Abschließend sollten die Achsen beschriftet und die physikalischen
Einheiten der dargestellten Größen
angegeben werden.
Unterlagen zum Praktikum
Prof. Dr. Ulrike Zwiers
5/15
BTM2
Geradlinige Bewegung
WS 2009/10
2. Bremsvorgang mit konstanter Verzögerung
Ein PKW fährt mit der Geschwindigkeit v0 = 100 km/h. Er wird gleichförmig abgebremst und kommt nach 70 m zum Stillstand.
a) Mit welcher Verzögerung av wird der Wagen abgebremst?
b) Skizzieren Sie die Funktionen s(t), v(t) und a(t)!
c) Erstellen Sie die Diagramme aus Teil b) mit Hilfe des Programms EJS!
Lösungshinweise
zu Teil a)
a = const
⇒ v(t) = v0 + av t
⇒ s(t) = v0 t + 21 av t2
t = tend
(1) in (2)
⇒ v0 + av tend = 0
(1)
1
⇒ send = v0 tend + av t2end
2
(2)
1 v02
⇒ send = −
2 av
v02
1002
2
2
⇒ av = −
≈
−5.51
m/s
m/s
=−
2send
2 · 70 · 3.62
zu Teil b)
s
send
0
0
a
0
v
v0
tend t
0
tend
t
av
0
tend t
Unterlagen zum Praktikum
Prof. Dr. Ulrike Zwiers
0
6/15
BTM2
WS 2009/10
Geradlinige Bewegung
2. Bremsvorgang mit konstanter Verzögerung (Forts.)
zu Teil c)
Alternativ zu der zur vorherigen Aufgabe vorgestellten Vorgehensweise (direkte Eingabe der darzustellenden Funktionsgleichungen im View-Bereich) können Diagramme
auch durch Zugriff auf Gleichungen, die im Model-Bereich definiert wurden, erzeugt
werden. Dies mag auf den ersten Blick vergleichsweise umständlich erscheinen, zumal
ergänzende Eingaben, wie die Deklaration von Variablen, vorzunehmen sind. Der volle Funktionsumfang von EJS als universelles Simulationswerkzeug lässt sich jedoch
nur unter Verwendung der Elemente des Model-Bereichs nutzen. Die nachfolgend
vorgestellte Vorgehensweise dient als Einstieg in die Programmierung mit EJS.
Zunächst sind die erforderlichen Variablen zu definieren und mit (Anfangs-)
Werten zu belegen. Sämtliche während
einer Animation/ Simulation verwendeten Variablen sind – wie nebenstehend
für das vorliegende Beispiel gezeigt – im
Vorfeld zu definieren. Es wird an dieser
Stelle nicht zwischen sich während eines
Programmdurchlaufs ändernden Größen
(Variablen) und solchen mit konstanten
Werten (Parametern) unterschieden.
Bei den Variablen kann es sich um skalare oder mehrdimensionale Größen vom Typ
double, int, boolean, string oder object handeln.
Im Unterbereich Initialization können Gleichungen eingegeben werden, deren
numerische Lösung die Anfangswerte für vordefinierte Variable liefert. Im vorliegenden
Fall ist dies nicht erforderlich.
Unterlagen zum Praktikum
Prof. Dr. Ulrike Zwiers
7/15
BTM2
WS 2009/10
Geradlinige Bewegung
2. Bremsvorgang mit konstanter Verzögerung (Forts.)
zu Teil c) (Forts.)
Die Modellgleichungen werden im Unterbereich Evolution definiert (ր Abbildung
oben links). Wird ein Modell durch gewöhnliche Differentialgleichungen (ODE, ordinary differential equations) beschrieben, so ist der untere Bereich anzuklicken. Wird
ein Modell jedoch durch algebraische Gleichungen oder Funktionsgleichungen, wie im
vorliegenden Fall, beschrieben, so erfolgt die Eingabe in Form von Java-Code und der
obere Bereich ist entsprechend anzuklicken.
Zu jeder Simulation sollte ein Abbruchkriterium definiert werden, um „Endlosläufe“ zu
vermeiden. Zum Beispiel könnte das betrachtete Zeitintervall begrenzt werden. Oder
es wird ein Ereignis definiert, bei dessen Eintreten die Simulation gestoppt wird. Im
vorliegenden Fall sollten die Funktionen s(t), v(t) und a(t) nur bis zum Erreichen der
Geschwindigkeit v(tend ) = 0 ausgewertet werden. Dies kann über eine if− Abfrage
in Kombination mit der vordefinierten Funktion _pause() realisiert werden (ր Abbildung oben rechts).
Befehlszeilen sind mit einem Semikolon abzuschließen. Es dürfen nur zuvor definierte
Variable verwendet werden. Zur Erstellung von Animationen/ Funktionsplots ist die
unabhängige Variable (hier: Zeit t) fortlaufend zu variieren.
Unterlagen zum Praktikum
Prof. Dr. Ulrike Zwiers
8/15
BTM2
WS 2009/10
Geradlinige Bewegung
2. Bremsvorgang mit konstanter Verzögerung (Forts.)
zu Teil c) (Forts.)
Nachdem die Variablen definiert und
die Modellgleichungen eingegeben sind,
können die zugehörigen Diagramme
erstellt werden. Hierzu wird im Bereich
View zunächst ein PlottingFrameObjekt generiert, dem drei Diagrammfenster (PlottingPanel) zugeordnet
werden. Zu jedem Diagramm wird ein
Trace-Objekt erzeugt, dem die jeweils
darzustellenden Variablen zugewiesen
werden.
Unterlagen zum Praktikum
Prof. Dr. Ulrike Zwiers
9/15
BTM2
Geradlinige Bewegung
WS 2009/10
3. Beschleunigung mit exponentieller Beschleunigungsfunktion
Zum Beschleunigen eines Körpers wird ein Linearantrieb eingesetzt. Die Taktfrequenz
für die Schrittmotorsteuerung wird hierzu gemäß der Funktion f (t) = f0 1 − e−λt/f0
erhöht (f0 = 5000 Hz, λ = 50 Hz/ms). Jeder Taktimpuls bewirkt eine Verschiebung
des Körpers um d = 0.0125 mm.
a) Bestimmen Sie die Geschwindigkeit v(t), die Beschleunigung a(t) und die Position s(t) des Körpers!
b) Mit welcher Geschwindigkeit bewegt sich der Körper nach einer Sekunde?
c) Welche Position erreicht der Körper nach zwei Sekunden?
d) Skizzieren Sie die Funktionen s(t), v(t) und a(t)!
e) Erstellen Sie die Diagramme aus Teil d) mit Hilfe des Programms EJS!
Lösungshinweise
zu Teil a)
v(t) = df = df0 1 − e−λt/f0
a(t) = dλe−λt/f0
f0 −λt/f0
e
−1
s(t) = df0 t +
λ
zu Teil b)
v(1 [s]) ≈ 0.225 [km/h]
zu Teil c)
s(2 [s]) ≈ 118.75 [mm]
Unterlagen zum Praktikum
Prof. Dr. Ulrike Zwiers
10/15
BTM2
Geradlinige Bewegung
WS 2009/10
3. Beschleunigung mit exponentieller Beschleunigungsfunktion (Forts.)
zu Teil d)
s
0
a
dλ
v
df0
0
t
0
0
t
0
0
t
zu Teil e)
Bei der Erstellung der nebenstehenden
Diagramme ist auf einer geeignete
Skalierung zu achten.
Unterlagen zum Praktikum
Prof. Dr. Ulrike Zwiers
11/15
BTM2
Geradlinige Bewegung
WS 2009/10
4. Beschleunigungsvorgang mit Gangwechseln
Die Geschwindigkeit eines PKW beträgt 4 s nach dem Anfahren im 1. Gang 25 km/h,
nach weiteren 4 s im 2. Gang 45 km/h, nach weiteren 6 s im 3. Gang 65 km/h und
nach weiteren 12 s im 4. Gang 90 km/h. Es ist jeweils von konstanten Beschleunigungswerten auszugehen.
a) Zeichnen Sie das v(t)-Diagramm!
b) Wie groß ist die mittlere Beschleunigung?
c) Berechnen Sie die Momentanbeschleunigungen in den einzelnen Gängen!
d) Welche Strecke legt das Fahrzeug während des gesamten Anfahrvorgangs
zurück?
e) Erstellen Sie das Diagramm aus Teil a) mit Hilfe des Programms EJS!
Lösungshinweise
zu Teil a)
v [km/h]
90
60
30
0
0
4
8
14
Unterlagen zum Praktikum
Prof. Dr. Ulrike Zwiers
26 t [s]
12/15
BTM2
WS 2009/10
Geradlinige Bewegung
4. Beschleunigungsvorgang mit Gangwechseln (Forts.)
zu Teil b)
ā =
90 vend
=
m/s2 ≈ 0.96 m/s2
tges
26 · 3.6
zu Teil c)
a1 ≈ 1.74 m/s2
a2 ≈ 1.39 m/s2
a3 ≈ 0.93 m/s2
a4 ≈ 0.58 m/s2
zu Teil d)
sges = 402.99 [m]
zu Teil e)
Das nebenstehende GeschwindigkeitsZeit-Diagramm lässt sich problemlos
mit den bisher vorgestellten Methoden
unter Verwendung skalarer Datentypen
erstellen. Alternativ könnten aber auch
vektorielle Variablen definiert werden,
die eine kompaktere Programmierung
ermöglichen.
Unterlagen zum Praktikum
Prof. Dr. Ulrike Zwiers
13/15
BTM2
WS 2009/10
Geradlinige Bewegung
5. Auffahrunfall
Zwei Wagen fahren mit konstant 126 km/h im Abstand von 12 m hintereinander her.
Plötzlich muss der vordere Wagen bremsen. Seine Verzögerung beträgt 6 m/s2 . Nach
einer Reaktionszeit von einer Sekunde beginnt auch der hintere Wagen zu bremsen.
Seine Verzögerung beträgt 8 m/s2 .
a) Ermitteln Sie, ob und ggfs. wann es zum Zusammenstoss der beiden Fahrzeuge
kommt!
b) Stellen Sie den Vorgang mit Hilfe des Programms EJS graphisch dar!
Lösungshinweise
zu Teil a)
anfänglicher Abstand
d0 = 12 m
Reaktionszeit
tr = 1 s
Bremsbeginn W1
t=0
Bremsbeginn W2
t = tr
Bremsweg W1
Bremsweg W2
1
s⋆W1 (t) = v0 t + a1 t2
2
1
s∗W2 (t) = v0 t + a2 t2
2
für t ≥ 0
für t ≥ tr
Nur Funktionen gleicher Definitionsbereiche können miteinander kombiniert werden!
Die Bremsweg-Funktionen der beiden Wagen müssen ab demselben Zeitpunkt und
für den gleichen örtlichen Bezugspunkt definiert sein, ehe sie zur Berechnung des
Abstandes verwendet werden können.
modifizierter Weg W1
gesamter Weg W2
1
sW1 (t) = sW1,0 (tr ) + vW1,0 (tr )t + a1 t2
2
1
sW2 (t) = sW2,0 (tr ) + v0 t + a2 t2
2
Unterlagen zum Praktikum
Prof. Dr. Ulrike Zwiers
für t ≥ tr
für t ≥ tr
14/15
BTM2
Geradlinige Bewegung
WS 2009/10
5. Auffahrunfall (Forts.)
zu Teil a) (Forts.)
Anfangswerte
1
sW1,0 (tr ) = v0 tr + a1 t2r
2
vW1,0 (tr ) = v0 + a1 tr
sW2,0 (tr ) = v0 tr
Abstandsfunktion
d(t) = d0 − (sW2 (t) − sW1 (t))
Bed. für Aufprall
d(t∗A ) = 0
für t ≥ tr
d(t) = 9 [m] − 6 [m/s] t + 1 [m/s2 ] t2 = 0
⇒
tA = 3 [s] + tr = 4 [s]
(Zeitpunkt des Aufpralls)
zu Teil b)
Unterlagen zum Praktikum
Prof. Dr. Ulrike Zwiers
15/15